2020届河南省顶级名校高三1月教学质量测评数学(文)试题(解析版)

1、第1 1页共 2020 页2020 届河南省顶级名校高三 1 月教学质量测评数学（文）试一、单选题1 1 设z 2 5i 3 i，则；z()A A .5悩B B.7290C C.70D D.35【答案】B B【解析】化简得到z 11 13i，再计算模长得到答案 【详解】依题意，z （2 5i）（3 i） 6 2i 15i5 11 13i，故|z|,121 169,290. .故选：B.B.【点睛】本题考查复数的运算、复数的概念，考查运算求解能力以及化归与转化思想2 2 已知集合U x Z| 3 x 8,euM 2,1,3,4,7,N 2, 1,2,4,5,7,则M N的元素个数为（）A A .

2、 1 1B B. 2 2C C. 3 3D D. 4 4【答案】C C【解析】计算U 2, 1,0,1,234,5,6,7,M 1,0,2,5,6，再计算M N得到答案 【详解】U 2, 1,0,1,234,5,6,7，贝y M 1,0,2,5,6，故M N 1,2,5,则M N的元素个数为 3.3.故选：C.C.【点睛】本题考查集合的表示、集合的运算，考查推理论证能力以及化归与转化思想412.93 3 己知a46,b log5,c，则（）4213A A. a a b b c cB B.a c bC C.b c aD D.cab第2 2页共 2020 页【答案】B B第3 3页共 2020 页

3、对数的大小比较，还考查推理论证能力以及化归与转化思想，属于中档题. .4 4. 20192019 年 1010 月 1 1 日，为了庆祝中华人民共和国成立7070 周年，小明、小红、小金三人以国庆为主题各自独立完成一幅十字绣赠送给当地的村委会，这三幅十字绣分别命名为鸿福齐天”、国富民强”、兴国之路”，为了弄清 国富民强”这一作品是谁制作的，村 支书对三人进行了问话，得到回复如下： 小明说： 鸿福齐天”是我制作的；小红说： 国富民强”不是小明制作的，就是我制作的；小金说： 兴国之路”不是我制作的，若三人的说法有且仅有一人是正确的，则鸿福齐天”的制作者是（）A A .小明B B.小红C C .小金

4、D D .小金或小明【答案】B B【解析】将三个人制作的所有情况列举出来，再一一论证【详解】依题意，三个人制作的所有情况如下所示：1 12 23 34 45 56 6鸿福齐天小明小明小红小红小金小金国富民强小红小金小金小明小红小明兴国之路小金小红小明小金小明小红【解析】先将三个数通过指数,对数运算变形604b log4212.9【详因为a所以a故选：B.B.【点log?10,041再判断. .2.9601，log5；21log51 0,0 c4本题主要考查指数、【答案】A A第 3 3 页共 2020 页若小明的说法正确，则均不满足；若小红的说法正确，贝 y y则 3 3 满足 故鸿福齐天”的

5、制作者是小红，故选：B.B.【点睛】本题考查推理与证明，还考查推理论证能力以及分类讨论思想, ZV/仝U T4 4 满足；若小金的说法正确,属于基础题. .)2第5 5页共 2020 页【解析】 根据图象特征，先判断奇偶性，再用特殊值进一步确定【详解】故函数 f f (x)(x)为偶函数，图像关于y轴对称，排除 C C；2 2而f ( )0,排除 B B；f(2 )0,排除 D.D.205故选：A.A.【点睛】本题考查函数的图像与性质，还考查推理论证能力以及数形结合思想，属于中档题 6 6 为了了解公司 800800 名员工对公司食堂组建的需求程度，将这些员工编号为 1,2,3,1,2,3,8

6、00800,对这些员工使用系统抽样的方法等距抽取100100 人征求意见，有下述三个结论：若 2525 号员工被抽到，则 105105 号员工也会被抽到；若3232 号员工被抽到，则 1 1 到 100100号的员工中被抽取了 1010 人；若 8888 号员工未被抽到，则 1010 号员工一定未被抽到；其 中正确的结论个数为()A A 0 0B B. 1 1C C 2 2D D 3 3【答案】B B【解析】根据系统抽样的定义和性质，依次判断每个选项得到答案【详解】105 25将这800人分为100组，每组8人，即分段间隔为8；因为飞一10，故正确;若 3232 号员工被抽到，则 1 1 到

