第十一章11.111.1.5第一课时圆柱、圆锥、圆台2019(秋)数学必修第四册人教B版(新教材)改题型

1、11.1.5 旋转体第一课时 圆柱、圆锥、圆台课标要求素养要求1 .通过实物和模型，总结出圆柱、圆锥、 圆台的结构特征.2 .能根据圆柱、圆锥、圆台的定义和结 构特征，掌握有关概念及计算圆柱、圆 锥、圆台的表面积.通过实物和模型观察，抽象出圆柱、圆 锥、圆台的结构特征，培养学生的数学 抽象素养，提升直观想象素养；通过圆 柱、圆锥、圆台的表面积的计算，提升 学生的数学运算素养.课前预习知识探究教材知识探究»情境引入|很多物体的形成可以看作按一定的要求旋转形成.问题 一个圆台是如何旋转得到的？提示 以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，将直角梯形旋转一周可形成圆台.4新知梳理1.圆

2、柱、圆锥和圆台圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示上艮而#: t （ 上瓦蜡小者一版） ： ,上原,无擢小* I ! 幕壬拓息一1 '匕寸弓一千杆也不疔二：的上氯晶囤台胸管定义圆柱、圆锥和圆台可以分别看作以矩形的一边、直角三角形的一条直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转 轴，将矩形、直角三角形、直角梯形分别旋转一周而形成的 曲面所围成的几何体结构特征轴旋转轴称为所围成的几何体的轴高在轴上的这条边（或它的长度）称为这个几何体的高结构特征底向垂直于轴的边旋转而成的圆面称为这个几何体的底闻侧面不垂直于轴的边旋转而成的曲面称为这T几何体的侧面母线无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都称为母线

3、2.圆柱、圆锥、圆台的表面积公式几何体侧面展开图表面积公式圆柱61J_1S 圆柱=2 Tir（r +1）（其中r为底面半径， 1为侧面母线长）圆锥S 圆锥=Tir（r + 1）（其中r为底面半径， 1为侧面母线长）圆台S 圆台= 冗12+r2+r1 + r1）（其中r为上底面半径，r为下底面半径，1为侧面母线长）教材拓展补遗微判断1 .以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，将直角三角形旋转一周所得到的几何体是圆锥.（X ）提示 若以斜边所在直线为旋转轴，得到的是两个有相同底面的圆锥2 .用一个平面截圆锥，截面与底面之间的部分就是圆台.(X)提示 必须用平行于底面的平面截圆锥才能得到圆台.3 .圆

4、柱的母线长相等.(V)微训练1 .正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是()A.圆柱B.圆锥C.圆台D.两个圆锥解析连接正方形的两条对角线知对角线互相垂直，故绕其一条对角线所在直线 旋转一周形成两个圆锥.答案 D2 .图1是由下列哪个平面图形绕轴OO旋转而成的几何体()图1解析 该几何体上半部分是圆锥，下半部分是一个圆台，因此应该是由上半部分 为直角三角形，下半部分为直角梯形的平面图形旋转而成的， 观察四个选项得D 正确.答案 D3 .一个圆锥的母线长为20 cm,母线与轴的夹角为30°,则圆锥的高为 cm.解析 h = 20cos 30 = 10方.答案 10 3微思考

5、1 .以平行于底面的平面截圆柱、圆锥、圆台，得到的截面是什么图形？提示 都是圆面，截圆柱所得的圆面与上、下底面相同，圆锥、圆台所得的圆面从下向上逐渐变小.2 .圆柱、圆锥、圆台的轴截面所得图形的边长与哪些量有关系？提示 圆柱的轴截面是矩形，一边为圆柱的底面圆直径，另一边为母线长；圆锥的轴截面是等腰三角形，腰为母线长，底边长为底面圆直径；圆台的轴截面为等腰梯形，两腰为母线长，上、下底分别为上、下底面圆直径 .3 .圆锥、圆台的侧面展开图是怎样的图形？如何求侧面积？提示圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的半径为母线长，圆弧为底面圆周长；圆 台的侧面展开图为扇形，再剪去一个扇形剩余部分，其面积为两个扇形面

