重积分部分难题解答

1、重积分部分难题解答1（P148,第2题）求函数在闭正方形区域上的函数值的平均值.解：； 又所以 故在闭正方形区域上的函数值的平均值为2（P148,第3题）设函数在闭区间上连续，证明不等式证明：考虑积分 一方面 代入）得 另一方面显然，即，故 3（P149,第4题）设在闭区间上为正值连续函数.证明不等式证法一：考虑到定积分与变量的记号无关.故有：-（1）以及-（1） 所以， -（2）其中，同理， -（3）， （2）+（3），得：即：证法二：因为，所以，即：-（1） （1）式左边是的非负二次三项式，因此必有判别式，故4（书p149页习题8）设函数在上连续，证明：证法一：对应的二重积分的积分区域 交

2、换积分次序后，重新计算，则有.证法二：记，则5（书p149页习题10）设为上的连续函数，证明：证明：因为 其中对于，令则； 同理，对于，令则6（书p158页习题3）证明：证明：（一）记 ，.分别画出草图.则（二）按所给积分次序很困难，故更换积分次序，即要将积分区域视为型区域：，此时无须分块. 原式7（书p158页习题4）求解：按所给积分次序很困难，画出积分区域D的图形，交换积分次序.8（书p158页习题5）利用极坐标，求下面的二重积分：（）为由上半圆周（）与直线围成的圆扇形；（）为单位圆（）；（）为圆环域（）；（）为单位圆（）含在第一象限内的部分.解：（）（）（令）（）（）9（书p158页习题

3、6）计算下面的二重积分：（）为正方形（）；（）为圆域（）；（）为正方形（）.解：（）此题中积分区域本来是非常规范的矩形域（画图）但由于被积函数为分段函数，故需要用抛物线将积分区域分成两个小区域.即，则原式=其中，于是，有（）设则 所以，（）以直线将区域分成两个子区域，其中，其中；所以 10（书p159页习题7）求其中.解：（一）令则（二） 11（书p159页习题8）根据的面积，求下面曲线围成图形的面积：（）由抛物线与半圆周围成的图形；（）曲线围成的图形.解：（）联立 得或故两曲线的交点为及.化出区域的草图，并视之为型区域.则所求面积为 （）解法一：由，知，即图形分布在第一及第三象限. 化为极坐

4、标方程表示为故 或所以，所求面积为解法二：记为在第一象限内的那部分区域，则12（书p159页习题9）求下面立体图形的体积（）球面的上半部分与圆锥面围成图形；（）圆柱面与围成的立体的图形.（）解法一：画出积分区域的草图.联立 ，消去，即得在面上的投影区域为所以，所求立体的体积为解法二：画出积分区域的草图，显然见的体积为球体的体积的上半部分体积加上锥体的体积 故 （）解法一：所以，解法二：解法三：（切片法）13（P159,第12题）根据下面的提示，证明贝塔函数与伽马函数之间的关系为 其中 提示：（）在中用替换，得.（），其中为正方形，函数（）如图所示，表示半径为的圆含在第一象限的部分，表示半径为的

5、圆含在第一象限的部分.由于函数的非负性，（）计算上述不等式两端的积分，并让证明：（）令，则 ，故 换记为 . （1）（）. （2）其中为正方形区域，（）显然，由于，故有 （3）其中 ；分别是半径为及的圆含在第一象限的部分.（3）式左端积分（改为极坐标） （4） 其中 （令，则）； （5）其中（令，则）；（6）故由（5）、（6）两式，得（3）式左端积分.（7）同理得（3）式右端积分.（8）故（3）化为（9）（9）式两边令有故 （10）（10）化简，即得：14（书p166页习题1）引入适当的变换，将下面的二重积分化为一重积分：（）；（）为双曲线和（）与直线和围成的区域；（）；（）（）.解：（）画出

6、积分区域（如图，为一个正方形区域）.作变量代换： 由二重积分的换元法； （）画出积分区域（如图）.作变量代换： 换元法.（）画出积分区域（如图）.作变量代换： 由二重积分的换元法 .（）作正交变量代换：由二重积分的换元法.或15（书p167页习题2）引入适当的变换，求下列曲线所围成图形的面积：（）；（）（）；（）；（）（）.解：（）作变量代换：则原方程化为. （1）于是，曲线所围成的面积为其中 （2） （3）所以（）令则原方程化为 （1）由于，故有.（2）为使（2）式有解，首先要求不能落在第三象限（否则，）因此确定不能超出的范围.下面进一步讨论的取值范围.若，则由（2）式，得：， （3）由（3

