利率期限结构的模型分析

1、无利率期限结构的模型分析利率期限结构的模型分析摘要摘要： 利率期限结构是资产定价、 金融产品设计、 保值和风险管理、 套利以及投机等的基准，所以利率期限结构模型以及利率行为的特点一直以来就是金融学研究的重点。 随着我国债券市场的发展、 金融创新的不断深入以及利率市场化进程的逐步推进， 利率期限结构问题研究的重要性日益凸显。本文即分析利率期限结构的四个模型，并运用 Matlab 软件分别作出图形，在图形的基础上解释说明。关键词关键词：利率期限结构多项式指数NSNSS一、前言前言利率期限结构是指某个时点不同期限的即期利率与到期期限的关系及变化规律， 一般由债券市场的实际交易价格确定。 在成熟金融市

2、场中， 国债利率期限结构不但能够反映国债市场各期限国债的供求关系、市场利率的总体水平和变化方向，是市场重要的定价基准，而且是精细化设计国债及其衍生产品， 科学制定财政和货币政策， 完善国债发行和管理的重要依据。2000 年以后，随着国债发行机制的日趋规范和完善，期限结构的不断丰富，国债市场的日臻成熟，利率市场化水平的显著提高，鉴于此，我们开展了国债利率期限结构模型的研究，本文在此讨论的有四种模型，分别是多项式样条模型、指数样条模型、NS 模型和 NNS模型，解释说明不同模型的拟合精度。利率期限结构是利率水平与期限相联系的函数， 收益率曲线的变化本质上体现了债券的到期收益率与期限之间的关系。 即

3、债券的短期利率和长期利率表现的差异性。 而利率期限结构所研究的就是决定长期利率和短期利率关系的原因到底是什么。 随着对利率期限结构研究的发展，理论界也形成了不同的理论流派。（一）预期理论：预期理论提出了以下命题：长期债券的利率等于在其有效期内人们所预期的短期利率的平均值。 这一理论关键的假定是， 债券投资者对于不同到期期限的债券没有特别的偏好， 因此如果某债券的预期回报率低于到期期限不同的其他债券， 投资者就不会持有这种债券。具有这种特点的债券被称为完全替代品。在实践中，这意味着如果不同期限的债券是完全替代品，这些债券的预期回报率必须相等。预期理论可以解释事实1.随着时间的推移，不同到期期限的

4、债券利率有同向运动的趋势。从历史上看，短期利率具有如果它在今天上升，则未来将趋于更高的特征。2.如果短期利率较低，收益率曲线倾向与向上倾斜，如果短期利率较高，收益率曲线通常是翻转的。预期理论有着致命的缺陷，它无法解释收益率曲线通常是向上倾斜的情况。无（二） 分割市场理论： 分割市场理论将不同到期期限的债券市场看做完全独立和相互分割的。到期期限不同的每种债券的利率取决于该债券的供给与需求， 其他到期期限的债券的预期回报率对此毫无影响。关键假定：不同到期期限的债券根本无法相互替代。该理论认为，由于存在法律、偏好或其他因素的限制，投资者和债券的发行者都不能无成本地实现资金在不同期限的证券之间的自由转

5、移。 因此， 证券市场并不是一个统一的无差别的市场，而是分别存在着短期市场、中期市场和长期市场。不同市场上的利率分别由各市场的供给需求决定。 当长期债券供给曲线与需求曲线的交点高于短期债券供给曲线和需求曲线的交点时， 债券的收益率曲线向上倾斜； 相反， 则相反。（三）流动性溢价理论：流动性溢价理论是预期理论与分割市场理论结合的产物。它认为长期债权的利率应当等于长期债权到期之前预期短期利率的平均值与随债券供求状况变动而变动的流动性溢价之和。 流动性溢价理论关键性的假设是， 不同到期期限的债券是可以相互替代的， 这意味着某一债券的预期回报率的确会影响其他到期期限债券的预期回报率， 但是，该理论承认

6、投资者对不同期限债券的偏好。换句话讲，不同到期期限的债券可以相互替代，但并非完全替代品。（四）期限优先理论：采取了较为间接地方法来修正预期理论，但得到的结论是相同的。它假定投资者对某种到期期限的债券有着特别的偏好，即更愿意投资于这种期限的债券。二、四种模型简述二、四种模型简述1、 多项式样条法多项式样条法多项式样条法是数学上拟合曲线的一种方法。由逼近定理可知,任意连续函数都以用多项式函数逼近,因此我们可以用以时间为变量的多项式样条函数来估计贴现函数。多项式样条函数概念是由 I.J.Schoenb ery 于 1946 年提出的。而将其运用与实际问题研究的是 Mcculloch。1971 年，M

