辅导讲义弧长和扇形的面积圆锥的侧面积和全面积

1、辅导：弧长和扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积一、弧长和扇形的面积：活动一因为360的圆心角所对弧长就是圆周长C=2R，所以1的圆心角所对的弧长是 .这样，在半径为R的圆中，n的圆心角所对的弧长l = .活动二类比弧长的计算公式可知：在半径为R的圆中，圆心角为n的扇形面积的计算公式为：S= .活动三扇形面积的另一个计算公式比较扇形面积计算公式与弧长计算公式，可以发现：可以将扇形面积的计算公式：S=R2化为S=R，从面可得扇形面积的另一计算公式：S= .二、圆锥的侧面积和全面积：1圆锥的基本概念： 的线段SA、SA1叫做圆锥的母线， 的线段叫做圆锥的高2.圆锥中的各元素与它的侧面展开图扇形的各元素

2、之间的关系：将圆锥的侧面沿母线l剪开，展开成平面图形，可以得到一个扇形，设圆锥的底面半径为r，这个扇形的半径等于 ，扇形弧长等于 3圆锥侧面积计算公式圆锥的母线即为扇形的半径，而圆锥底面的周长是扇形的弧长，这样，S圆锥侧=S扇形=2r l = rl4圆锥全面积计算公式S圆锥全=S圆锥侧S圆锥底面= r l r 2=r（l r）三、例题讲解：例1、（2011德州，11，4分）母线长为2，底面圆的半径为1的圆锥的侧面积为 例2、（2011年山东省东营市，21，9分）如图，已知点A、B、C、D均在已知圆上，ADBC，BD平分ABC，BAD=120，四边形ABCD的周长为15（1）求此圆的半径；（2）

3、求图中阴影部分的面积例3、（2010广东，14，6分）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（4，0），P的半径为2，将P沿x轴向右平移4个单位长度得P1（1）画出P1，并直接判断P与P1的位置关系；（2）设P1与x轴正半轴，y轴正半轴的交点分别为A，B，求劣弧AB与弦AB围成的图形的面积（结果保留）yx3O12312332112456四、同步练习：1、（2012北海,11，3分）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，ABC的顶点都在格点上，将ABC绕点C顺时针旋转60，则顶点A所经过的路径长为：（ ）ABCDEF（第3题）OABCOD第2题图A10BCDABC第1题图2、（2012北海,12

4、，3分）如图，等边ABC的周长为6，半径是1的O从与AB相切于点D的位置出发，在ABC外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB相切于点D的位置，则O自转了：（ ）A2周B3周C4周D5周3、（2012湖北咸宁，7，3分）如图，O的外切正六边形ABCDEF的边长为2，则图中阴影部分的面积为（ ）ABCD4、（2012四川内江，8，3分）如图2，AB是O的直径，弦CDAB，CDB30，CD2，则阴影部分图形的面积为（ ）第11题A4B2CD第9题ABDCO图2 5、（2012湖南省张家界市14题3分）已知圆锥的底面直径和母线长都是，则圆锥的侧面积为_.6、（2012哈尔滨，题号16分值 3）一个

5、圆锥的母线长为4，侧面积为8，则这个圆锥的底面圆的半径是 7、（2012江苏省淮安市，17，3分）若圆锥的底面半径为2cm，母线长为5cm，则此圆锥的侧面积为 cm28、（2012四川达州，11，3分）已知圆锥的底面半径为4，母线长为6，则它的侧面积是 .（不取近似值）9、（2012年广西玉林市，16，3）如图，矩形OABC内接于扇形MON，当CN=CO时，NMB的度数是 .10、(2012广安中考试题第15题，3分)如图6，RtABC的边BC位于直线l上，AC=，ACB=90o，A=30o，若RtABC由现在的位置向右无滑动地翻转，当点A第3次落在直线上l时，点A所经过的路线的长为_（结果用

6、含的式子表示）ABCl图611、（2011丹东，14，3分）如图，将半径为3cm的圆形纸片剪掉三分之一，余下部分围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是 第12题图AOBDC12、（2012贵州贵阳，23，10分）如图，在O中，直径AB=2，CA切O于A，BC交O于D，若C=45，则（1）BD的长是 ；（5分）（2）求阴影部分的面积. （5分）13、（2012浙江省义乌市，20，8分）如图,已知AB是O的直径,点C、D在O上,OABCDE点E在O外,EAC=D=60. （1）求ABC的度数；（2）求证：AE是O的切线； （3）当BC=4时，求劣弧AC的长.14、（2012年吉林省，第23题、7分）