6、积的差.S圆锥侧=出，其中r为底面圆半径，l为母线长；S圆台侧=冗（1+卜，其中ri,r2分别为上、下底面半径，l为母线长.题型一旋转体的结构特征【例11 下列叙述中正确的个数是（）以等腰三角形的底边上的高所在直线为轴旋转，其余各边旋转180。所得的旋转体是圆锥；以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台.A.0B.1C.2D.3解析 正确；以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周才可以得 到圆台；它们的底面为圆面；用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可得到一个 圆锥和一个圆台 答案 B 规律方法 1.圆柱、圆锥、圆

7、台都是一个平面图形绕其特定边 （弦）旋转而成的几何体，必须准确认识各旋转体对旋转轴的具体要求 .2.只有理解了各旋转体的生成过程，才能明确由此产生的母线、轴、底面等概念，进而判断与这些概念有关的命题的正误.【训练11 给出下列命题：在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； 圆 锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；圆柱的任意两条母线所在的 直线是互相平行的.其中，正确的命题有（）A.B.C.D.解析 由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性质可知 正确，错误.答案 D题型二旋转体的有关几何计算【例2】

8、圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3倍，轴截面的面积等于392 cm2,母线与轴的夹角是45。，求这个圆台的高、母线长和两底面半径.户（Y解 法一 圆台的轴截面如图所示，根据题意可设圆台的上、 / 6一'廿下底面半径分别为x cm和3x cm,即AO'=x cm, AO = 3x cm（O。分别为上、下底面圆圆心），过A作AB的垂线，垂足为点D.在 RtzXAAD 中，/AAD = 45 °,AD = AO AO'= 2x cm,所以 A'D = AD= 2x cm.1 _1因为 S轴截面=2（AB + AB） A'D = 2（2x+6x）

9、X2x= 392,所以 x=7,故圆台的高OO'= 14 cm,母线长 AA'= 2O0O114j2 cm,上、下底面的半径分别为7 cm和21 cm.法二 圆台的轴截面为梯形AABB'.设圆台上、下底面半径分别为 x cm和3x cm.延长AA', BB',交OO的延长线于点S在 RtzXSOA 中，/ASO= 45 °,所以 SO= AO = 3x cm,SO'=A'O'= x cm,所以 OO'=2x cm,一 1,一S轴载面=2(2x+6x)X2x=392,所以 x= 7,所以圆台的高OO'= 1

10、4 cm,母线AA'= &OO'= 14v2 cm,上、下底面半径分别为 7 cm 和 21 cm.规律方法 解决旋转体基本量的计算，一般从轴截面入手，利用等腰梯形、等腰 三角形、矩形或结合题目条件，利用平行线分线段成比例，相似等知识解决【训练2】 一个圆台的母线长为12 cm,两底面面积分别为4冗cm和25兀cm求:(1)圆台的高;(2)截得此圆台的圆锥的母线长.解 如图，将圆台恢复成圆锥后作其轴截面，设圆台的高为h cm,截得该圆台的圆锥的母线长为x cm,由条件可得圆台上底面半径 r'=2 cm,下底面半径r = 5 cm.(1)由勾股定理得卜=寸122-

11、 (5-2) 2 =3/15(cm).故圆台的高为315 cm.(2)由三角形相似得:2-5 -1-X解得 x= 20(cm).故截得此圆台的圆锥的母线长为 20 cm.题型三侧面展开图问题【例3】 已知圆柱的轴截面是边长为5 cm的正方形AB CD,则在圆柱侧面上从A到C的最短距离为()A.10 cmC.5 ,2 cmB.kbt+4 cmD.5勺 72+ 1 cm解析 如图所示，沿母线BC剪开，曲面上从A到C的最短距离为平面上线段AiCi的长._ _c 1_5 5; AB= BC = 5 cm, 二 AB 的长为X 2 ttX 2= b Ai Bi, = BiCi = BC = 5 cm,

12、. AiCi =，AiB2+ BC2 =弋25，+ 25= 5y+ i =算，+4(cm).故选 B.答案 B规律方法 求圆柱、圆锥、圆台侧面上两点的最短距离问题， 基本方法是将侧面展成平面图形，转化为平面上的线段长度问题，然后利用平面几何的知识解决【训练3】将一个半径为3,圆心角为120。的扇形，卷成一个圆锥的侧面.则圆锥的底面圆半径是.:.解析 扇形的弧长1AB即为圆锥底面圆的周长.设圆锥底面圆的半径为r,则24=lAB.在扇形中，由于/ AOB=120°,故1AB即是半径为3的圆的周长的m，；lAB = 31oX2 7tx 3 = 2Tt, ；2 = 2冗，.= 1.故所求圆锥

