固体物理测试卷合集

1、固体物理测试卷（3）一、 （6题，每题5分，共30分）简要回答下列问题：1. 解释费米面（Ferimi surface）【解答】绝对零度下（T=0k）,晶体中电子在k空间中占据态与未占据态的分界面。在非零温度下指电子占据几率为1/2的状态所构成的面。2. 解释布里渊区和第一布里渊区（Brillourin Zone, First Brillourin Zone）【解答】在倒格子空间，以一格点为原点，此格子与其余格点连线的垂直平分面所围成的区域称为布里渊区。其中包含原点在内的最小封闭区域（WS原胞）为第一布里渊区，与第一布里渊区连通的区域（三维时面连通，二维时线连通）为第二布里渊区。3. 试用能带

2、论简述导体、绝缘体、半导体中电子在能带中填充的特点。【解答】金属或导体中的价电子没有把价带（最高填充带）填满，此为导带。绝缘体中的价电子正好把价带填满，且更高的许可带（空带）与价带间相隔较宽的禁带。半导体和绝缘体相似，但禁带较窄。4. 解释朗道能级（Landan level）【解答】在垂直与恒定磁场的平面内，电子的圆周运动对应于以一种简谐运动，其能量是量子化的：(v=1,2,3.)这些量子化的能级称为朗道能级。5. 长光学支格波与长声学支格波本质上有何区别？【解答】长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动，振动频率较高，它包含了晶格振动频率最高的振动模式。长声学支格波的特征是原胞内的

3、不同原子没有相对位移，原胞做整体运动，振动频率较低，它包含了晶格振动频率最低的振动模式，波速是一常数。任何晶体都存在声学支格波，但见到晶格（非复式格子）晶体不存在光学支格波。6. 为什么价电子的浓度越高，电导率越高？【解答】电导是金属导电能力的量度。导电能力取决于单位时间内通过切面积的电子数。但并不是所有价电子对导电都有贡献，对导电有贡献的是费米面附件的电子。费米球越大，对导电有贡献的电子数目就越多。费米球的大小取决于费米半径可见电子浓度n越高，费米球越大，对导电有贡献的电子数目就越多，该金属的电导率就越高。图-1二、 （15分）图B3-1表示一个由两种不同元素的原子所形成的二维层状晶体，其中

4、正三边形的边长为a。请分析并找出其基元，画出其Bravais 格子、初基元胞和W-S元胞，并写出基矢在适当直角坐标系中的表达式。【解答】基元：Bravais格子初基元胞W-S元胞基矢：！注意：从第三 .1题和第三 .2题中选做其中一个题三、 1（10分）原子是具有自旋1/2的费米子。在绝对零度附件，液体的密度为。计算费米能量和费米温度。原子的质量为。【解答】的自旋为1/2，是费米子，其质量。在密度的液体中，单位体积中的数目为:其费米能为：将n , m值带入；得到:其费米温度为：三2（10分）求出bcc Bravais 格子（110）晶面族的晶面上的格点数密度和面距离。【解答】晶 面格 点 数

5、面 密 度面 距 离bccbcc100四、 (15分)考虑晶格常数为a和c的三维简单六角晶体的第一布里渊区。令为平行于晶格c轴的最短倒格矢。（） 证明对于六角密堆积结构，晶体势场的傅里叶分量为零。（） 是否也为零？（） 为什么二价原子构成的简单六角晶格在原则上有可能是绝缘体？（） 为什么不可能得到由单价原子六角密堆积形成的绝缘体？【解答】（1） 证：由教材p61(3.2.30)和（3.2.31）两式，对于基元中原子数p>1的复式晶格，且由同种原子组成的基元，有：Hcp结构初基矢量的一种取法其中：是复式晶格的某一倒格矢的傅里叶分量。是同种原子组成的基元的几何结构因子。由式可知，对于复式晶格

6、的某一倒格矢，如结构因子为零，则周期势相应的傅里叶分量也为零。因此，来计算对于六角密堆积结构：六角密堆积结构的布喇菲点阵是简单六角，相应的基元包括两个同种原子，它们的坐标是，如图所示：将以上关系代入结构因子的表达式中，得：据题意，本题中 代入得:故对于六角密堆积结构，晶体势场的傅里叶分量为零。（2） 解：代入（1）问式中，得：故：不为零。（3） 对处于简单六角点阵阵点上的二价原子构成的晶体，每个单胞有两个价电子，N个单胞有2N个价电子，刚好可以填满第一布里渊区（一个能带），故原则上可以形成绝缘体（如果没有能带交迭）。（4） 对于单价原子的六角密堆积结构，虽然每个单胞也有两个价电子，N个单胞有2