7、如图，在扇形OAB中，AOB=90，半径OA=6将扇形OAB沿过点B的直线折叠点O恰好落在弧AB上点D处，折痕交OA于点C，求整个阴影部分的周长和面积15、（2011甘肃兰州，25，9分）如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C.（1）请完成如下操作：以点O为原点、竖直和水平方向所在的直线为坐标轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；用直尺和圆规画出该圆弧所在圆的圆心D的位置（不用写作法，保留作图痕迹），并连结AD、CD.（2）请在（1）的基础上，完成下列问题：写出点的坐标：C 、D ；D的半径= （结果保留根号）；若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底

8、面面积为 （结果保留）；若E（7，0），试判断直线EC与D的位置关系并说明你的理由.ABCO参考答案例1、考点：圆锥的计算。专题：计算题。分析：先计算出底面圆的周长，它等于圆锥侧面展开图扇形的弧长，而母线长为扇形的半径，然后根据扇形的面积公式计算即可解答：解：圆锥的底面圆的半径为1，圆锥的底面圆的周长=21=2，圆锥的侧面积=22=2故答案为：2点评：本题考查了圆锥的侧面积公式：S=圆锥侧面展开图为扇形，底面圆的周长等于扇形的弧长，母线长为扇形的半径例2、考点：扇形面积的计算；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理专题：几何图形问题分析：（1）根据条件可以证得四边形ABCD是等腰梯形，且AB=AD=

9、DC，DBC=90，在直角BDC中，BC是圆的直径，BC=2DC，根据四边形ABCD的周长为15，即可求得BC，即可得到圆的半径；（2）根据S阴影=S扇形AODSAOD即可求解解答：解：（1）ADBC，BAD=120ABC=60又BD平分ABC，ABD=DBC=ADB=30 = = ，BCD=60AB=AD=DC，DBC=90又在直角BDC中，BC是圆的直径，BC=2DCBC+ BC=15BC=6此圆的半径为3（2）设BC的中点为O，由（1）可知O即为圆心连接OA，OD，过O作OEAD于E在直角AOE中，AOE=30OE=OAcos30= SAOD= 3= 点评：本题主要考查了扇形的面积的计算

10、，正确证得四边形ABCD是等腰梯形，是解题的关键例3、考点：圆与圆的位置关系；坐标与图形性质；扇形面积的计算分析：（1）根据题意作图即可求得答案，注意圆的半径为2；（2）首先根据题意求得扇形BP1A与BP1A的面积，再作差即可求得劣弧错误！未找到引用源。与弦AB围成的图形的面积解答：解：（1）如图：P与P1的位置关系是外切；（2）如图：BP1A=90，P1A=P1B=2，S扇形BP1A= =， SAP1B= 22=2，劣弧 与弦AB围成的图形的面积为：2点评：此题考查了圆与圆的位置关系以及扇形面积的求解方法题目难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用四、1、【解析】ABC绕点C顺时针旋转6

11、0，顶点A经过的路径是以C为圆心AC为半径，圆心角为60的弧，根据弧长公式，可求路径长为【答案】C【点评】考查的知识点有网格中的勾股定理（求AC），图形的旋转，弧长公式。中等难度的题型。2、【解析】三角形的周长恰好是圆周长的三倍，但是圆在点A、B、C处分别旋转了一个角度，没有滚动，在三个顶点处旋转的角度之和是三角形的外角和360。所以O自转了4圈。【答案】C【点评】本题最容易出错的地方就是在顶点处的旋转，难度较大。如果学生能动手操作一下，正确答案就出来了。3、【解析】图中阴影部分的面积等于：三角形AOB面积扇形AOB面积，不难知道，AOB为等边三角形，可求出AOB边AB上的高是，扇形AOB圆心

12、角O60，半径OA，从而阴影部分的面积是2，故选A【答案】A【点评】本题着重考查了扇形面积的计算及解直角三角形的知识，以及转化、数形结合思想，有一定综合性，难度中等4、【解析】如下图所示，取AB与CD的交点为E，由垂径定理知CE，而COB2CDB60，所以OC2，OEOC1，接下来发现OEBE，可证OCEBED，所以S阴影S扇形COB22ABDCO图2E【答案】D【点评】圆的有关性质是中考高频考点，而图形面积也是多数地方必考之处，将它们结合可谓珠联璧合解答此题需在多处转化：一是将阴影面积转化为扇形面积问题解决；二是由圆周角度数求出圆心角度数；三是发现图中存在的全等三角形，这一点是解题关键5、【