7、100100 号的员工中被抽取的号码为8 8, 1616, 2424, 3232, 4040, 4848,5656, 6464, 7272, 8080, 8888, 9696,共计 1212 人，故错误；若 8888 号员工未被抽到，则 1010 号员工可能被抽到，故 错误. .故选：B.B.【点睛】本题考查系统抽样，考查数学建模能力以及必然与或然思想7 7己知向量a (m,1),b,b ( ( 1,2)1,2)，若(a 2b) b，则：与b夹角的余弦值为()2后2 713c6后6用A A B B.C C D D 13136565依题意,f( x) sx2(x) cos( x)20. 2sin

8、 x x cosxx 20f (x)，第6 6页共 2020 页【答案】B B第7 7页共 2020 页rr r【解析】先由向量a (m,1), b b ( ( 1,2)1,2)，求得a 2b (m 2, 3)，再利用【详解】因为向量a所以a 2b (m 2, 3),r又因为(a所以m 26 0,解得m 8,所以r rcos a b102 13VAJOCl, u5 6513故选:B.B.【点睛】本题考查向量的坐标运算、向量的数量积应用， 还考查运算求解能力以及转化化归的思想，属于基础题. .38 8 .若tan()3,tan小sin2则2()si n()1A.-7B B. 7 71C C.7D

9、 D.7 7【答案】B B、1【解析】利用和差公式计算tantan()，再化简得到答案【详解】故选：B.B.【点睛】 本题考查诱导公式、两角差的正切公式，考查运算求解能力以及化归与转化思想9 9 框图与程序是解决数学问题的重要手段，实际生活中的一些问题在抽象为数学模型r2b)(1,2)(1,2),tan tan(tan( ) tan1 ta n( ) tan.3sin -2cossin(sintan第8 8页共 2020 页之后，可以制作框图，编写程序，得到解决，例如，为了计算一组数据的方差，设计了如图所示的程序框图，其中输入Xi15，x216，x318，x420，x522，X624，X725

10、，则图中空白框中应填入()c Si-6 SSi-6,S 7SA A i6,SB B.C C.i 6,S7SD D .，77【答案】A A【解析】依题意问题是S17X12022x220X7202，然后按直到型验证即可【详解】根据题意为了计算7 7 个数的方差， 即输出的1222Sx1207x220 x720,观察程序框图可知，应填入i 6,SS,7故选：A.A.【点睛】本题考查算法与程序框图，考查推理论证能力以及转化与化归思想，属于基础题. .2 21010 己知双曲线C:X2占1(a 0,b 0)的左、右焦点分别为Fi,F2，点M(,m). .a b若线段F2M与双曲线C的一条渐近线垂直，垂足

11、为N，且 小OF?的面积是AMON的2 2 倍，则双曲线C的离心率为()4第9 9页共 2020 页A A 、2【答案】B B【解析】不妨设m 0,NF2即为双曲线的焦点到渐近线的距离，故B B. ,3NF?b，计算得到2.2 2a c2.2c【详不妨设m 0,因为NOF?的面积是MON的 2 2 倍，故2SMOF23SNOF2,a不妨设m 0,则直线MF2: y (x c)，故mbac而2MF23 NF2，则22 2*cc23b，即3a2c2，故故选：B.B.【点本题考查双曲线的方程与性质，考查运算求解能力1111 在AABC中，角代B,C所对的边分别为a,b,c. .若tanC.7,c2a

12、，b 3.2时，则 从BC的面积为()【答案】B B3、78【解析】计算sinC、14 c 2.D,cosC,sin B44査,利用正弦定理计算得到8再计算面积得到答案【详因为tanCsinCcosC、7，且sin2Ccos2C2解得sinC -4,cosC4而c 2a,asin Ac，所以si nAsi nC2sC故sinB sin(A C) sin(AC)347 sin AcosC cosAs inC -84，化简得到答案第1010页共 2020 页因为工,b 3 2，故a 2,sin A sin B故SABC1absinC12 3.2土 耳2242故选：B.B.【点睛】本题考查解三角形，

