利用图形的旋转变换解题

1、.利用图形的旋转变换解题这一轮课程改革,对几何作了较大幅度的调整,印象较深之一是加强了"几何变换"的内容,即从变换的角度去认识传统几何中的证题术。初中几何涉及的变换主要有平移、对称和旋转,本文从"旋转"这一角度举些例子,供大家参考。我们知道,图形的旋转变换不改变图形的形状、大小,只改变图形的位置,故解题时可充分利用图形的旋转变换的这一特点,把图形位置进展改变,从而到达优化图形构造,进一步整合图形题设信息的目的,使较为复杂的问题得以顺利求解。例1、如图1分别以正方形ABCD的边AB、AD为直径画半圆,假设正方形的边长为 ,求阴影部分的面积。解:连AC、BD

2、如右图,那么绕AD中点将图中逆时针旋转 到图中,将图中绕AB中点顺时针方向旋转 到图中,那么原图中阴影部分的面积就和DBC的面积相等,所以图中阴影部分的面积=SDCB = S 正方形ABCD= 。这里我们用旋转变换的方法改变了图中和的位置,从而顺利地完成了计算。例2、如图所示,在ABC中,AB=AC,BAC= ,D是BC上任一点,试说明 。证法一非旋转法:过A点作AEBC于E,如图,那么容易证明AE=BE=EC,又BD=BE-DE,DC=CE+DE,所以 , ,所以 = + = ,而在直角三角形ADE中,存在 ,所以 ,这是传统的证明方法。此题考虑到BD、DC、AD三线段分散在两个三角形中,而

3、且构成平方和的条件不明显,假设利用旋转变换,将BD、DC放到一个三角形中,假设这个三角形是直角三角形,那么创造 就更能接近所证的目的了.证法二旋转法: 将ADC绕A点顺时针方向旋转 到AEB,如图, 连DE, 易知ADE、DBE均为直角三角形,且AE=AD,BE=DC, 所以在RtEBD中有 ,在RtAED中有 ,所以 。例3、 如图所示,P为正方形内一点,且PA=1,BP=2,PC=3,求APB的大小解: 如图6,将BPC绕B点逆时针旋转 到BEA, 连EP易知PBE= 且AE=PC=3 BE=BP=2,在RtBEP中, ,且EPB= ,在AEP中 ,又 ,所以APE是直角三角形,即APE=

4、 ,APB=APE+EPB= + = ,即APB为 。传统几何中,有许多旋转的例子,尤其是正方形和等腰三角形中。如图7,正方形ABCD的边长为1,AB、AD上各有一点P、Q,假如APQ的周长为2,求PCQ的度数。将CDQ绕C点逆时针旋转90°像图8那样,立即可得QA+AB+BE=2,由APQ周长为2得 PQ=PE,进一步可得CPQCPE,PCQ=PCE,又QCE=90°,所以PCQ=45°。又如图9,ABC中,AB=AC,P为三角形内一点,且APBAPC,求证:PCPB。将APB绕A点逆时针旋转成右图那样,不难得到条件APBAPC变成了PQCQPC,从而PCCQ,

5、由旋转关系,PCPB。最能表达旋转法的莫过于下面这个问题了:如图10,四边形ABCD中,AB=AD,A=C=90°,其面积为16,求A到BC的间隔 。通过旋转变换,将图10变成图11,答案可以脱口而出:间隔 为4!唐宋或更早之前，针对“经学“律学“算学和“书学各科目，其相应传授者称为“博士，这与当今“博士含义已经相去甚远。而对那些特别讲授“武事或讲解“经籍者，又称“讲师。“教授和“助教均原为学官称谓。前者始于宋，乃“宗学“律学“医学“武学等科目的讲授者；而后者那么于西晋武帝时代即已设立了，主要协助国子、博士培养生徒。“助教在古代不仅要作入流的学问，其教书育人的职责也十清楚晰。唐代国子

6、学、太学等所设之“助教一席，也是当朝打眼的学官。至明清两代，只设国子监国子学一科的“助教，其身价不谓显赫，也称得上朝廷要员。至此，无论是“博士“讲师，还是“教授“助教，其今日老师应具有的根本概念都具有了。类似的例子可以举出许多,这里不再赘述。课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。为什么?还是没有彻底“记死的缘故。要解决这个问题,方法很简单,每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一那么名言警句即可。可以写在后黑板的“积累专栏上每日一换,可以在每天课前的3分钟让学生轮流讲解,也可让学生个人搜集,每天往笔记本上抄写,老师定期检查等等。

7、这样,一年就可记300多条成语、300多那么名言警句,日积月累,终究会成为一笔不小的财富。这些成语典故“贮藏在学生脑中,自然会出口成章,写作时便会随心所欲地“提取出来,使文章增色添辉。综上可见,正确利用图形的旋转变换可大大进步解题效率,不过在使用这一方法解题时还需注意图形旋转变换的根底,即存在相等的线段,故这种方法一般常用于等腰三角形,正方形图形中。语文课本中的文章都是精选的比较优秀的文章,还有不少名家名篇。假如有选择循序渐进地让学生背诵一些优秀篇目、精彩段落,对进步学生的程度会大有裨益。如今,不少语文老师在分析课文时,把文章解体的支离破碎,总在文章的技巧方面下功夫。结果老师费力,学生头疼。分析完之后,学生收效甚微,没过几天便忘的一干二净。造成这种事倍功半的为难场面的关键就是对文章读的不熟。常言道“书读百遍,其义自见,假如有目的、有方案地引导学生反复阅读课文,或细读、默读、跳读,或听读、范读、轮读、分角