2014年高考数学题分类汇编__函数与导数

1、2014年高考数学题分类汇编函数与导数一、选择题1.【2014·全国卷（理3，文5）】设函数，的定义域都为R，且时奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是（ ）.是偶函数 .|是奇函数.|是奇函数 .|是奇函数【答案】C2. 【2014·全国卷（理6）】如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角的始边为射线，终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将点到直线的距离表示为的函数，则=在0,上的图像大致为（ ）【答案】C3. 【2014·全国卷（理11，文12）】已知函数=，若存在唯一的零点，且0，则的取值范围为（ ）.（2，+） .（-，-2） .（1，+）

2、 .（-，-1）【答案】B4. 【2014·全国卷（理8）】设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a= A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】 D【解析】5【2014·全国卷（理12）】设函数.若存在的极值点满足，则m的取值范围是（ ）A. B. C. D.【答案】C。【解析】6.【2014·全国卷（文3）】函数在处导数存在，若p：f（x0）=0；q：x=x0是的极值点，则 （A）是的充分必要条件 （B）是的充分条件，但不是的必要条件 （C）是的必要条件，但不是 的充分条件 (D) 既不是的充分条件，也不是的必要条件【答案

3、】C7.【2014·全国卷（文11）】若函数在区间（1，+）单调递增，则k的取值范围是（ ） （A） （B） （C） （D）【答案】D8. 【2014·全国大纲卷（理7）】曲线在点（1,1）处切线的斜率等于（ ）A2e Be C2 D1【答案】C9. 【2014·全国大纲卷（理12）】函数的图象与函数的图象关于直线对称，则的反函数是（ ）A B C D【答案】D10.【2014·全国大纲卷（文5）】函数的反函数是（ ）A B C D【答案】D11.【2014·全国大纲卷（文12）】奇函数的定义域为R，若为偶函数，且，则（ ）A-2 B-1 C0

4、 D1【答案】D12. 【2014·山东卷（理3）】函数的定义域为（A）（B）（C）（D）13.【2014·山东卷（文3）】函数的定义域为（ ）(A) (B) (C) (D) 【答案】C14.【2014·山东卷（理5）】已知实数满足（），则下列关系式恒成立的是（A） （B）（C） （D）15.【2014·山东卷（文5）】已知实数满足，则下列关系式恒成立的是(A) (B) (C) (D) 【答案】A 16.【2014·山东卷（文6）】已知函数的图象如右图，则下列结论成立的是(A) (B) (C) (D) 【答案】D17.【2014·山东

5、卷（文9）】对于函数，若存在常数，使得取定义域内的每一个值，都有，则称为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是(A) (B) (C) (D) 【答案】D18.【2014·山东卷（理6）】直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为（A）（B）（C）2（D）419.【2014·山东卷（理8）】已知函数，若有两个不相等的实根，则实数的取值范围是（A）（B）（C）（D）20.【2014·安徽卷（理6）】设函数满足.当时，则( )A. B. C. D.【解析】由条件知：，故选A；21.【2014·安徽卷（文、理9）】若函数的最小值3，则实数的值为（ ）A. 或 B.

6、 或 C. 或 D. 或【答案】D.22.【2014·安徽卷（文5）】设，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B23.【2014·浙江卷（理6，文8）】已知函数 且，则（ ）A. B. C. D. 24.【2014·浙江卷（理7，文8）】在同意直角坐标系中，函数的图像可能是（ ） 25.【2014·浙江卷（理10）】设函数，记，则A. B. C. D. 26.【2014·北京卷（理2）】下列函数中，在区间上为增函数的是（ ） 27.【2014·北京卷（文2）】下列函数中，定义域是且为增函数的是（ ） A. B. C. D.【答案】