13、分析】S侧=rl=10=50.【解答】50【点评】圆锥的侧面积S侧=2rl=rl（其中r是圆锥底面圆的半径，l是母线的长）.6、【解析】本题考查圆锥展开图及侧面积计算公式.设半径为r，圆锥侧面积即展开图扇形的面积，根据S扇=lR,即8=24，得r=2.【答案】2【点评】在解决圆锥的计算问题时，要把握好两个相等关系：圆锥侧面展开图（扇形）的半径R等于圆锥的母线长，扇形的弧长等于圆锥的底面周长几乎所有圆锥计算问题都是从这两个对应关系入手解决的7、【解析】根据圆锥的侧面积公式=rl计算，此圆锥的侧面积=25=10【答案】10【点评】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算解题思路：解决此类问题时要紧紧抓

14、住两者之间的两个对应关系：圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长正确对这两个关系的记忆是解题的关键8、解析：圆锥的侧面积可由公式来求，这里R=6，l=8，因此S=24。答案：24点评：本题考查了圆锥的侧面展开及其侧面积的求法，初步考查学生的空间观点，注意本题不要与全面积相混淆。9、分析：首先连接OB，由矩形的性质可得BOC是直角三角形，又由OB=ON=2OC，BOC的度数，又由圆周角定理求得NMB的度数解答：解：连接OB，CN=CO，OB=ON=2OC，四边形OABC是矩形，BCO=90，cosBOC=，BOC=60，NMB= BOC=30故答案为：30点

15、评：此题考查了圆周角定理、矩形的性质以及特殊角的三角函数值此题难度适中，注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用10、思路导引：确定路线长度，由于路线是圆弧，因此确定旋转角，与旋转半径是解决问题的关键，；解析：计算斜边长度是2，第一次经过路线长度是，第二次经过路线长度是，第三次经过路线长度与第二次经过路线长度相同，也是，所以当点A三次落在直线l上时，经过的路线长度是2（）=2=点评：解答旋转问题，确定旋转中心、旋转半径以及旋转角度是前提，另外计算连续的弧长问题，注意旋转规律，进行多次循环旋转的有关弧长之和的计算.11、考点：圆锥的计算。专题：计算题。分析：算出围成圆锥的扇形的弧长，除以2即为圆

16、锥的底面半径，利用勾股定理即可求得圆锥的高解答：解：围成圆锥的弧长为 =4cm，圆锥的底面半径为42=2cm，圆锥的高为=1cm故答案为1cm点评：考查圆锥的计算；得到圆锥的底面半径是解决本题的突破点；用到的知识点为：圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长12、解析： （1）由CA切O于A，得A=90，再结合C=45，得B=45.连接AD，则由直径AB=2，得ADB=90.故BD=ABcos45=2cos45=；（2）运用代换得到阴影部分的面积等于ACD的面积.解：（1）填；（2）由（1）得，AD=BD.弓形BD的面积=弓形AD的面积，故阴影部分的面积=ACD的面积.CD=AD=BD=，SACD=

17、CDAD=1，即阴影部分的面积是1.点评：本题主要考查了圆的性质，切线的性质，等腰直角三角形的性质以及割补法，解法较多，有利于考生从自己的角度获取解题方法，中等偏下难度.13、【解析】（1）根据相等的弧长对应的圆周角相等，得ABC=D =60。（2）直径对应的圆周角为直角，则由三角形内角和为180，得出BAC的大小，继而得出BAE的大小为90，即AE是O的切线。（3）由题意易知，OBC是等边三角形，则由劣弧AC对应的圆心角可求出劣弧AC的长。20解：（1）ABC与D都是弧AC所对的圆周角 ABC=D =60 2分（2）AB是O的直径 ACB=90 3分BAC=30BAE =BACEAC=306

18、0=90 4分即BAAE AE是O的切线 5分OABCDE（3） 如图，连结OCOB=OC,ABC=60OBC是等边三角形OB=BC=4 , BOC=60AOC=1207分劣弧AC的长为 8分【点评】此题考查圆弧的长与其对应的圆心角、圆周角的关系，及三角形的内角和为180。相等的弧长对应的圆周角、圆心角相等14、【解析】阴影部分的周长包括线段AC+CD+DB的长和弧AB的长由折叠的性质可知，AC+CD=OA=6;DB=OB=6.故周长可求求面积需要连接OD,证明ODB是正三角形，得到CBO=30，求出OC的长，阴影部分的面积=2.【答案】解：连接ODOB=OD,OB=BDODB是等边三角形DBO=60OBC=CBD=30在RtOCB中，OC=OBtan30=有图可知，CD=OC,DB=OB弧AB+AC+CD+DB=26+6=12+6【点评】此题考查了折叠的性质、扇形面积公式、弧长公式以及直角三角形的性质此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法15、考点：垂径定理；勾股定理；直线与圆的位置关系；圆锥的计算；作图复杂