13、的底面圆半径为1.故填1.3答案1核心素养 全面提升 I1 -I I IHIII |：1 ：一、素养落地1 .通过学习圆柱、圆锥、圆台的结构特征及其表面积的计算，培养学生的数学抽 象素养，提升直观想象、数学运算素养.2 .圆柱、圆锥、圆台的性质母线长相等.平行于底面的截面都是圆面.轴截面的性质如下表所示：研究对象圆柱圆锥圆台轴截面(1)轴截面是全等 的矩形.(2)轴截面的矩形 中，一边长为1(h), 另一边长为2 71r(r 为底向圆半径).平行于轴的截 面中，轴截曲面积 最大(1)轴截面是全等的等腰三角 形.(2)轴截间的等腰三角形中，12 = h2+r2(其中，1为母线长，h 为局，r为底

14、间圆半径).(3)轴截面的顶角为锐角或直 角时，轴截卸卸积最大；顶角 为钝角时，轴截面面积不是最 大的，过两垂直母线的截向向 积最大(1)轴截面是全等 的等腰梯形.(2)轴截面的等腰 梯形中，12=h2 + (R r)2(其中，1 为母线长，h为 高，R, r分别为 底向圆半径，R> r).轴截面包含旋转中的重要元素，它是解决有关问题的关键3 .需要注意的问题(1)分别绕矩形(两邻边不等长)的相邻两边所在直线旋转一周，得到的圆柱是不同 的.(2)绕直角三角形非直角边所在直线旋转一周得到的几何体不是圆锥.(3)绕直角梯形的非垂直于底边的腰所在直线旋转一周得到的几何体不是圆台.(4)所有过圆

15、锥顶点的截面中，轴截面的面积不一定最大 .若轴截面的顶角9满足 0 < 90°,则轴截面的面积最大；若轴截面的顶角 8满足90 < 9< 180°,则轴 截面的面积不是最大的，此时，面积最大的截面应是过顶点、 两条母线的夹角为 90°的等腰三角形.(5)圆台与棱台统称为台体.与棱台类似，圆台也必须用平行于底面的平面去截圆 锥而得到，否则得到的不是圆台.二、素养训练1 .下列几何体是台体的是()BCD解析台体包括棱台和圆台两种，A的错误在于四条侧棱延长后没有交于一点;B的错误在于截面与圆锥底面不平行；C是棱锥；结合棱台和圆台的定义可知 D正确.答案

16、 D2 .已知圆柱的底面半径是20 cm,高是15 cm,则平行于圆柱的轴且与此轴相距12 cm的截面面积是()A.480 cm2B.460 cm2C.450 cm2D.240 cm2解析圆柱的底面如图所示，设所求截面的底边长为x,2所以 2 =202122.所以 x= 32.所以 S截= 32X 15= 480(cm2).答案 A3 .一个圆台的上、下底面面积分别为 1 cm2, 49 cm2, 一个平行于底面的截面面积为25 cm2,则这个截面与上、下底面的距离之比为（）A.2 ： 1B.3 ： 1C取：1D.3 ： 1解析 如图延长上、下底面圆中心连线OO',与母线AA'

17、的延长线交于P点，则上、下底面圆半径为 OA'= 1 cm, OA=7 cm,'、必工臼、“，LQA 1 PO' . PO' 1 pPO'截面圆半化 MN = 5 cm.由 mn=5=PM，0耳=4，又 PO= °=、OA' 1 .也 1OA=7，"OO'= 6,OM 2 OM=1.答案 A4 .一个圆锥的高为2,母线与轴的夹角为30°,求圆锥的母线长以及 圆锥的轴截面的面积（如图）.解 母线长l=c0230F噜,2.3底面半径r=2tan 303所以 s= 2-X2X233X 2=433，一，4 3即圆锥的

18、轴截面的面积是4t3.3课后作业巩虞提高基础达标一、选择题1 .有下列四种说法：圆柱是将矩形旋转一周所得的几何体；以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，旋转所得几何体是圆锥;圆台的任意两条母线的延长线，可能相交也可能不相交；圆锥的底面是圆面，侧面是个曲面.其中错误的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个解析 圆柱是矩形绕其一条边所在直线旋转一周形成的几何体，故错；以直角 三角形的一条直角边所在直线为轴，旋转一周，才能构成圆锥，故 错；圆台是由圆锥截得的，故其任意两条母线延长后一定交于一点， 故错；是圆锥的性 质，故正确.答案 C2 .若圆柱的轴截面是正方形，其面积为 Q,则它的一个底面的面

