2020届湖北省武汉市武昌区高三元月调研考试数学(理)试题

1、页1第武昌区 2020 届高三年级元月调研考试理科数学注意事项:1 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。1 已知集合 A =x |x2x 2：0 , B =x|a 2：x：a，若 A B =x| 1：x：0，贝 U A B =A. (

2、-1,2)B. (0,2)C. (-2,1)D. (-2,2)2 已知复数 z 满足一zi，则 z 在复平面内对应的点位于ziA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3 已知an是各项均为正数的等比数列，a1=1 , a3= 2a23，贝Uan口n2n -1n -1n2A. 3B. 3C. 2D. 24 .已知 a =log.10.2 ,b =log“ 0.2 , c =10.2.1 ，则 a ,b,c 的大小关系为A.a b cB.a c bC. c b aD.cabn5 等腰直角三角形ABC中， ACB ,AC二BC=2，点 P 是斜边AB上一点，且BP=2PA，那么 2CP CA

3、 CP CB =A.4B. -2C. 2D. 46 某学校成立了 A、B、C 三个课外学习小组，每位学生只能申请进入其中一个学习小组学习申请其中任意一个学习小组是等可能的，则该校的任意4 位学生中，恰有 2 人申请 A 学习小组的概率是A. 264B. C. D.3227277.已知数列an的前 n 项和 Snn- n ,设 bn, Tn为数列bn的前 n 项和.若对任意的 m N ,22anan十不等式 Tn：9n * 3 恒成立，则实数-的取值范围为B. (-： ：,36)C.(-： ：,16)D.(16,： ： )8 已知过抛物线 y=4x 焦点 F 的直线与抛物线交于点A, B , |

4、AF|=2|FB|，抛物线的准线I与 x 轴交页2第于点C,AM_1 于点 M，则四边形AMCF的面积为x -2xe12.已知函数 f(x)=xe -lnx-x-2 , g(x)In x-x 的最小值分别为a ,b，则xA.a二bD. a ,b的大小关系不确定、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。A.5.24C. 5-2D. 10-29.如图，已知平行四边形ABCD中，BAD =60 ,AB =2AD,E 为边AB的中点，将AADE沿直线 DE翻折成ADE .若 M 为线段 AiC 的中点,1线段 BM 的长是定值；2存在某个位置，使 DE _AC ；3存在某个位置，使MB

5、/平面 A,DE .其中，正确的命题是A.B.C.D.10 .函数 f(x) =As in ( xW) (A 0,门 0 ,1函数 f(x)的最小正周期为n;2直线 x =-心为函数 f(x)的一条对称轴;122n3点(一,0)为函数 f(x)的一个对称中心;34函数 f(x)的图象向右平移 上个单位后得3到 y - .2 sin2x 的图象.其中正确说法的个数是A. 1B. 2C. 3D. 411.已知 F1, F2分别为双曲线2 2丄=1 的左、右焦点，过94F2且倾斜角为60的直线与双曲线的右支交于A, B 两点，记 AF1F2的内切圆半径为r1, BF1F2的内切圆半径为 r2，贝V

6、的值等于r2A. 3B. 2B. a bC. a b则在ADE翻页3第1613. (2X4 _.)的展开式中,3x 项的系数是14 .已知一组数据 10, 5,4, 2, 2, 2, x，且这组数据的平均数与众数的和是中位数的2 倍，则 x 所有可能的取值为2 215.过动点 M 作圆C: (x -2) - (y -2) =1 的切线，N为切点.若|MN |=|M0 | (0为坐标原点),则| MN |的最小值为16 用MI表示函数 y 二 si nx 在闭区间 I 上的最大值，若正数 a 满足M0,a = 2Ma,2a，则 a 的值为三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演

7、算步骤。第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共 60 分。17.(本题 12 分)在 JABC 中，已知AB二5,AC=7 , D 是BC边上的一点,2AD = 5,DC = 3.(1 )求 B ；(2 )求 ABC 的面积.18 .(本题 12 分)如图，在直三棱柱 ABC -A1B1C1中，AC_AB, AA 二 AB=AC=2 , D , E , F 分别为AB,BC, B1B的中点(1)证明：平面 AGF _平面 BQE ;(2)求二面角 B -B,E -D 的正弦值19 .(本题 12 分)2 2已知椭圆E:x2

8、与=1(a b 0)的两焦点与短轴一端点组成一个正三角形的三个顶点，且焦点到椭a b8 已知过抛物线 y=4x 焦点 F 的直线与抛物线交于点A, B , |AF|=2|FB|，抛物线的准线I与 x 轴交页4第圆上的点的最短距离为1.页5第(1) 求椭圆 E 的方程;(2) 若不过原点的直线|与椭圆交于A, B 两点，求.OAB面积的最大值20 .(本题 12 分)某健身馆在 2019 年 7、8 两月推出优惠项目吸引了一批客户.为预估2020 年 7、8 两月客户投入的健身消费金额，健身馆随机抽样统计了 2019 年 7、8 两月 100 名客户的消费金额，分组如下：0, 200) , 20

9、0, 400) , 400,600)，1000, 1200(单位：元)，得到如图所示的频率分布直方图：(1) 请用抽样的数据预估 2020 年 7、8 两月健身客户人均消费的金额(同一组中的数据用该组区间的 中点值作代表)；(2)若把 2019 年 7、8 两月健身消费金额不低于 800 元的客户，称为“健身达人” 经数据处理，现 在列联表中得到一定的相关数据，请补全空格处的数据，并根据列联表判断是否有95%的把握认为“健身达人”与性别有关？健身达人非健身达人总计男10女30总计(3) 为吸引顾客，在健身项目之外，该健身馆特推出健身配套营养品的销售，现有两种促销方案. 方案一：每满800 元可