7、B。28.【2014·北京卷（文6）】已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（ ） A. B. C. D.【答案】C29.【2014·天津卷（理4）】函数的单调递增区间是（）A B. C. D.【答案】D.【解析】函数的定义域为。由于在上单调递减，而在区间上单调递减，故为函数的单调递增区间，选D.30.【2014·天津卷（文4）】设，则（） （A） （B） （C） （D）【解析】因为，所以，选C.31.【2014·福建卷（理4，文8）】若函数的图像如右图所示，则下列函数图像正确的是（ ）【答案】B32.【2014·福建卷（理7，文8）】已知函

8、数则下列结论正确的是（ ）A. 是偶函数 B. 是增函数 C.是周期函数 D.的值域为【答案】D33.【2014·辽宁卷（理3，文3）】已知，则（ ）A B C D【答案】C34.【2014·辽宁卷（理11）】当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）A B C D【答案】C35.【2014·辽宁卷（理12）】已知定义在上的函数满足：；对所有，且，有.若对所有，则k的最小值为（ ）A B C D【答案】B36.【2014·辽宁卷（文10）】已知为偶函数，当时，则不等式的解集为（ ）A B C D37.【2014·陕西卷（理3）】定积分的值为

9、（ ） 【答案】C【解析】，选C。38.【2014·陕西卷（文、理7）】下列函数中，满足“”的单调递增函数是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】39.【2014·陕西卷（理10）】如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点的水平距离10千米处下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则函数的解析式为（ ）（A） （B）（C） （D）【答案】A【解析】三次奇函数过点，且为极值点，即，对而言，由于，符合题意。40.【2014·陕西卷（文10）】如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切）.已知环湖弯曲路段为某三次函数图象

10、的一部分，则该函数的解析式为（ ）A. B. C. D.【答案】A.【解析】三次函数图象过点，且，设，则，从而解得，则函数式为，故选A.41.【2014·湖南卷（理3）】已知分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且A3 B1 C1 D342.【2014·湖南卷（文4）】下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ） 【答案】A43.【2014·湖南卷（理10）】已知函数的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是A B C D【答案】B【解析】由题可得存在满足,当取决于负无穷小时,趋近于,因为函数在定义域内是单调递增的,所以,故选B.【考点定位】指对数函数 方程44

11、.【2014·湖南卷（文9）】若，则（ ）A.B.C. D.【答案】C45【2014·江西卷（理2）】函数的定义域为（ ）A. B. C. D. 【答案】C46.【2014·江西卷（理3）】已知函数，若，则（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. -1【答案】A47.【2014·江西卷（文4）】已知函数，若，则（ ） 【答案】A48.【2014·江西卷（理8）】若则（ ）A. B. C. D.1【答案】B49.【2014·江西卷（文10）】在同意直角坐标系中，函数与的图像不可能的是（ ）【答案】B50.【2014·湖北卷（理

12、6）】若函数 满足 ，则称为区间 上的一组正交函数，给出三组函数：；。其中为区间的正交函数的组数是（ ）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C51.【2014·湖北卷（理10）】已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当时，若则实数a的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B52.【2014·湖北卷（文9）】已知是定义在上的奇函数，当时，. 则函数的零点的集合为 A. B. C. D. 【答案】D53.【2014·四川卷（理9）】已知，。现有下列命题：；。其中的所有正确命题的序号是A B C D 【答案】B54.【2014·四川卷（文7）】已知

13、，则下列等式一定成立的是（ ）A、 B、 C、 D、【答案】B55.【2014·重庆卷（文4）】下列函数为偶函数的是（ ） 【答案】D56.【2014·重庆卷（文9）】若的最小值是（ ）A. B. C. D.【答案】D57.【2014·重庆卷（文10）】已知函数 ，且在内有且仅有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D.【答案】A58.【2014·广东卷（文5）】下列函数为奇函数的是 【答案】A二、填空题59.【2014·全国卷（文15）】设函数则使得成立的的取值范围是_.【答案】 60.【2014·全国卷（理15