19、积是（A.QB.tQQC. 丁QD.解析 轴截面面积为q,则轴截面边长为g,底面圆半径为 半,所以一个底面面积为s- -4.答案 C3 .一个圆锥的母线长为5,底面圆半径为3,则该圆锥的轴截面的面积为（）A.10B.12C.20D.15解析 圆锥的轴截面是等腰三角形，腰长为5,底为6,则高为4,所以轴截面面积 S= 2X6X4=12.答案 B4 .下列说法正确的是（）A.圆锥的母线长等于底面圆直径B.圆柱的母线与轴垂直C.圆台的母线与轴平行D.圆柱的母线与底面垂直解析 圆锥的母线长与底面圆直径无联系；圆柱的母线与轴平行；圆台的母线与 轴不平行.答案 D5.将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的

20、直线旋转一周，所得的几何体()A.由一个圆台、两个圆锥构成B.由两个圆台、一个圆锥构成C.由两个圆柱、一个圆锥构成D.由一个圆柱、两个圆锥构成解析绕较长的底边所在的直线旋转一周，过上底两端点作垂线即可得，一个矩 形和两个直角三角形，故旋转后得一个圆柱，两个圆锥.答案 D二、填空题6.若母线长是4的圆锥的轴截面的面积是8,则该圆锥的高是.解析 设圆锥的高为h,则圆锥的底面半径r =，42- h2.所以由题意可知22rh = hy/42-h2 =8, .h=2l2答案 2 27 .将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面 积是.解析 所得几何体为圆柱，其底面圆半径为1,

21、高为1,侧面积S= 2 71rh = 2ttX 1X1 =2冗.答案 2九8 .圆锥母线长为8,底面半径为2, A为底面圆周上一点，从 A出发将绳子绕圆 锥侧面一周后，再回到 A,则纯长的最小值为 .解析 将圆锥侧面沿过A点的母线展开，设展开后对应点为 A；则绳子最短长 度为线段AA'的长度.因为lAA'= 4怎展开图中扇形半径为8,所以圆心角 占2 所以 AA '= #82 +82 =8也.答案 8 2三、解答题9 .一个圆锥的母线长为10 cm,母线与轴的夹角为60°,求此圆锥的高.解 如图所示，4SAB为圆锥的轴截面，SO, SA分别是圆锥的高和母线，则

22、/ASO = 60 ； SA= 10 cm.1在 RtzXSOA 中，SO= SA cos 60=10X 3= 5(cm).则此圆锥的高为5 cm.10 .如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1 ： 16,截去的圆锥的母线长是 3 cm,求圆台OO的母线长.解 设圆台的母线长为1,由截得圆台上、下底面面积之比为1 ： 16,可设截得圆台的上、下底面的半径分别为 r, 4r.过轴SO作截面，如图所示 则ASOA'sASOA, SA'=3 cm.SA' OA'3 r 1 _ - SA OA. 3+4r 4.解得1 = 9

23、(cm),即圆台的母线长为9 cm.能力提升11.用平行于圆锥底面的平面截圆锥，所得小圆锥的侧面积与原来大圆锥的侧面 积的比是1 : 3,则这个截面把圆锥的高分成的上、下两段的比是()A.1 ： 3B.1 ： (V31)C.1 ： 9D. 3 : 2解析 如图，由题意，可知圆锥PO1与圆锥PO的侧面积之比为1 ： 3,即QAi PAi 1OA PA 3. POiAispoa, .2O1A1 PA1 PO1PO1 O1A1 PA1 1PO11. OA = PA = PO，POoapa =3 同=后PO11O1O=V3-1.故选B.答案 B12.把一个圆锥截成圆台，已知圆台上、下底面的半径比是1 ： 5,母线长是10 cm,求圆锥的母线长.解如图，4SAB为圆锥的轴截面，。为底面圆的圆心,底面直径，截面圆的直径为A1B1,圆心为。1,则等腰梯形为截得圆台的轴截面.AB为A1ABB1由题意，知 A1O1 : AO=1 : 5