2020届广东省茂名市高三第二次综合测试数学(文)试题(解析版)

1、- 1 -2020 年茂名市高三级第二次综合测试文科数学2020.5本试卷分选择题和非选择题两部分，共6 页，23 小题，满分 150 分，考试时间 120 分钟.注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上2 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷草稿纸和答题7. “辗转相除法”是欧几里得原本中记录的一个算法，是由欧几里得在公元前300 年左右首先提出的，因而又叫欧几里得算法.如图所示是一个当型循环结构的“辗

2、转相除法”程序框图.当输入 m=2020, n=303绝密启用前卷类型：A卡上的非答题区域均无效.4 选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑.答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.5.考试结束后，请将答题卡上交.一、选择题：合题目要求的1. 已知集合A. A B2. 若(x i)iA.23.已知函数A.2(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符 )U=1,2, 3, 4, 5, A=2, 3, 5, B=2, 5,则()B. ?uB=1, 3, 4 C.AUB=2,

3、 5 D. AAB =3y 2i, x, y R，则复数xB.1C.if(x)在点(1, f(1)处的切线方程为12yi的虚部为(D.-1B. 1C.函数f(x)=Asin( x)(A0,0,|所示，则f (-3)的值为(A1.2下列命题错误的是(A. x= 2是 x2- 4x+4= 0”的充要条件B. 1C.B.命题若m 1，则方程 x2+x- m = 0 有实根”的逆命题为真命题4CA ABC 中，若 A B”,则 sinA sinB”D.若等比数列an公比为 q， 则 q 1 ”是“为递增数列”的充要条件 6 易系辞上有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案，

4、蕴含了深奥的宇宙星象之理，被誉 为“宇宙魔方”， 是中华文化阴阳术数之源。 河图的排列结构如图 所示， 一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八同道居左，四与 九为友居右，五与十相守居中，其中白圈为阳数，黑点为阴数，若 从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值为5 的概率为：()625625B B1-51-5亠2525OTOTOD- 2 -时，则输出的 m 是()A. 2B.6C.101D. 202x2y2&已知双曲线a b21(a 0, b 0)的离心率为 2,其一条渐近线被圆(x- m)2+y2=4(m 0)截得的线段长 为 2，则实数 m 的值为()A.3B.2C. 2 D. 19已

5、知函数f (x)是定义在 R 上的偶函数，当X 0时,f (X)22.则使不等式f(x 1)4 成立的x 取值范围是()A.(, 1)U(3,)B.( 1,3)C.(0,2)D.(,0)U(2,12 已知函数f (x)=ex科，对于函数f (x)有下述四个结论：函数f(x)在其定义域上为增函数；x I对于任意的a 0,都有f (a)1成立；f (x)有且仅有两个零点；若 y=ex在点(怡尺冷)(乂01)处的切线也是 y=lnx 的切线，贝 U X。必是f (x)零点.其中所有正确的结论序号是A.B.C.D.二、填空题：(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡的相应位

6、置)rrr13 .已知向量a ( 4,2)，b (1, 1)，若b (a kb)，则k _.14.为了贯彻落实十九大提出的“精准扶贫”政策，某地政府投入16 万元帮助当地贫困户通过购买机器办厂的形式脱贫，假设该厂第一年需投入运营成本3 万元，从第二年起每年投入运营成本比上一年增加2万元，该厂每年可以收入20 万元，若该厂 n (n N* )年后，年平均盈利额达到最大值，则n 等于_ .(盈利额=总收入-总成本)15 .在棱长为 2 的正方体 ABCD1B1GD1中，E 是棱 DD1的中点，则平面 A1EC 截该正方体所得截面面积为：16 .过点P 1, 1作圆x2y21的切线I，已知 A，B

7、分别为切点，直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和下顶点，则直线 AB 方程为_ ;椭圆的标准方程是 _.(第一空 2 分，第二11.已知三棱锥P平面 PAB 丄平面A.16牛，牛，PA PB . 3, AC 3ABC,则该三棱锥的外接球的表面积为()B.28C. 24D.32ABC中，APB5, BC4,且DABC- 3 -空 3 分)- 4 -三、解答题：（共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共 60 分17 . （12分）在厶 ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b