7、cculloch 率先应用二次、三次多项式样条法来拟合利率期限结构模型。其基本思想是通过对债券现值公式中的贴现函数进行假设，将数据分布的整个范围切割成若干区间，然后估计各区段函数的参数值，参数值以满足使理论价格与实际价格偏差最小为最优。得出相应分参数后，求出贴现函数，从而推导出即期利率函数。多项式样条法假设利率期限结构以到期期限 t 为连续函数 D(t)为贴现因子，并且 D(t)一个多项式分布函数。 而阶数的多少决定了利率曲线的平滑和拟合程度， 同时也影响到待估参数，一般情况下选择三阶，即三阶多项式样条函数。形式如下：无验证得出如下结论：（1）样条值越大，参数越多，模型拟合程度越好，但曲线平滑

8、度越差。（2）样条值越小，则曲线越平滑，估计的参数则较少。如果发生一些微小的干扰，就会引起显著的误差，即拟合程度不高。2、指数样条法指数样条法由于 Mcculloch 的多项式样条函数隐含的折现函数随到期期限的增加是发散的； 隐含的远期利率也是发散的。因此，Vasicek 和 Fong 提出可以用指数样条来代替多项式样条。指数样条具有这样的特性：远期利率和零息收益率随着到期期限的增加收敛于固定的有限值。因此文章对 2007 年 07 月 23 日上交所的 32 支附息国债收盘价作为拟合数据， 运用指数样条模型绘画出的利率期限结构图形如下，模型如下：指数样条模型也容易导致元气利率曲线的不稳定，并

9、且其参数估计须采用非线性最优化。3、Nelson-Siegel 模型模型Nelson-Siegel 模型是 Charles Nelson 和 Andrew Siegel 在 1987 年提出的一个参数拟合模型， 这个模型可以克服样条拟合方法的曲线尾部震荡的缺点。 改模型通过建立元气瞬时利率的函数，从而退出即期利率的函数形式。该模型最大的优点是参数少，而且这些参数都有重要的经济学含义，使得模型本身容易理解。模型如下：不变时，可以通过调整和来形成不同的组合，从而产生远期利率的各种形状。4、Nelson-Siegel- Svennson 模型模型尼尔森和辛格尔在 1987 年提出了一个用参数表示的瞬

10、时（即期限为零）远期利率函无数。该模型通过建立远期瞬时利率的函数，从而推导出即期利率的函数形式。该模型的一个最大好处就是需要估计的参数相对较少， 因此特别适合于估计债券数量不多情况下的利率期限结构，而且这些参数都有明显的经济学含义，使得模型本身很容易被理解。模型如下从瞬间远期利率的公式中， 可以看出远期利率是由短期、 中期和长期利率三部分组成的。代表元气利率曲线的渐近线，随着期限增加，远期利率曲线趋向于的值。代表瞬间远期利率曲线向渐近线的趋近速度的因素。三、四种模型的实证分析三、四种模型的实证分析下面就做出四种模型的各自图形，作图软件用的是 Matlab 软件，数据选取的是 2015年 8 月

11、 12 日这天的各种国债的数据。数据如下表：表一：国债数据全价付息方式年利率(%)剩余期限修正久期105.1514.265.975.317299.5123.519.938.2826109.6113.546.685.9703101.1223.649.677.9937100.3613.366.455.6889122.5524.329.2317.6083102.1314.025.95.251499.8248.867.3473104.2214.445.444.7358103.8314.075.194.5449101.313.464.924.521101.3313.092.82.6752101.3823

12、.387.796.7556101.0813.294.694.3065无101.913.424.464.061795.5823.397.046.0276102.7523.516.545.7105101.3812.580.040.0362100.8824.0344.8220.4831102.3723.364.624.2039102.7523.434.494.1361101.6423.47.696.6471101.5922.62.112.0221102.113.221.351.2977100.8624.344.3319.5612100.9923.684.243.581102.7413.41.21.1

13、44496.3724.1824.1914.6525101.5523.444.13.7435103.841414.0510.3907103.113.171.030.9786102.4613.150.970.9641100.1923.483.953.6534100.3712.820.870.8596100.4623.093.853.5903100.6323.698.847.4355100.823.023.743.5111101.3612.820.680.6732101.3724.0223.6814.9733101.2813.053.593.3617101.8623.8613.5410.268910