7、N个价电子，但由于第一布里渊区一个边界面上能隙消失，和第二布里渊区连通，形成一个复合区，可以容纳4N个电子，2N个电子只能填充这个复合区的一半，于是，在外加电场下可以导电。因而单价原子的六角密堆积原则上不可能形成绝缘体。五、 （15分）用紧束缚近似求出面心立方金属和体心立方金属中与s态原子能级对应的能带的函数。【解答】（1） 面心立方结构晶体具有12个第一近邻，它们的格矢如下个，个，个于是其中：同理可得：由教材（3.3.10）式及（3.3.13）式可知，S态能带为：（2）体心立方结构晶体具有8个第一近邻，它们的格矢如下仿照面心立方结构的情形有：S态能带为：！注意：从第六 .1题和第六 .2题中

8、选做其中一个题六、 1（15分）计算一维单原子链的动量。应用周期性边界条件，证明波矢时，即声子不携带动量。证明：对于波矢为q,频率为的一维单原子链的格波：原子链上第n个原子的动量为: 原子链的总动量为： 式中N是原子链上的原子数。由周期性边界条件:式化为：利用公式：式化为：当时（即）时，式中的，因而有的模式是描写晶体中所有原子的相对运动的，由于每个原子有一定位相差，原子链的总动量为零，这表明声子是不携带物理动量的。六、2（15分）对于原子间距为a，由N个原子组成的一维单原子链，在德拜近似下（1） 计算晶格振动频谱；（2） 证明低温极限下，比热正比于温度T【解答】图5.4 一维单原子链德拜模型色

9、散关系（1） 按照德拜模型，格波的色散关系，即振动频谱为对于原子间距a为一维单原子链色散曲线如图示：由色散曲线的对称性可以看出，区间对应两个同样大小的波矢区间，区间对应N个振动模式，单位波矢区间对应有个振动模式。范围则包含：个振动模式则有其中是单位频率区间包含的振动模式数目，即模式密度。由式有由式有上两式联合得出将式代入，得（2） 证明：N个原子构成的一维单原子链，晶格振动总的热振动能为其中叫做模式密度，热容量作变量代换得其中在低温极限下，中的被积函数按二项式定理展开成级数则积分由此有固体物理测试卷（4）一、简要回答下列问题：（56=30）1.晶体膨胀时，费米能级如何变化？解答： 费米能级 =

10、,其中n是单位体积内的价电子数目。晶体膨胀时，体积变大，电子数目不变，n变小，费米能级降低。2某种晶体的倒格子为体心立方结构 ，该晶体的正格子是什么结构？解答： 面心立方3简述近自由电子近似模型，方法和所得到的主要结论。解答： 考虑金属中电子受到粒子周期性势场的作用，假定周期性势场的起伏较小。作为零级近似，可以用势场的平均值代替离子产生的势场·： =v(). 周期性势场的起伏量v()- = 作为微扰来处理。当两个由相互自由的矩阵元状态和=的零级近似能量相等时，一级修正波函数和二级能量修正趋于无穷大。 即 ，或者 ，在布里渊区的边界处，能量发生突变，形成一系列的能带。4.试用能带论简述

11、导体，绝缘体，半导体中电子在能带中填充的特点。解答： 金属或导体中的价电子没有把价带（最高填充带）填满，此为倒带； 绝缘体中的价电子正好把价带填满，且更高的许可带(空带)与价带间相隔较宽的禁带； 半导体和绝缘体相似，但禁带较窄。5.简要阐述固体物理中的Born-Oppenheimer近似（或绝热近似）的内容及物理依据。解答： 原子核（或原子实）质量比电子大上千倍，电子的运动比核快得多，因而可认为电子是在准静态的核构形的势场中运动。从而可把电子与核的运动分开来讨论。即固体的运动简化成相对较简单的电子运动和核的运动。6.什么是声子？解答: 晶格振动的能量量子。在晶体中存在不同振动频率的模式，称为晶

12、格振动，晶格振动能量可以用声子来描述，把声子看作具有能量(), 动量的玻色子，但声子并不是真正的粒子，声子可以被激发，也可以湮灭，有相互作用时声子数不守恒。图B4-1二（15）图B41表示一个由同种元素的原子所形成的二维层状晶体，其中正六边形的边长为a，请分析并找出其基元，画出其Brawais格子，初基元胞和W-S元胞，并写出基失在适当直角坐标系中的表达式。解答： 基元Bravais格子：初基原胞：Y 2a 2a XW-S 原胞：基失： , 三，（10）求出bcc Bravais格子（110）晶面族的晶面上的格点数和面间距。解答：晶面格点数面密度面间距bccbcc100四（15）设一维晶体中的