8、,c,已知B 2C,3b 4c.（1）求cosC；若 c 3，求 ABC的面积.18. （12分）某种治疗新型冠状病毒感染肺炎的复方中药产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明 质量越好，为了提高产品质量，我国医疗科研专家攻坚克难，新研发出A、B 两种新配方，在两种新配方生产的产品中随机抽取数量相同的样本，测量这些产品的质量指标值，规定指标值小于85 时为废品，指标值在85,115）为一等品，大于 115为特等品现把测量数据整理如下，其中 B 配方废品有 6 件（说明：在 统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表）质量指标值分组75,85)85,95)95,105)105,11

9、5)115,125)频数8a36248A 配方的频数分布表（1）求 a, b 的值；（2）试确定 A 配方和 B 配方哪一种好？B 配方的频频- 5 -19 . （12分）如图 1,在口ABCD 中，AD=4, AB=/2，/ DAB=45 E 为边 AD 的中点，以 BE 为折痕将厶 ABE 折起，使点 A 到达 P 的位置，得到图 2 几何体 P-EBCDPD BE;（1）证明：当 BC 丄平面 PEB 时，求三棱锥C- 6 -20(12分)已知抛物线 C:y2=2px (p 0)与直线 I: x+y+仁 0 相切于点 A，点 B 与 A 关于 x 轴对称.(1)求抛物线 C 的方程，及点

10、 B 的坐标；设 M、N 是 x 轴上两个不同的动点，且满足/BMN=ZBNM，直线 BM、BN 与抛物线 C 的另一个交点分别为 P、Q,试判断直线 PQ 与直线 I 的位置关系，并说明理由如果相交，求出的交点的坐标 .21 (12分)设函数f(x) (x2+m)ex.(1)讨论f (x)的单调性；若g(x) 2exnx 1 f (x)，当 m=1,且x 0时，g(x) 0,求n的取值范围- 7 -(二)选考题：共 10 分请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时, 请用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.22 .选修 4-4 :坐标系与

11、参数方程(10 分)为极轴建立极坐标系，直线I 的极坐标方程cos(-)a，点 M(2,_)44在直线 I 上，直线 I 与曲线 C 交于 A, B 两点(1)求曲线 C 的普通方程及直线 I 的参数方程；求 OAB 的面积23 .选修 4-5 :不等式选讲(10 分)已知函数 f(x)=|x+1|-| x- 2|.(1) 若 f(x) 3.在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 Cx 2cosy 3sin(为参数)，以原点 O 为极点,x 轴正半轴- 8 -绝密启用前卷类型:- 9 -2020 年茂名市高三级第二次综合测试文科数学参考答案及评分标准、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5

12、分，共 60 分)题号123456789101112答案BBDBDACCAABC提示:(事实上等比数列an公比为 q,贝 y q 1 堤“为递增数列”的既不充分也不必要条件)6. A.解析】阳数为：1,3, 5, 7, 9;阴数为：2, 4, 6, 8, 10,二从阳数和阴数中各取一数 的所有组合共有：5 5 25个，满足差的绝对值为5 的有：(1,6), (3, 8), (5, 10),亿2),(9, 4)共 5 个,则p务5,故选 A.7. C 解析】 输入 m=2020, n=303，又 r=1.1.r=1 0, 2020 - 303=6202,r=202, m=303, n=202;2

13、r=202 0, 303-202=1 .101r=101 , m=202, n=101;3r=101 0, 202- 101=2.0.1. B2. B【解析】 U=1,2, 3, 4, 5,【解析】/ (x i)i 1 xiB=2, 5,. ?uB=1,3, 4.故选 B.y 2i, x 2, y 1,所以x3. D 【解切点(1, f(l)在切线x+2y- 2=0 上， 1+2f(1)-2=0 ,yi的虚部y1， 故选f (1)1,f(1)f (1)0.故选 D.4. B 【解根据图象可得A62，即T根据 T20,得2sin(2 x ),又f (x)的图象过点(石,2),2sin(26),2