14、1.6712.760.510.497597.5722.93.353.1349100.7623.628.37.0579102.0512.710.290.2821实证结果如下实证结果如下使用 matlab2014 分别对上述数据进行指数样条函数、多项式样条函数、NS 模型和 NSS模型分析，最后对结果进行对比：（一）多项式样条函数利率期限结构模型多项式样条函数利率期限结构模型无从图中可以看出，拟合出来的利率期限结构曲线还是比较平滑的，债券期限结构是随着到期期限的增加而上升的，这与理论上要求的是一致的。到期期限越长，投资者对回报率的补偿就越高，按不同到期期限进行分析，可以看出对于短期债券（0-5）年

15、，即期利率上升势头明显；而以后期限则表现的相对稳定，上升趋势有所减缓。综合来看，曲线的拟合优度较好，可以认为采用多项式样条函数估计我国国债利率期限结构曲线是有效的。对于中短期国债，多项式样条函数估计结果相对来说比较准确，因此可以看出，我国债券市场利率曲线符合传统的利率期限结构理论的解释， 但从即期利率曲线也可以看出， 我国的国债收益率水平偏低，长期国债与短期国债的利差较小，不能充分反映市场的风险状况。我国国债表现出的这些特征是由于目前我国资本市场发育不充分； 同时， 由于我国利率市场化尚未实现，利率水平在目前处于较低水平，这造成国债的收益率也处于较低水平。（二）指数样条函数利率期限结构模型指数

16、样条函数利率期限结构模型无由上图可知， 根据指数样条绘出的利率期限结构曲线与根据多项式样条绘出的利率期限结构曲线总体变化趋势基本一致，只是前者更加曲折。另外，多项式样条法拟合的即期利率曲线在远端是呈幂级数上升的，如果将到期期限延长的话，即期利率在远端是非常大的。这种上升的趋势导致远期利率在远端以更快的速度上升， 而这是不符合期限结构理论的， 远期利率在远端应该是比较平缓的，而不是剧烈变动的。因为对投资者来说,他们也许有需要,也有较多的信息去预测未来几年的短期利率的走势,从而确定远期利率曲线近端的形状。但是,未来更长的时间的短期利率,如 29 年后和 30 年后的短期利率,对他们来说是没有实质区

17、别的,也不是他们所关心的问题。 因此投资者只会预测远端短期利率的水平,而不会预测其变化趋势。换句话说，远期利率在远端应该是比较平缓的,而不是剧烈变动的。因此，指数样条模型在拟合远端数据时显得更为合理一些， 因为模型本身的性质使利率在远端是趋向于稳定的，比较符合期限结构理论。因此，指数样条法较多项式样条法更适合作为中国利率期限结构的拟合方法。（三）（三）NS 模型模型无从上图可以看出，NS 模型的利率期限结构曲线的拟合优度是非常的好，曲线也是非常平滑的，并且曲线是呈缓慢上升态势的，即期利率曲线的斜率是逐渐减小的，最后在远期基本上处于一个水平的稳定状态。相比较前面两种模型而言，NS 模型对国债利率

18、期限结构的拟合是最好的， 这在某种程度上解释了为什么很多国家将 NS 模型运用于央行相关政策的制定，比如货币政策、财政政策等，同时，由于本文的研究结果是基于我国国债收益率数据获得，说明了 NS 模型对于我国利率期限结构的研究具有重大意义。（四）（四）NNS 模型模型无NSS 模型是在 NS 模型的基础上扩展而来的，从 NSS 模型的利率期限结构曲线图上可以看出，曲线还是很平滑的，对利率期限结构的拟合优度也是很好的，利率期限结构图形是平滑上升的，即期利率曲线的斜率是先逐渐增大，中间是平稳增加，后来是逐渐增大，在短期（0-5）年，曲线是斜率逐渐增大的上升图形，在中长期（5-12）年，曲线是缓慢上升

19、的，即期利率曲线的斜率是逐渐减小的，在长期（12-20）年，曲线的上升速度是很快的 即期利率曲线的斜率是逐渐增大的。四、结论及政策建议四、结论及政策建议结论：结论：通过运用不同种方法对国债利率期限结构进行拟合可知：1、 多项式样条法和 NS 模型所拟合的国债利率期限结构曲线相对比较平滑， 而指数样条法拟合的利率期限结构曲线则较为曲折。2、多项式样条法拟合的即期利率曲线在远端是呈幂级数上升的，而指数样条法拟合的即期利率曲线在远端是比较平缓的。因此，指数样条模型在拟合远端数据时显得更为合理一些。3、虽然 NS 模型可以获得许多曲线的形状，但是它不能描绘出所有的曲线变化，尤其是长期的期限结构和多个拐点的