13、单电子势（即晶体势能场）为, na-b 0, 其中，a=4b,w为常数。（1）画出此势能曲线，计算势能的平均值；（2）根据近自由电子近似方法，求出晶体中第一个以及第二个禁带的宽度。解答： 势能曲线：V(x)0 b a 2a x由于势能具有周期性，因此只在一个周期内求平均值即可： = =禁带宽度的表示为：=2其中是周期势场傅立叶级数的系数：第一禁带宽度为： =2 =2 = 第二禁带宽度为： =2 =2 =五（15分）设电子等能面为椭球外加磁场相对于椭球主轴方向余弦为，（1） 写出电子的准经典运动方程：解答：（1） 恒定磁场中电子运动的基本方程：电子的速度：电子的能量：电子的速度：磁感应强度：代入

14、电子运动方程： 应用关系故电子运动方程： 六 （15）考虑一个同原子组成的平面方格子，用记第L列，第m行的原子垂直于格平面的位移，每个原子质量为M，最近邻原子的力常数为1 。证明运动方程为 M=【（）】2 设解的形式为 ：这里a是最近邻原子的间距 ，证明运动方程式可以满足的， 如果M=2） 这就是问题的色散关系3 证明独立解存在的q空间区域是一个变成为2|a 的正方形，这是平面方格子的第布里渊区， 画出q=，而=0 和时的）图。解答 证明： 如图所示： L, m+1 Y L-1,m L,m L+1,m L,m-1 X只考虑最近邻原子的作用，第l，m原子受到（l+1,m）,(l-1,m),(l,

15、m+1)(l,m-1)四个原子的作用力为：（l+1,m）对它的作用力=（l-1,m）对它的作用力=（l,m+1）对它的作用力=（l,m-1）对它的作用力=（由于（l+1,m）和（l-1,m）对它的作用力以及（l,m+1）和（l,m-1）对它的作用力的方向都是相反的，于是运动方程式可写为 (1)证明：设解得形式为 （2）代入运动方程（1）后，得到色散关系 （3）证明：从（2）（3）两式可以看出，均为的周期函数，周期为，所以的取值可以限制在 的区域内，也就是说，全部独立的解都落在q空间中一个边长为的正方形区域内，这就是平面方格子的第一布里渊区。对于布里渊区中q=，=0以及两个特殊方向上的色散关系容

16、易从（3）式求出：， ； （4） ， = （5） 固体物理测试卷（五）一、（6题，每题5分，共30分）简要回答下列问题：1.为什么价电子的浓度越高，电导率越高？【解答】电导是金属导电能力的量度。导电能力取决于单位时间内通过的切面积的电子数。但并不是所有的价电子对导电都有贡献，对导电有贡献的是费米面附近的电子。费米球越大，对导电有贡献的电子数目就越多。费米球的大小取决于费米半径可见电子浓度n越高，费米球越大，对导电有贡献的电子数目就越多，该金属的电导率就越高。2.晶态，非晶态，准晶态在原子排列上各有什么特点？【解答】晶态：原子做周期排列，长程有序。非晶态：原子排列短程有序，长程无序。准晶态：原子

17、排列位置有序，但无周期性。3.简单解释布洛赫定理（Bloch theorem）【解答】当势场具有晶格周期性时，即，为晶格矢量单电子薛定谔的波函数是按布拉维格子周期性调幅的平面波，即且 波函数也具有如下性质：4.简述紧束缚近似模型的思想和主要结论。【解答】紧束缚近似模型方法的思想：电子在一个原子（格点）附近时，主要受到该电子势场的作用，而将其它原子或格点的势场作用看作是微扰，将晶体中电子的波函数近似看成原子轨道波函数的线性组合，这样可以得到原子能级和晶体中能带之间的关系。一个原子能级对应一个能带，不同的原子能级对应不同的能带，当原子形成固体后，形成了一系列的能带。能量较低的能级对应内层电子，其轨

18、道较小，原子之间内层电子的波函数相互重叠较少，所以对应的能带较窄。能量较高的能级对应外层电子，其轨道较大，原子之间外层电子的波函数相互重叠较多，所以对应的能带较宽。5.爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源是什么？【解答】按照爱因斯坦温度的定义，爱因斯坦模型的格波的频率大约是HZ,属于光学支频率。但光学格波在低温时对热容的贡献非常小，低温下对热容贡献大的主要是长声学格波。也就是说爱因斯坦没有考虑声学波对热容的贡献，即爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源。6.晶体的结合能，晶体的内能，原子间的相互作用势能有何区别？【解答】自由粒子结合成晶体的过程中释放能量，或者把晶体拆散成一个个自由粒子所