14、 2k ,kf(3) 2sin(236) 2si nx-2=0 x= 2,. A 正确；x2+x- m= 0 有实根”的逆命题为命题 若方程f(x) 2sin(2x -),x2-4x+4 = 0(x- 2)2=05.D.【解析】由命题若m故选 B.x2+x- m= 0 有实根，则m在厶 ABC 中，若 A B ab sinA sinB(根据正弦定理) C 正确；故选 D.- 10 -r=0, m=101, n=0;4r=0,贝 U r 0 否，输出 m=101，故选 C.- 11 -8.c.【解析】依题意：a J% p1毎2 P3二双曲线渐近线方程为yV3x-不妨取渐近线 Il：3x y 0，

15、则圆心(m,0) (m0)到 li的距离d匸工1.由勾股定理得( (一一| |卬卬) )2(|)(|)22，解得m 2，vm 0,.m=2,故选 C.9. A.【解析】/f(2)=4，由f(x 1) 9得，f(x 1)f(2).又vf(x)为偶函数， f (|x 1|) f(2),易知f(x)在(0,)上为单调递减，二 |x 1| 2 x 12或x 12，即x 3或x 1，故选 A.10. A【解析】易知 f(-x)=-f(x),即函数 f(x)是奇函数，图象关于原点对称，排除D,f(x)在 y 轴右侧第一个零点为x 2时，1+ex0,1当 x( 0)0 时，贝U 1+exex0,cosx 0

16、, f(x)v0 排除 B,2,1(当0 X时，f(x)袈2(excosx exsin x sinx)f (x)=+sin xex0,cosx 1,且1 ex0 ycosx=2cosxxcosx.1 ex2(exsin x sinx)1+sin.故选 A.x 0,排除 C)(1 ex)2(1 ex)211. B【解析】在厶 PAB中，由余弦定理得AB 3，又AC2AB2 ABC为直角三角形，CB AB，又平面 PAB 丄平面 ABC 且交于 AB, CB 丄平面 PAB,.几何体的外接球的球心到平面PAB 的距离为1 BC=2,BC2,设PAB的外接圆半径为设几何体的外接球半径为所求外接球的表

17、面积Sr,则2r -2-2.3,rsin可R,则R222( ,3)27,4 R228 ,故选 B.12.解析：依题意f (x)定义域为(-,1)U(1, + ),且f (x)=e- f(x)在区间(-(x 1)2 v当a 0时，则vf(x)在区间(-,1)和(1, + )上是增函数，错；ea20，因此f(a)=eaa+1= 1a 1,1)上单调递增，且- f( 2) f(0) 0,即f (x)在区间(-vf(x)在区间(1, +)上单调递增，且厶1成立，对；aa 1 =f(2)=e23=e2,1)上有且仅有 1 个零点.555f(刃=e49 34320,f (2)=e230ea0, f(0)=

18、20.- f(4) f(2) 0,得f (x)在区间(1, +vy=ex在点(x0,ex0) (x01)处的切线方程 I 为y ex0=ex0(x沟沟) ). 又 I 也是 y=lnx 的切线，设其切点为A(X1,ln xj，贝yl 的斜率k舟,从而直线 I 的斜率k=L=ex, X1=e冷，即切点为A(e冷,怡怡) )，又点A在|上.x0ex0=ex)(e 冷二、填空题: 本大题共13. 3_14.4提示：13.【答案】,f(2)=e230)对(也可以利用当x)上有且仅有 1 个零点.因此，f(x)有且仅有两个零点;1时，f(x)X0+1X。)ex0丫0(怡怡1)，即 X。必是f(x)零点.

