有阻力的抛体运动的函数方程

1、有阻力的抛体运动的函数方程摘要:本文运用导数、微积分的有关知识建立并解决有阻力的斜抛运动的微分方程，得出各变量间的函数关系，其中还运用了一些简单的物理知识，并通过求极限顺便得出有阻力的竖直上抛，竖直下抛运动和无阻力抛体运动的一些基本函数方程，然后讨论斜上抛运动水平最远射程与抛射角的关系问题，最后取一组简单的数据进行定量计算。关键词:有阻力;函数方程;在研究抛体运动前，先简单说明微分方程的概念和基本解法。一般地，凡表示未知函数，未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程。在这里，只讨论一类较特殊的微分方程： 式可分离变量得： 式表示状态量，对两边各状态量累加求和得：由定积分与微分的和的

2、极限的关系，可将上式改写为 ，其中由式可解出y与x满足的方程，式也可写成不定积分的形式 ，其中C为常数，依赖于初值条件。下面研究问题时就不再像上述一样清晰了，且不常用式而常用式.再给出曲线的曲率半径的求法。对于曲线y=Y(x)，为曲线的切线斜率的反正切值，即 yhO000fvmgv0x现在开始正式讨论问题：一质量为m的物体，初距水平地面高为h，以V0的速率沿与水平方向夹角为的方向抛出，重力加速度为g，所受空气阻力f大小为k·V，(k>0，且为常数)方向与速度方向相反，不考虑物体的转动。求此抛体运动中各变量间的函数方程。 过物体初始位置，垂直地面向上建立y轴，过y轴与地面交点建x

3、轴，使物体运动轨迹在xoy平面的第一象限内，即右图。分析问题可知，四个变量：横坐标x，纵坐标y，速率v，时间t中任两个量都可建立函数方程。 研究物体运动轨迹(设x是自变量，v、y是x的函数)。分析物体受力，可知重力沿曲线的法线分力提供物体沿曲线运动的向心力，即 将、两式代入式中，解得： 式两边对x求导： 又由能量守恒定律得： 由被积函数与原函数的关系可知：式两边对x求导得： 将、两式代入式化简后得：分离变量后积分：解得： 考虑初始条件：当x=0时，由式得 将式代入式中得：将C2的值代回式，化简后得： 同理可再分离变量积分后代初值，得： 同样可求得： （I）（2）研究水平方向（设t为自变量，v、

4、x、y、cos都是t的函数）由运动的独立性原则，可知摩擦阻力f的水平分量提供水平分运动的加速度，速度v的水平分量为水平分运动的速度。则有： 令 则式改写为 分离变量求积分： 解得 将式代入式中得：当t=0时， 将C3的值代入得： 将、两式代入经化简后得：再将式代入得解得： （II）由（II）式可知x随自变量t的增大而增大，若不限高度h，则t+时，并且x恒小于。且时间很长时，物体运动趋于匀速。将（II）代入（I）式中化简后得： （III）1514将 、 式代入化简得： (IV)再将（II）式代入（IV）式中得： （V）至此已得出了（I）、（II）、（III）、（IV）、（V）五个有阻力抛体运动的

5、基本函数方程，下面再求出物体能达到的最高处当时，由式解得： 将式代入（I）得：(VI) (3)在上述讨论中，所得出的方程都是在一般条件下得到的，接下来顺便导出特殊运动的函数方程，因为上述各式中，因此不能直接导出，下面通过求极限的方法得出三类特殊运动的方程。(a)竖直上抛运动当时，由（III）知：由正弦函数的连续性可知： 同理，由（V）得：若考虑速度v向上为正，向下为负，则可得： 由（VI）得 (b)竖直下抛运动同样，当时，由（III）求极限得： 由（V）式求极限得 由式知道，若，则v恒大于，阻力恒大于重力，且随时间增大而趋近。若，则v恒小于，阻力恒小于重力，随时间增大而趋于相等。(c)无阻力抛

6、体运动当k0时，由（I）式得：因为k0时，同时用洛必达法则求极限1，将被求根限式的分子、分母对k求导，得化简得： 由（II）求极限 由导数的定义得 将式代入式中得 当然，上面三类运动的方程可直接分析原运动，且那样更能简单得出方程，这里只是顺便导出。（4）接着讨论一个实用的问题：当初始抛角为何值时，水平射程最远。首先，我们知道，当取时，不可能取到最大水平射程，更不可能。在（I）中取y=0，则有 设m、g、k、v0均为常数，为变量，改写为，则x是的函数，将式两边对求导。化简后得： 设，当A=0时，则 同时，由式知B=0，此时或x=0由式知x0，联立、两式解得这三值都不合式，也不符所设条件由上述分析

7、：从可知其逆否命题成立。由此可知A 不可能为0，又x不可能为0，因此， （VII）即当取某个值1时，（VII）式成立，则，此时相应的x是极值，设（VII）式左边为C1（），为变量，则有在上式括号中，固定mg，设kv0为变量，括号式对kv0求导，可知其为增函数，又kv0=0时，又由mg的任意性可知恒大于0。化简得当时，恒大于0，所以=0只有一个解，即1。且知这运动一定有最远水平射程，与1对应的为最远水平射程。（5）最后，通过代入一组简单数据进行计算。在开始的问题中，取m=5kg, g=10m/s2, h=1000m, 0=0, v0=100m/s, k=0.1N·s/m，求水平射程。解

8、：将相应的数据代入式中化简后得： 在式中可用计算器一一取值，求得左边式子的值，最后得出较精确值。在这里给出另一种途径：设将它按泰勒级数展开2，得： 取前四项得：则式左边的近似式为取x=1300，得20016929.2935.71224<0取x=1290，得式的解 x1290取x=1285，得=1.133424>0虽然1.133424>|-0.57098|，但因为式右端省略了高次项，这些项都为负值，第五项在略去项中贡献最大。在第五项中近似代入x=1300，则这一项等于-1.188，则|1.133424-1.188|<|-0.57098-1.188|，所以其实x=1285比x=1290更精确，且结果误差为|1.133424-1.188|<0.06，因此最后取水平射程x1285。若上述数据代入式中，令y=0，则有两结果相差约129m，可见阻力作用之大。上面只对（I）式进行了运用计算，其它各式也可作类似的计算，上述7个一般方程可应用于实际生活中，特别是（I）和（VII）。最后声明，最初问题中的一个重要条件：力与