14、）】已知偶函数在单调递减，.若，则的取值范围是_.【答案】【解析】偶函数在区间上单减，且，则，解得61.【2014·全国卷（文15）】已知函数的图像关于直线=2对称，=3，则_.62.【2014·山东卷（理15）】已知函数.对函数，定义关于的“对称函数”为，满足：对任意，两个点，关于点对称.若是关于的“对称函数”，且恒成立，则实数的取值范围是 .63.【2014·江苏卷（10）】已知函数若对于任意,都有成立,则实数的取值范围是 .64.【2014·江苏卷（13）】已知是定义在R上且周期为3的函数,当时,.若函数在区间上有10个零点(互不相同),则实数的取

15、值范围是 .65.【2014·安徽卷（文11）】_.【答案】 66.【2014·安徽卷（文14）】若函数是周期为的奇函数，且在上的解析式为，则 _.【答案】 67.【2014·安徽卷（文15）】若直线与曲线满足下列两个条件： 直线在点处与曲线相切；曲线在附近位于直线的两侧，则称直线在点处“切过”曲线.下列命题正确的是_(写出所有正确命题的编号) .直线：在点处“切过”曲线：； 直线：在点处“切过”曲线：； 直线：在点处“切过”曲线：； 直线：在点处“切过”曲线：， 直线：在点处“切过”曲线： 【答案】68.【2014·浙江卷（理15）】设函数若，则实数的

16、取值范围是_【解析】不等式可化为或，解得，即 ，或69.【2014·浙江卷（文15）】设函数，若，则 .70.【2014·浙江卷（文16）】已知实数、满足，则的最大值为为_.71.【2014·天津卷（文12）】函数的单调递减区间值是_.【解析】由复合函数的单调性知，的单调递减区间是.72.【2014·天津卷（理14）】已知函数，.若方程恰有4个互异的实数根，则实数的取值范围为_.【答案】或【解析】显然.（）当与相切时，此时恰有3个互异的实数根.（）当直线与函数相切时，此时恰有2个互异的实数根.结合图象可知或.解2：显然，所以.令，则.因为，所以.结合图象

17、可得或.73.【2014·福建卷（文15）】函数的零点个数是_【答案】274.【2014·陕西卷（理11，文12）】已知则=_.【答案】【解析】75.【2014·陕西卷（文14）】已知f（x）=，x0, f1(x)=f(x),fn+1(x)=f(fn(x),nN+, 则f2014(x)的表达式为_.【答案】【解析】，由于，则，归纳得。76.【2014·湖南卷（文15）】若是偶函数，则_.【答案】77.【2014·江西卷（文11）】若曲线处的切线平行于直线的坐标是_.【答案】78.【2014·江西卷（理13）】若曲线上点处的切线平行于直

18、线，则点的坐标是_.【答案】（-ln2,2）79.【2014·湖北卷（理14）】设是定义在上的函数，且，对任意，若经过点的直线与轴的交点为，则称为关于函数的平均数，记为，例如，当时，可得，即为的算术平均数.（1） 当时，为的几何平均数；（2） 当时，为的调和平均数；（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）【答案】；x 或；80.【2014·湖北卷（文15）】如图所示，函数的图象由两条射线和三条线段组成第15题图若，则正实数的取值范围为【答案】81.【2014·四川卷（理12，文13）】设是定义在R上的周期为2的函数，当时，则 。【答案】82.【2014

19、3;四川卷（理15，文15）】以表示值域为R的函数组成的集合，表示具有如下性质的函数组成的集合：对于函数，存在一个正数，使得函数的值域包含于区间。例如，当，时，。现有如下命题：设函数的定义域为，则“”的充要条件是“，”；函数的充要条件是有最大值和最小值；若函数，的定义域相同，且，则；若函数（，）有最大值，则。其中的真命题有 。（写出所有真命题的序号）【答案】83.【2014·重庆卷（理12）】.函数的最小值为_.【答案】84.【2014·重庆卷（理16）】若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是_.【答案】85.【2014·广东卷（理11）】曲线在点处的切线方