19、需要的能量，称为晶体的结合能。原子的动能与原子间的相互作用势能之和为晶体的内能。在0 K时原子还存在零点振动能，但零点振动能与原子间的相互作用势能的绝对值相比小得多。所以在0 K时原子间的相互作用势能的绝对值近似等于晶体的结合能。二、（15分）图B5-1表示的一个由两种不同元素的原子所形成的二维层状晶体， 其中正三边形的边长为a。请分析并找出其基元，并画出其Brawais格子、初基元胞和W-S元胞，并写出基矢在适当的直角坐标系中的表达式。【解答 基矢：！注意：从第三1题和第三。2题中选做其中一题。三1（10分）对一双原子线，设AB键长为a/2,取ABABAB排列，原子A,B的形状因子分别为、，

20、入射X射线束垂直于原子线。（1）证明干涉条件为,其中为衍射束与原子线间的交角。（2）倒格矢G=hb, h为整数。证明h为基数时衍射束的强度正比于，h为偶数时正比于。（3）说明时会发生什么现象。【解答】（1）如图所示： aBA设原子是等间距的，衍射光束与原子链的夹角为，当入射X光垂直于原子链时，A原子散射波的光程差为，当时，各A（B）原子的散射波的相位差为0，散射波相互加强形成很强的衍射光。（2）一个原胞基矢包含A、B两个原子，位置分别为；另知一维等距离的倒格矢 ， h为整数若 故h为奇数时，衍射束的强度正比于故h为偶数时，衍射束的强度正比于（3）若，当h为奇数时衍射光的强度为零，只是A原子与B

21、原子的散射波的相位差为，相位相反，相互抵消，即对应消光现象。当h为偶数时，衍射光的强度最强。三.2（10分）考虑一双原子链的晶格振动，链上最邻近原子间的力常数交替地等于C和10C。令原子质量相同，且最邻近的距为,试求在q=0和处的,并大致的画出色散关系。【解答】如图所示的双原子链 按题设条件，运动方程为设解为， （2）将（2）式代入（1）式中，得是u,V的线性齐次方程组，存在非零解的条件是解出所以当时当时与q的关系如图所示0这是模拟一个双原子分子晶体的例子，分子内原子间的力常数要比分子间的力常数大的多。反映分子整体振动的声学波频率决定于分子间比较弱的相互作用，频率较低。而反映分子内原子的相对振

22、动的光学波，决定于分子内原子比较强的相互作用，其振动频率要比声学波高的多。！注意：从第四1题和第三。2题中选做其中一题。四.1（15分）设有二维正方晶格，其晶格势场按弱周期场处理，求出布里渊区角处的能隙。【解答】周期性势能可改写成：由上式给出的周期性势能只有下面四个傅氏分量不为零：而点正好处于的垂直平分线上，即处在第一布里渊区边界线上，故电子能量在那里发生分裂，其能隙大小为四.2（15）分 相同原子组成的一维单原子链，原子间距a，（1） 根据紧束缚近似，只计入近邻相互作用，写出原子S态对应的晶体波函数的形式。（2） 求出相应能带的函数。【解答】（1） 紧束缚近似下，以晶体中电子的院子轨道波函数

23、的布洛赫和晶体的波函数，设S态波函数为，则晶体波函数为：为晶格波矢（2） 紧束缚近似下，只计入最近邻格点原子的相互作用。则： 能带： （任选一个格点为原点） 其中：为S态原子能级S原子波函数具有球对称性：所以，有两个最近邻的格点，其坐标为 ：a和-a代入上式得： 5 （15分） 对原子间距为a的由同种原子构成的二维密堆积结构，（1） 画出前3个布里渊区；（2） 求出每个原子有一个自由电子时的费米波矢；（3） 给出第一个布里渊区内接圆的半径；（4） 求出内接圆为费米圆时每个原子的平均自由电子数；（5） 平均每原子有俩个自由电子时，在简约布里渊区中画出费米圆的图形。【解答】 对原子间距为a的由同种原子构成的二维密堆积晶格如下：aXy （1） 该晶格是一个简单格子，即每个原胞包含有一个原子。取一格点为坐标原点，建立如图所示的坐标系，原胞也如图所示。基矢（