13、考查运算求解能力以及化归与转化思想Q Xi, yi在椭圆C上，其中椭圆C的离心率的取值范围为（A A .0，-B B.（0，、6 2C C.（乎，、3 1D D.（0八3 1【答案】C C【解析】设PFin,PF2m,计算-1,m1，得到2-,43，计算得到3nn m 3答案 【详解】设PFin,PF2m,由Xi0, yi0知m n,由P Xi, yi,QXi,yi在椭圆C上,|PQ | 2 OF2可知四边形PFQF2为矩形,QFiQF2；QFi73PFi可得由椭圆的定义可得2a, m2n224c，平方相减可得mn4 c2所以mn厂可得a22c2, e22X y1212 .己知椭圆C :221

14、(aa bb 0）的左、右焦点分别为Fi, F2，点P Xi, yi,2OF，屠1写，则yi0,若|PQ|3第1111页共 2020 页4c22a.3 C、31)2,所以e -, .3 1,a所以e,3 1. .故选：C.C.【点睛】本题考查椭圆的方程与性质，考查运算求解能力二、填空题1313 .曲线匚空在(0,0)处的切线方程为e【答案】2x【解析】求导y2(2x 2) x 2x，计算2，得到切线方程. .【详解】(2x 2)exyxe2xe2x(2x 2)x22xxexo2,故所求切线方程为y 2x. .故答案为：y 2x. .【点睛】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力1414 设S

15、n为正项等比数列an的前n项和，若S24,S S42020 ,则an【答案】2* 13【解析】记数列an的公比为q，根据等比数列公式计算得到答案【详解】记数列an的公比为q，显然4q2qq25,解得q而an0，故q=2，故S2aia?3a)解得ai彳，故an2n2* 13第1212页共 2020 页第1313页共 2020 页【点睛】本题考查等比数列的通项公式、前n项和公式，考查运算求解能力以及化归与转化思想1515.函数f(x) tan60 sin 2x 2j3sin2x在 ,上的值域为 _【答案】,63,2、337【解析】化简得到f(x) ,6sin 2x ,3,2x,，得到答案4444【

16、详解】f (x)3sin 2x.3 2、3sin2x.3 73sin 2x 3cos2x .3用sin2x43，37J2当x,时，2x,，故sin 2x1,244442故辰n 2x 73 76 73,2 734故答案为：.6、32、3. .【点睛】本题考查三角函数的图像与性质，考查运算求解能力1616 己知四棱锥P ABCD中的外接球O的体积为36, PAPA 3 3 ,PA平面ABCD,四边形ABCD为矩形，点M在球O的表面上运动，则四棱锥M ABCD体积的最大值为_【答案】814【解析】 设长方体的长、宽、高分别为a,b,c，且c 3，由于a2b227,得到(ab)max才，再计算体积的最

17、大值得到答案. .【详解】43R 36，故R 3,3将四棱锥P ABCD补成长方体，可知外接球的直径为长方体的体对角线,故答案为:2n第1414页共 2020 页设长方体的长、宽、高分别为a,b,c，且c 3，由于a1 2b227,又a3 4b52ab,当且仅当ab乙6时等号成立，此时(ab)max27,2 2要使得四棱锥M ABCD的体积最大，只需点M为平面ABCD的中心0与球心0所1求a的值；2求A地区 200200 家实体店该品牌洗衣机的月经济损失的众数以及中位数；3 不经过计算，直接给出 A A 地区 200200 家实体店经济损失的平均数x x 与 60006000 的大小关系. .