20、程为 。【答案】86.【2014·广东卷（文11）】曲线在点处的切线方程为 .【答案】三、解答题87.【2014·全国卷（理21）】(本小题满分12分)设函数，曲线在点（1，处的切线为. ()求； （）证明：.【解析】 5分 8分 12分88.【2014·全国卷（文21）】设函数，曲线处的切线斜率为0()求b；()若存在使得，求a的取值范围。【解析】，由题设知，解得. 4分（II）的定义域为，由（1）知，（）若，则，故当时，在单调递增，所以，存在，使得的充要条件为，即，解得.（ii）若，则，故当时，；当时，在单调递减，在单调递增.所以，存在，使得的充要条件为，而，

21、所以不合题意.（iii）若，则.综上，a的取值范围是. 12分89.【2014·全国卷（理21）】已知函数=（）讨论的单调性；（）设，当时，,求的最大值；（）已知，估计ln2的近似值（精确到0.001）【解析】（1）（2）（）由（）知，. 当b=2时，0；0.6928； 当时， =0， 0.6934 所以的近似值为0.693.90.【2014·全国卷（文21）】已知函数，曲线在点处的切线与轴交点的横坐标为.（1） 求；（2） 证明：当时，曲线与直线只有一个交点.【解析】（I）=，.曲线在点（0,2）处的切线方程为。由题设得，所以a=1. （）由（I）知， 设由题设知. 当0

22、时，单调递增，所以=0在有唯一实根。当时，令，则。 ，在单调递减，在单调递增，所以 所以在没有实根.综上，=0在R有唯一实根，即曲线与直线只有一个交点。91.【2014·全国大纲卷（理22）】（本小题满分12分）函数.（1）讨论的单调性；（2）设，证明：.【解析】（I）的定义域为（i）当时，若，则在上是增函数；若则在上是减函数；若则在上是增函数（ii）当时,成立当且仅当在上是增函数（iii）当时，若，则在是上是增函数；若，则在上是减函数；若，则在上是增函数（II）由（I）知，当时，在是增函数当时，即又由（I）知，当时，在上是减函数；当时，即下面用数学归纳法证明（i）当时，由已知，故结

23、论成立；（ii）假设当时结论成立，即当时，即当时有，结论成立根据（i）、（ii）知对任何结论都成立92.【2014·全国大纲卷（文21）】函数f(x)=ax3+3x2+3x(a0).（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若函数f(x)在区间（1，2）是增函数，求a的取值范围.【解析】（1），的判别式=36（1-a）.（i）若a1，则，且当且仅当a=1，x=-1，故此时f（x）在R上是增函数.（ii）由于a0，故当a<1时，有两个根：，若0<a<1,则当x（，x2）或x（x1，+）时，故f（x）在（，x2），（x1，+）上是增函数；当x（x2，x1）时，故f（x）在（

24、x2，x1）上是减函数；（2）当a>0，x>0时, ，所以当a>0时，f（x）在区间（1，2）是增函数.若a<0时，f（x）在区间（1,2）是增函数当且仅当且，解得.综上，a的取值范围是.93.【2014·山东卷（理20）】设函数（为常数，是自然对数的底数）.（）当时，求函数的单调区间；（）若函数在内存在两个极值点，求的取值范围.【解析】（1），当时，令，得，函数在上单调递减，在上单调递增；（2）令，则，令，得。由于，综上知的取值范围是。94.【2014·山东卷（文20）】（本小题满分13分）设函数 ，其中为常数.（）若，求曲线在点处的切线方程；（I

25、I）讨论函数的单调性.【解析】由题意知时，. 此时，可得。 所以在 处的切线方程为 函数的定义域为. 。 当，函数在上单调递增；当时，令。由于，当时，函数在上单调递减；当时，则，函数在上单调递减；当时，设是函数的两个零点，则，由。所以 时，函数单调递减； 时， ，函数单调递增； 时，函数单调递减。综上所述：当时，函数在（0，+）上单调递增加；当时，函数在（0，+）上单调递减；当时，在,上单调递减，在上单调递增。95.【2014·江苏卷（19）】(本小题满分16分)已知函数,其中e是自然对数的底数. (1)证明:是R上的偶函数；(2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围；(3)已

