3数字信号处理讲义时频分析概念

1、数字信号处理数字信号处理 信号与系统系列课程组信号与系统系列课程组 国家电工电子教学基地国家电工电子教学基地信号频域分析的不足：信号频域分析的不足： 任一频率分量任一频率分量 X(jw w0) 都是对信号都是对信号x(t)在在整个定义区间上的积分整个定义区间上的积分 ttxXtde)()j(j00ww ttxXtde)()j(j00ww0 x(t)tti0 x(t)ttj 信号的频域分析不适合于信号的频域分析不适合于，需，需用信号的用信号的时时- -频频( (time-frequency) )域分析。域分析。wwde)()(),(0jtwxtX 小波(wavelet)是一类衰减较快的波动信号，

2、其能量有限，且相对集中在局部区域。 小波1101/2t)(Ht-1Haar小波函数H(t)01234567-0.500.51Wavelet function (t)Db4小波函数 (t)0d)(tt向量空间与正交基向量空间与正交基(basis) 向量空间是一个向量的集合向量空间是一个向量的集合V=vi加一个数域加一个数域K，在该集合上定义向量的加法及向量与数量的乘法，对在该集合上定义向量的加法及向量与数量的乘法，对所有的所有的vi V和和ki K，下列性质成立，下列性质成立(1) v1+v2= v2+v1(2) (v1+v2)+v3= v1+(v2+v3)(3) ki(v1+v2) = ki

3、v1+ kiv2(4) (k1+k2) vi =k1 vi+k2 vi(5) (k1k2) vi =k1(k2 vi)(6) 1 vi= vi(7) 存在惟一的零向量存在惟一的零向量q q，满足，满足 vi+ q q =vi , vi+( vi)= q q 例例: 空间空间R4 空间的每一个向量是由实数构成的空间的每一个向量是由实数构成的4元组，记为元组，记为x=(x1，x2 ，x3，x4)T， y=(y1，y2 ，y3，y4)T，代数运算，代数运算定义为定义为 x+y = (x1+ y1 ，x2 + y2 ，x3 + y3 ，x4 + y4 )T kx= (kx1，kx2 ，kx3 ，kx4

4、)T (k R) 空间空间R4的内积定义为的内积定义为 =x1 y1+x2 y2+x3 y3+x4 y4 向量的正交向量的正交 =0向量的模向量的模 x 例例:空间空间L2(R) ttxd)(2实值函数构成的实值函数构成的L2(R)空间的内积定义为空间的内积定义为ttytxtytxd)()()(),(x(t) L2(R)(x+ y)(t) = x(t) + y(t) (kx)(t) = kx(t)nnntatx)()(规范正交规范正交 (orthonormal)基基d)()()(),(lktttttklkl基（基（Basis） 对x(t) L2(R)，存在线性无关的函数 n(t);nZ，使得x

5、(t)可表示为(t);nZ的线性组合，即向量空间与正交基向量空间与正交基nnntatx)()( tttxttxannnd)()()(),( 规范正交 基展开系数 an 的计算：向量空间与正交基向量空间与正交基规范正交 基的能量不变性：22d)(nnattx 例例: R4空间空间规范正交基。规范正交基。 0001e10010e20100e31000e4x=x1e1+x2e2+x3e3+x4e4= n mxn=例例: R4空间另一组空间另一组规范正交基规范正交基( (Haar基基) )。 111121e1111121e2001121e3110021e4x=c1e1+c2e2+c3e3+c4e4=

6、n mcn=向量空间与正交基向量空间与正交基(basis) VS S是是V的一个子集，即的一个子集，即 S V对对一切一切x，y S，及一切的常数，及一切的常数a,b存在存在 a x+by SSV向量空间与正交基向量空间与正交基(basis) 设设 n(t);nZ是子空间子空间S规范正交基，则任意规范正交基，则任意x(t) V到到子空间子空间S的的正交投影正交投影y(t)可表示为可表示为 nnnttxty)()(,)(ttztxttytxzd)()(mind)()(22SxyS向量空间与正交基向量空间与正交基(basis) x V; y S，=0 每个每个x V存在存在有唯一的表示式有唯一的表

7、示式 x=y+z, y S, z C，=0 称称V可表示为可表示为S与与C的直和。记为的直和。记为 V=S C例例:设设V1是所有长度为是所有长度为2的离散信号的集合，如的离散信号的集合，如vk=1,2是是V1中的中的信号。信号。 V0是是V1的子集，的子集， V0中信号的两个分量相等，中信号的两个分量相等， V0 的一个基的一个基为为 00k=1 1。(1)试求试求V0在在V1中的正交补中的正交补W0，选其中的一个元素，选其中的一个元素 00k作为其基。作为其基。(2)说明说明 00k 和和 00k一起构成一起构成V1的一个基。的一个基。解：解：(1)W0中的元素必须满足两个条件中的元素必须

8、满足两个条件(a)与与V0正交。正交。 (b)是是V1中的元素。中的元素。 所以所以 00k的长度必须为的长度必须为2。满足上述两个条件的一个解为。满足上述两个条件的一个解为 00k=1 1 (2) V1中的任一元素中的任一元素vk=a,b可表示为可表示为 220000kbakbakv 所以所以 00k 和和 00k一起构成一起构成V1的一个正交基。故的一个正交基。故 V1=V0 W0定义为定义为其中：信号其中：信号 (t)称为母小波称为母小波(mother wavelet)信号。信号。 信号信号 (t)称为尺度信号称为尺度信号(father wavelet)。)2(2)(2/,kttjjkj

9、 j,k(t)与与 j,k+1(t)间的位移为间的位移为D Dt=1/2j0)(00w w )(10w w w)(20w w )2(2)(2/,kttjjkj)(00w w 若小波信号若小波信号 j,k(t)为为L2空间的基，则信号的小波空间的基，则信号的小波展开可表示为展开可表示为 kkkkkktkdtkdtkctx)()()()(, 11, 00, 00 (,) x(t) c0k, djk; j=0,1,() c0k, djk; j=0,1, x(t) 2120202d)(kdkdkcttxkkk 小波基函数小波基函数 j,k(t)具有具有非唯一性非唯一性，即存在许多，即存在许多不同的小波基函数，而许多其他变换（如傅里叶不同的小波基函数，而许多其他变换（如傅里叶变换等）的基函数都是唯一的。变换等）的基函数都是唯一的。 小波基函数的非唯一