18、【答案】(1 1)0.00009; (2 2)众数为 30003000,中位数为3000; (3 3)x6000【解析】(1 1)根据概率和为 1 1 计算得到答案. .在的直线与球的交点，又00第1515页共 2020 页故M ABCD体积的最大值为1 273381. .3224【点睛】本题考查组合体与球，考查空间想象能力以及计算能力 三、解答题1717 .由于受到网络电商的冲击，某品牌的洗衣机在线下的销售受到影响，承受了一定的经济损失，现将A地区 200200 家实体店该品牌洗衣机的月经济损失统计如图所示. .第1616页共 2020 页(2)计算众数和中位数得到答案. .(3)直接根据概

19、率分布直方图得到答案. .【详解】(1) 依题意，(0.00015 0.0002 a 0.00006) 2000 1，解得a 0.00009. .(2)由图可知，A地区 200200 家实体店该品牌洗衣机的月经济损失的众数为30003000，第一块小矩形的面积30.3，第二块小矩形的面积S 0.4，故所求中位数在2000,4000)之间，所求中位数为20000.5 0.33000. .0.0002(3)直接根据概率分布直方图得到：X 6000. .【点睛】本题考查频率分布直方图、样本的数字特征，考查运算求解能力以及必然与或然思想1818 .记Sn为等差数列an的前n项和，且印0=4, 5530

20、. .(1)(1) 求数列 a an的通项公式以及前n项和Sn；(2)(2)记数列2an 4an的前n项和为 T Tn，求满足Tn0的最小正整数n的值. .【解析】(1 1)计算a82,d色0色1，得到通项公式和Sn. .10 8(2 2)化简2an 4ann 6 2n 2，利用分组求和法得到 卫丄丄)纟-2 2算得到答案. .【详解】(1 1)记数列an的公差为d,S1530，故15a830，即2. .故d业鱼1，故ana10(n 10)d 4 n 10 n 6,10 82n(n 1) n11n5n2 2 2(2(2)依题意，2an 4ann 6 2n 2【答案】(1 1)ann 6, &a

21、mp;11n2(2) 5 5n(n 1)dna2第1717页共 2020 页MA【点睛】本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式、等比数列的前n项和公式，考查运算求解能力以及函数与方程思想 1919 四棱锥S S ABCABCD D如图所示， 其中四边形ABCD是直角梯形，AB AD,1AD DC,SA平面ABCD,DA DC AB,AC与BD交于点G，直线SC与平面ABCD所成角的余弦值为 土，点M在线段SA上. .5 5Tnn 6)212。L2n 2n(n 11)2n1_22，1时,1 10 21122时,2 9 22123时,3 8 23124时,T44 7 2412当ir 5n(n31

22、，所以Tn20. .故满足Tn0的最小正整数n的值为5 5第1818页共 2020 页(2 2)若DA 1，求点A到平面SCD的距离 【答案】(1 1)1； (2 2)上 3 323【解析】(1)连接MG，设DC 1,AB 2，根据线面平行得到SC/MG，得到答案 (2 2)在平面 SADSAD 内作AN SD于点N，证明AN平面SCD，再计算长度得到答案 【详解】(1 1)连接MG. .因为AB AD,AD DC，故AB/CD 设DC 1,AB 2，得竺竺2GC DC 因为SC/平面MBD，平面SACI平面MBD MG,SC平面 SACSAC，(2(2)在平面 SADSAD 内作AN SD于

23、点N，因为SA平面ABCD，所以DC SA，又DC AD,SA AD A，得DC平面 SAD.SAD.因为AN平面 SADSAD，所以CD AN. .又SDI CD D，所以AN平面SCD. .因为直线SC与平面ABCD所成角的余弦值为 空，5 5故SC/MG，故SMMACGAG第1919页共 2020 页则SA乎，而AD停AD，得SD乎，AN于， 即点A到平面SCD的距离为即sin ASC255又AC.2，故SC第2020页共 2020 页【点睛】本题考查空间线面的位置关系、空间几何体的结构特征、空间想象能力以及数形结合思想 (1(1)判断函数 f(x)f(x)在(0,2(0,2 ) )上的