10、立减 100 元；方案二：金额超过 800 元可抽奖三次，每次中奖的概率为-，且每次抽奖互不影响，中奖1 次打 9 折,2中奖 2 次打 8 折，中奖 3 次打 7 折.若某人打算购买 1000 元的营养品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案.附：2页6第P ( K2Hk)0.1500.1000.0500.0100.005k2.0722.7063.8416.6357.8792页7第n( ad _bc)(a b)(c - d )(a c)(b d)21 .(本题 12 分)已知函数 f (x) =ex+x _e _1 .(1 )若 f (x) _ax _e 对R恒成立，求实

11、数 a 的值；(2)若存在不相等的实数x1, x2，满足 f(xj f(x2)= 0 ,证明：x1 x2：: 2 .(二)选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22 .选修 4-4 :坐标系与参数方程(本题 10 分)(1)写出 G 的普通方程和 C2 的直角坐标方程;(2)若 C1与y轴交于点 M , C1与 C2相交于A、23.选修 4-5:不等式选讲(本题 10 分)(1)已知 f (x) =|x-a|，|x|，若存在实数 x，使 f(x) 0，得 4_m23 . 0 .8km设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1一冇是 |

12、AB| = j1 k2(x,x2)24XM =4 . 3 1 k220.(本题 12 分)解：(1)因为 x=(100 0.00050 300 0.00075 500 0.00100 700 0.00125 900 0.00100 11000.00050) 200 =620 (元)，所以，预估 2020 年 7、8 两月份人均健身消费为 620 元.(2 分)(2)列联表如下：系.(3) 若选择方案一：则需付款 900 元； 若选择方案二：设付款 X 元，则 X 可能取值为31312123P(x =700) =C3(), P(x =800) =C3():2 8 2 8(4 分)4m -12X2

13、2.4k +34k2m2亠 34k23Xi又，坐标原点O到直线l的距离为丨丨2所以，QAB的面积S|AB|d=2、3|m4k_m32因为 i - 4k2-m2因为|m|rS = 1AB | 3.2l的斜率不存在时，设其方程为| AB| d =1|m| 12 -3m2_ 3.OAB面积的最大值为 3.亠 3m2(4k2-m23)4k23所以,当直线S J2所以，24k 3m2(4k2_ m23)24k23同理可求得(12 分)健身达人非健身达人总计男 n104050 J女203050总计30701002因为K2=100(10 30-20 40)=4.762 3.841，因此有50X50X3070

14、6 分)700, 800, 900, 1000.95%的把握认为“健身达人”与性别有关页10第11330131P(x =900) =C3(), P(x =1000) =C3()2 8 2 81331_所以 E(X)=700800 9001000850 (元)8 8 8 8因为850：900,所以选择方案二更划算.(12 分)(本题 12 分)解：(1)令 g(x)二 f (x)(axe) 口由题意，知当a乞1时，因为 g( -1)当a 1时，所以，g(x)在(_：所以 g(x)min二 g(ln(记h(a) =aex(1 -a)x -1，贝 U g (x)二 ex1a .g(x)_0 对x R

15、恒成立，等价 g(x)min_0.由 g (x) _0 知 g(x)=eX (1 a)x _1 在 R 上单调递增.1=_ _(1 _a) _1：0，所以 a 1 不合题意；e若 x ( _：,ln(a -1)，则 g (x) : 0，若 x (In(a 一 1),：)，则 g (x) . 0 , ,ln(a_1)单调递减，在(In(a_1),;)上单调递增.a -1)二 a -2(1 _a)ln(a -1) _0.-2 (1 _a)ln(a -1) (a 1)，则 h (a) - -ln(a _1).易知 h(a)在(1,2)单调递增，在(2,：:)单调递减,所以 h(a)max=h(2)

16、=0，即 a -2(1 -a)In(a -1) _0.而 g(x)min=a -2(1 - a) In(a -1) _0 ,所以 a -2 (1 a) ln(a 1) =0，解得a=2 .(2)因为 f(x1)f (X20，所以 eX1X1 *2因为 eX1- eX2_2e2,为=X2，所以t令 Xt +x2=t，贝 U 2e2+t _2e _2 c0 .t记 m(t) =2e22e2：0，则 m(t)二 e21 . 0，所以 m(t)在 R 上单调递增.t又 m(2) =0,由 2e2t _2e_2：0,得 m(t) : m(2), 所以t 2，即 X1X2：2.xe2为 X2=2(e 1)

17、.X-X22eF.X1x.e1e(6 分)( 12 分)另证：不妨设 X1：X2，因为 f (x) =ex10，所以 f(x)为增函数.要证 X1X22 ,即要证 X22 -X1， 即要证 f(X2)：: f(2 -X1). 因为 f(xj f(X2)=0，即要证 f(X1)f (2X1)0.+e2-2e，则 h(x)少-e)+e)记 h(x) = f (x) f (2 - x) = ex所以 h(X)min=h(1)=0，从而xe h(x) = f (x) f (2 - x) 0 ,得证.选修 4-4 :坐标系与参数方程(本题 10 分).2x =-解：(1)方程!y2t,、2可化为 x y -2 =0 .=2t2方程壬二92 23 辺孑可化为ITf=1(5 分)页11第页12第X =- 1,22(2 )将丿2代入+-L=1，得 2t2十 6 厲+3=0.c 罷93P亍 t设方程 2亠 6、2t 亠 3 = 0 的两根分别为 tl, t2，则3|MA| |MB |屮1| |t2|. ( 10 分)23 .选修 4-5 :不等式选讲(本题 10 分)解：(1)方法一：因为 f(x) |x_a| |x|x_a_x|=|a|，因为存在实数 x，使 f(x)：:2 成立，所以|a|：2