19、对.x014 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置16. 2x-y-2=0(2 分);乍七1(3 分)15.2 63【解析】vb (a kb), b (a kb) 0，即b a k|b |20,- 12 - 13 -20n (n22n) i6nni8 2 ni8 i0,当且仅当n 4时等号成立.rr由已知得b a 4 26, |b|,26 2k 0 k 3.14.【答案】4【解析】设每年的营运成本为数列an，依题意该数列为等差数列，且ai=3,d=2.所以 n 年后总营运成本Snn22n，因此，年平均盈利额为：15.【答案】2 6【解析】 如图，在正方体 ABCDAB

20、iCiDi中,平面 AiDiDA /平面 BiCiCB,平面 AiEC 与平面 BiGCB 的交线必过 C 且平行于 AiE, 故平面AiEC 经过 BiB 的中点 F,连接 AiF,得截面 AiECF, 易知截面 AiECF 是边长为的菱形，其对角线 EF=BD=22, AiC=2 3，截面面积 S=2AICEF=222 2,3=2 6.v2i6.【答案】2x-y-2=0, 25【解析】当过点(i,1)的直线I斜率不存在时，直线方程为：x=i,切点的坐标 A(i,0)；当直线I斜率存在时，设I方程为y=k(x i) i,根据直线与圆相切，圆心(0,0)到切线的距离等于半径i,可以得到切线斜率

21、 k 即I:y=4x5.直线I方程与圆方程的联立可以得切点的坐标B(|,含；根据 A、B 两点坐标可以得到直线 AB 方程为 2x-y-2=0,(或利用过圆x2+y2=r2外一点(x,y)作圆的两条切线，则过 两切点的直线方程为X0X yy r2)依题意，AB 与 x 轴的交点(i,0)即为椭圆右焦点，得c i,与 y 轴的交点(0, 2)即为椭圆下顶点坐标，所以2 2b 2,根据公式得a2b2c25，因此，椭圆方程为：-54i.三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 i72i 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.(一

22、)必考题：共 60 分i7.解：(i)依题意， 由正弦定理得:TB2C, - 3sinCcosC3sin B 4sinC.3sin2 C 4sin C ,.2sin C ,.i分2 2 分3 分sinC 0,cosC3.(2)解法一：由题意得：c3,b 4.- 14 -TC (0, ), sinC. i cos2CTC (0, ), sinCi cos2Csin B sin 2C2sin C cosCcosB cos2Ccos C sin Csi nAsin(4 .59C) si n(B i 594.59i9，C)sin BcosC cosBsi nC.iS/ABCqbcsin A解法二：由题

23、意及(i)得:7角角27 .37,53百百ii 分3,b 4.cosC- 15 -由余弦定理c2=a2+ b22abcosC得：9=a2+16 8a舟,. 8 分即3a216a 2仁0, 解得a=3 或 a=3 .9 分若a=3，又c 3,则 A=c,又 B=2C,得厶ABC 为直角三角形，而三边为a=3,b 4,c 3的三角形不构成直角三角形，矛盾.二a=-7 . .11 分SVABCabsinC * 4身.18解：(1)依题意，A、B 配方样本容量相同，设为 由 B配方的频频率分布直方图，得废品的频率为解得 n=100. . 分 a=100-(8+36+24+8)=24.3 分由(0.00

24、6+ b+0.038+0.022+0.008) 10=14 4 分解得 b=0.026.因此 a, b 的值分别为 24, 0.026;. 5 分(2)由(1)及 A 配方的频数分布表得，A 配方质量指标值的样本平均数为x=80 8 90 24 100 36 110 24 120 8 =200 8 200 24 100 36=1007分XA=100=100=iuu.7分质量指标值的样本方差为SA=10Q(- 20)28+(- 10)224+0 36+10224+2028=112. 8 分由 B 配方的频频率分布直方图得，B 配方质量指标值的样本平均数为XB=80 0.06+90 0.26+10

25、0 0.38+110 0.22+120 质量指标值的样本方差为5SB(Xix)2Pi=(-20)20.06+(-10)20.26+0i 1所以选择 B 配方比较好当 BC 丄平面 PEB 时，求三棱锥 GPBD 的体积.19.证明：(1)依题意，在 ABE 中(图 1), AE=2,AB=22，/ EAB=45 由余弦定理得EB2=AB2+AE2- 2AB AEDOS45 =8+4- 2 2222=4，.2 分- AB2=A+E 舀,- -3 分即在口ABCD 中，EB丄AD. .-4 分以 BE 为折痕将厶 ABE 折起，由翻折不变性得，在几何体P-EBCD 中,EB 丄 PE, EB 丄