24、单调性;1(2)若0 a，求证：当x (0,)时，f(x) a In. .x【答案】(1 1)单调递减；(2 2)证明见解析证明 g(x),g(x), 0 0 在(0,2(0,2 ) )上恒成立，得到答案sin x(2 2)先证明当x (0,)时，01，再证明当0 a时，一alnx 1,xx得到答案 【详解】xcosx sin x(1)f (x)-x令g(x) xcosx sinx，贝U g (x) xsinx,故当x (0,)时，g (x)0，当x ( ,2 )时，g (x)0,2020 .己知函数f(X)sinxx【解析】(1 1)求导得到f(X)xcosx sinx，令g(x)xcosx

25、 sinx第2121页共 2020 页故g(X)maxg( )0,故 g(x),g(x), 0 0 在(0,2(0,2 ) )上恒成立，故 f f (X),(X), 0 0 ,第2222页共 2020 页即函数 f(x)f(x)在(0,2(0,2 ) )上单调递减 1sin x(2 2)依题意，f(x) aln , alnx0. .x xxsin xF面证明：当x (0,)时，o1；当o a时，一alnx 1；xxh(x) x si nx,则h (x) 1 cosx 0，所以h(x) x si nx在(0,)上单调递增,h(x) h(0)0，则x sinx 0，sin x .又x 0,sinx

26、 0，则01，xaax令s(x) alnx，贝U s(x)22，xx x x若x0，即0a,1，则s(x)在(0,)上单调递减，故as(x) s( )1 aln 1. .综上所述，当0 a时，一alnx 1,xsin x1则一aln x0,即f (x) a ln. .xxx【点睛】本题考查利用导数研究函数的性质，考查推理论证能力以及函数与方程思想22121 .己知椭圆C : y21的左、右焦点分别为F1,F2，点M, N在椭圆C上. .51(1)若线段MN的中点坐标为2,，求直线MN的斜率；3(2)若M,N,0三点共线，直线NF1与椭圆C交于N,P两点，求APMN面积的最大值，【答案】(1 1

27、) ； (2 2) 、55由s(x) 0，得s(x)的极小值点为x0若x0(0,)，则1 aaa则s X。X。aln x0a aln a1，故s(x) aln x 1,x，2第2323页共 2020 页(2)显然直线NF1的斜率不为 0 0， 设直线NF1:xmy2,N X1，y1,P X2, y2，联立XmyX25y22消去x整理得5,y24 my显然20 m210，故y1y24m51m25故PMN的面积SPMN2SOPNOF1y1y2m25令、孑t，其中tT，SPMN4 5tt24当且仅当t 2，即m,3时等号成立，即PMN面积的最大值为【点本题考查直线与椭圆的关系、基本不等式，考查运算求

28、解能力以及化归与转化思想X2222 .在平面直角坐标系xOy中，曲线 G G 的参数方程为y2 2cos（为参数），2sin以原点为极点，X轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为2CO44s in2【解析】（J设M为，,N X2, y2，代入椭圆方程相减得到答案(2)设直线NF1:Xmy 2, N,P，联立方程得到y4m72十，1Y1Y2厂，得到m 5SPMN4、5 . m21m2计算得到答案 【详(1(1)设M Xi, yi,N X2, y2，则2X12y2两式相减，可得X1X2X-!5X2yiy2yiy2即4X1X2解得% y?X1x26，即直线MN的斜率为5第2424页

29、共 2020 页（）求曲线C1的极坐标方程以及曲线C2的直角坐标方程；（2）若直线l : y kx与曲线Ci、曲线C2在第一象限交于P,Q两点，且|0P| 2|0Q|,点M的坐标为（2,0），求AMPQ的面积. .2、2【详解】4cosX24y24，即一4因为4cos4sin2，故2cos2 . 2sin(2)将0代入22cos44s in241 3sin20 0代入p 4cos，得P4cos0,【答案】（1 1）Ci的极坐标方程为4cosx22，C2的直角坐标方程为7y 1（2）【解析】（1 1）先把曲线Ci的参数方程消参后, 转化为普通方程，再利用x cos , y sin求得极坐标方程2cos4，化为4si n2 2,2.2cos4 sin4，再利用xcos,ysin求得曲线C2的普通方程