7、）式解得： ； （4）若，则由（2）式，得：， （5）由（3）式解得： （6）综合（4）、（6）两式，知的取值范围为于是，曲线所围成的面积为 （7） （8） 故 （9）令 （10）则 （）令则原方程化为 （1）于是，曲线所围成的面积为其中 （2） （3） 故 （令）（）（）.令即 则原方程化为 （1）于是，曲线所围成的面积为其中 （令）16（书p167页习题3）求由下列曲面包围的立体的体积：（）（椭球面）；（）（双叶双曲面），（椭圆柱面）；（），解：（）根据对称性及二重积分的几何意义，知 为计算方便，特引入变量替换 令则被积函数化为 积分区域化为 （）根据对称性及二重积分的几何意义，知其中 为

8、计算方便，特引入变量替换 令则被积函数化为 积分区域化为 （），根据对称性及二重积分的几何意义，知 其中 为计算方便，特引入变量替换 令则被积函数化为 积分区域化为 17.（书p174页习题2）计算下列各三重积分（先画出积分区域的草图）：（），其中为由坐标平面和平面围成的四面体；（），为由曲面和平面围成的区域；（），为单位球位于第一卦限的那部分区域； （），为圆锥面与平面围成的区域；解：（）；在坐标面上的投影区域为三角形区域故=（）；在坐标面上的投影区域为三角形区域故=（）；在坐标面上的投影区域为故=（）由对称性知， 其中为在第一卦限内的那部分区域，在坐标面上的投影区域为故=其中 ；所以 18

9、（书p174页习题3）利用改变积分次序的方法，将下面的三次积分表示成一重积分（）；（2）解：（1）先将后两次积分中的积分次序进行变换：- 所以， （2）先将后两次积分中的积分次序进行变换： 所以， -.其中，- ，所以，.19（书p174页习题4）证明不等式其中为为正方体区域.证明：显然，对于，有，即所以，由估值定理知（注意到正方体的体积为1）.20（书p174页习题5设函数在区域内连续，若对于内任何一个有界子域都有证明：其中证明：反证法设，的结论不成立，则必存在某点，使得 不妨假设因为在处连续，故有 （1）故根据函数极限的定义知，对于使得当时（即时），就有（2）由（2）式可解得，当时，就有

10、（3）所以，由积分中值定理有 （4）而（4）式与函数在对于内任何一个有界子域上都有的假设前提是矛盾的！所以，其中21（书p179页习题1）利用适当的方法，计算下列各三重积分：解：（），本题宜采用“切片法”计算 如采用柱面坐标系：（），本题宜采用柱面坐标计算.联立消,得在坐标面上的投影区域为圆域（），本题宜采用“切片法”计算（），本题宜采用“切片法”计算（）解法一：柱面坐标法：联立消,得在坐标面上的投影区域为圆域（令）其实，此题最宜采用球面坐标计算：这时首先要把积分区域分成两个子区域：其中 则=（），此题最宜采用球面坐标计算：（），本题宜采用“切片法”计算：（令）（）显然因为积分区域：关于坐标面

11、对称，且被积函数关于为奇.22 .（书p180页习题3）设连续函数，求函数 的导数.解：， 所以，.20.（书p180页习题4）设为非负整数，为单位球体求 解：（一） 当中至少有一个为奇数时例如为奇数时，于是（记为） （2）今在积分中作变量代换即令 ，则 故于是 （二） 当均偶数时，此时被积函数关于三个坐标平面皆对称.于是 为方便计算，引入球坐标变换 （令）由于 比如：故书中所提供的答案有误.23 .（书p180页习题5）求由曲面包围的立体体积.解：根据对称性及二重积分的几何意义，知其中为由曲面包围的立体体积在第一卦限的那部分区域.为方便计算，令则曲面的方程化为积分区域化为 则24.（书p187页习题1）讨论下列二重积分的收敛性（当收敛时，并求出积分值）解：（）（为参数）取则因此当时，广义积分收敛，且收敛于当时，广义积分发散. （）；取 则 因为 因此广义积分收敛，且收敛于（）； 因为，所以，上述二重积分是收敛的.且（）；.其中（分部积分）； （1）（分部积分）（）.（分部积分）（分部积分）（）由于被积函数是正的，采用球坐标，得（注意到上式用到了概率积分）（）取 因此，当时，广义积分收敛，且收敛于当