26、ED.又 EDAPE=E,. BE 丄平面 PED,.5 分又 BE 平面 PEB PD BE；- -6 分/ BC 丄平面 PEB, PE 平面 PEB BC 丄 PE . 7 分由(1)得 EB 丄 PE 同理可得 PE 丄平面 BCE, . 8 分即 PE!平面 BCD, PE 就是三棱锥 P-CBD 的高. .9 分又/ DCB=ZDAB=45 BC=AD=4 , CD=AB=2、2, PE=AE=2 , &CBD=2BCCD sin454 22舟=4.10 分综上XAXB,sAsB,即两种配方质量指标值的样本平均数相等，但11 分A 配方质量指标值不够稳定，n,又 B 配方废

27、品有 6 件.n 0.006 10,.1 分0.08=100.0.38+1020.22+2020.08=104.10 分12 分C- 16 -依题意直线 BM 的斜率不为 0,设 M(t, 0)(t丰1)直线 BM 的方程为 x=my+t, 分由(1)B(1,2), 1=2m+t，直线 BM 的方程为 x= y+t,.7 分代入 y2=4x.解得 y=2(舍)或 y=-2t, P(t2,-2t).8 分/ BMN=Z BNM, M、N 关于 AB 对称，得 N(2-t, 0) . 分同理得 BN 的方程为 x= L-1y+2-t，代入,=4x.得 Q(t -2)2, 2t- 4).1 10 分

28、kpQ(t 2)2t24 4t1，分直线 I 的斜率为-1,因此 PQ/ l. .12 分21.解：(1)依题得，f (x)定义域为R,f (x)(x2+2x+m)ex,ex0,.1 分令h(x) x22x m,=4 4m.若0,即m 1，则h(x) 0恒成立，从而 f (x)0 恒成立，当且仅当m 1,x 1时，f (x) 0.所以f (x)在 R 上单调递增.2 分若0,即mv1，令h(x) 0，得x 11 m或x 11_m.当x ( 11 m, 11 m)时，f (x)0；.3 分当x (, 1 J_m) U( 1 J_m,)时，f (x)0.4 分综合上述：当m 1时，f (x)在 R

29、 上单调递增；当mv1时，f (x)在区间(1.Lm, 1m)上单调递减，f(x)在区间(,1.厂m), ( 1.厂m,)上单调递增. .5 分依题意可知：g(x)2exnx 1f (x) exx2exnx 1.6 分令x 0,可得g(0)0, 分g (x)(1 x22x)exn(x R).设h(x) (1 x22x)exn，则h (x)(x24x 1)ex.8 分当x 0时，h (x) 0 , g (x)单调递减， 分故 g (x) g (0)1 n .-10 分要使g(x) 0在x 0时恒成立，需要g(x)在0,)上单调递减，所以需要 g (x) 1 n 0.11 分即n 1,此时g(x)

30、 g(0)0,故n 1.综上所述,n的取值范围是1,).1 12 分(二)选考题：共 10 分请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时, 请用因此，三棱锥 C-PBD 的体积为8 . .12 分(写出VC-PBD=VP-CBD得 1 分，结果正确并作答得1 分)20.解：(1)联立y2PX, 分x y 10,消去 x 得 y2+2py+2p=0, 分直线与抛物线相切，=4p2-8p=0,又 p0,解得 p=2,.抛物线 C 的方程为 y2=4x. .3 分由 y2+4y+4=0,得 y=-2，切点为 A(1,-2),点 B 与 A 关于 x 轴对称，点 B 的坐标 B(1,2).4 分(2)直线 PQ/ l. 分理由如下:1 1VGPBD=VP-CBC=3&BCDPE=3yOMxAQB丿- 17 -2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.22.解:(1)将曲线C:y 2CSSJ消去参数 得，曲线 C 的普通方程为：子七1.分- 18 -点 M(.2,4)在直线cos(R=a上，二a= .2cos(刁7)= 2. .2 分 cos( 4)= 2，展开得cos sin )=J2,又 x= cos , y= sin ,直线 l 的直角坐标方程为 x+y-2=0,