正弦定理和余弦定理讲义

1、【考纲下载】掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.1 正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容2R (R是ABC外接圆半径)a2b2c22bccos A，b2a2c22accos_B，c2a2b22abcos_C变形形式a2Rsin A，b2Rsin_B，c2Rsin_C；sin A，sin B，sin C；abcsin_Asin_Bsin_C；asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin Acos A，cos B，cos C解决三角形的问题 已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； 已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角已知三边，求各角

2、；已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角2在ABC中，已知a、b和A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Absin Aabababab解的个数一解两解一解一解无解3.三角形中常用的面积公式(1)Sah(h表示边a上的高)；(2)Sbcsin Aacsin Babsin C；(3)Sr(abc)(r为ABC内切圆半径)1在三角形ABC中，“AB”是“sin Asin B”的什么条件？“AB”是“cos Acos B”的什么条件？提示：“AB”是“sin Asin B”的充要条件，“AB”是“cos Acos B”的充要条件2在三角形中，“a2b2c2”是“ABC为钝角三角形

3、”的什么条件？“a2b2c2”是“ABC为锐角三角形”的什么条件？提示：“a2b2c2”是“ABC为钝角三角形”的充分不必要条件；“a2b2c2”是“ABC为锐角三角形”的必要不充分条件1(2013·北京高考)在ABC中，a3，b5，sin A，则sin B()A.B.C.D12在ABC中，若a2，c4，B60°，则b等于()A2 B12 C2 D283(2013·湖南高考)在锐角ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asin Bb，则角A等于()A. B. C. D.4在ABC中，a3，b2，cos C，则ABC的面积为_5在ABC中，若a2，bc7，c

4、os B，则b_.考点一利用正、余弦定理解三角形 例1(1)(2013·天津高考)在ABC中，ABC，AB，BC3，则sin BAC() A.B.C.D.(2)(2013·安徽高考)设ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若bc2a,3sin A5sin B，则角C_.(3)(2013·浙江高考)在ABC中，C90°，M是BC的中点，若sinBAM，则sinBAC_.1在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asin Bcos Ccsin Bcos Ab，且ab，则B()A. B. C. D.2已知锐角ABC的内角A，B，C的对边

5、分别为a，b，c,23cos2Acos 2A0，a7，c6，则b()A10 B9 C8 D5考点二利用正、余弦定理判断三角形的形状 例2在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C.(1)求A的大小；(2)若sin Bsin C1，试判断ABC的形状【互动探究】若将本例(2)中的条件改为“(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)”，试判断ABC的形状(2013·陕西高考)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos Cccos Basin A，则ABC的形状为()A直角三角形B锐角三角形 C钝角

6、三角形 D不确定高频考点考点三 与三角形面积有关的问题1正、余弦定理与三角形面积的综合问题是每年高考的重点内容，既有选择、填空题，也有解答题，难度适中，属中档题2高考对此类问题的考查主要有以下两个命题角度：(1)求三角形的面积；(2)已知三角形的面积解三角形例3(1)(2013·新课标全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2，B，C，则ABC的面积为()A22B.1 C22 D.1(2)(2013·湖北高考)在ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c.已知cos 2A3cos(BC)1.求角A的大小；若ABC的面积S5，b5，求sin Bsin

7、C的值与三角形面积有关问题的常见类型及解题策略(1)求三角形的面积对于面积公式Sabsin Cacsin Bbcsin A，一般是已知哪一个角就使用含哪个角的公式(2)已知三角形的面积解三角形与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化1已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，acos Casin Cbc0.(1)求A； (2)若a2，ABC的面积为，求b，c.2(2013·新课标全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知abcos Ccsin B.(1)求B； (2)若b2，求ABC面积的最大值 答题模板(三)利用正、余弦定理解三角形典

8、例(2013·江西高考)(12分)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos C(cos Asin A)cos B0.(1)求角B的大小；(2)若ac1，求b的取值范围全盘巩固1已知ABC，sin Asin Bsin C11，则此三角形的最大内角的度数是()A60° B90° C120° D135°2(2013·山东高考)ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若B2A，a1，b，则c()A2 B2 C. D13(2014·沈阳模拟)在ABC中，AC，BC2，B60°，则BC边上的高等于(

9、)A. B. C. D.4在ABC中，若lg sin Alg cos Blg sin Clg 2，则ABC的形状是()A直角三角形 B等腰直角三角形 C等边三角形 D等腰三角形5设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若三边的长为连续的三个正整数，且ABC,3b20acos A，则sin Asin Bsin C为()A432 B567 C543 D6546在ABC中，AB，AC1，B30°，则ABC的面积等于()A. B. C.或 D.或7ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asin Asin Bbcos2Aa，则_.8(2014·深圳模拟)设A

10、BC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos A，cos B，b3，则c_.9在ABC中，B60°，AC，则ABC的周长的最大值为_10在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2b2c2bc.(1)求A；(2)设a，S为ABC的面积，求S3cos Bcos C的最大值，并指出此时B的值11设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ac6，b2，cos B.(1)求a，c的值；(2)求sin(AB)的值12(2013·重庆高考)在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2b2 abc2.(1)求C；(2)设cos Acos B，求tan 的值冲击名校1在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若6cos C，则_.2. (2013·福建高考)如图，在等腰直角OPQ中，POQ90°，OP2，点