26、知正数满足：存在，使得成立.试比较与的大小，并证明你的结论.【解析】本小题主要考查初等函数的基本性质、导数的应用等基础知识，考查综合运用数学思想 方法分析与解决问题的能力.满分16分.（1），是上的偶函数（2）由题意，即，即对恒成立令，则对任意恒成立，当且仅当时等号成立（3），当时，在上单调增令，即在上单调减存在，使得，即设，则当时，单调增；当时，单调减因此至多有两个零点，而当时，；当时，；当时，96.【2014·安徽卷（理19，文20）】（本小题满分13分）设函数，其中.()讨论在其定义域上的单调性；()当时，求取得最大值和最小值时的的值.【解析】（）的定义域为， 令得所以当或时；

27、当时故在和内单调递减，在内单调递增。（），（1）当时，由（）知在上单调递增在和处分别取得最小值和最大值。（2）当时，由（）知在上单调递增，在上单调递减在处取得最大值又当时在处取得最小值 当时在和处同时取得最小值当时，在取得最小值。97.【2014·浙江卷（理20）】已知函数 ()若在上的最大值和最小值分别记为，求 ()设，若对恒成立，求得取值范围. (2) 98.【2014·浙江卷（文21）】已知函数，若在上的最小值记为.（1）求；（2）证明：当时，恒有.【解析】本题主要考查函数最大（最小）值的概念 、利用导数研究函数的单调性等基础知识，同时考查推理论证、分类讨论、分析问题

28、和解决问题等综合解题能力。满分15分。（1）因为，当时，若，则，故在上是减函数；若，则，故在上是增函数；所以，.当，则，故在上是减函数，所以，综上所述，.（2）令，当时，若，得，所以在上是增函数，所以在上的最大值是，且，所以，故.若，则，所以在上是减函数，所以在上的最大值是，令，则，所以在上是增函数，所以即，故，当时，所以，得，此时在上是减函数，因此在上的最大值是，故，综上所述，当时恒有.99.【2014·北京卷（理18，文8）】已知函数，（1）求证：；（2）若在上恒成立，求的最大值与的最小值.【解析】（I）由得 。 因为在区间上，所以在区间上单调递减。从而。（）当时，“”等价于“”

29、“”等价于“”。 令，则， 当时，对任意恒成立。 当时，因为对任意，所以在区间上单调递减。从而对任意恒成立。 当时，存在唯一的使得。 与在区间上的情况如下： 0因为在区间上是增函数，所以。进一步，“对任意恒成立”当且仅当，即， 综上所述，当且仅当时，对任意恒成立；当且仅当时，对任意恒成立。 所以，若对任意恒成立，则a最大值为，b的最小值为1.100.【2014·北京卷（文20）】已知函数.（1）求在区间上的最大值；（2）若过点存在3条直线与曲线相切，求t的取值范围；（3）问过点分别存在几条直线与曲线相切？（只需写出结论）（I）由得，令，得或，因为，所以在区间上的最大值为.（II）设过

30、点P（1，t）的直线与曲线相切于点，则，且切线斜率为，所以切线方程为，因此，整理得：，设，则“过点存在3条直线与曲线相切”等价于“有3个不同零点”， =，与的情况如下：01+00+t+3所以，是的极大值，是的极小值，当，即时，此时在区间和上分别至多有1个零点，所以至多有2个零点，当，时，此时在区间和上分别至多有1个零点，所以至多有2个零点.当且，即时，因为，所以分别为区间和上恰有1个零点，由于在区间和上单调，所以分别在区间和上恰有1个零点.综上可知，当过点存在3条直线与曲线相切时，t的取值范围是.（III）过点A（-1，2）存在3条直线与曲线相切；过点B（2，10）存在2条直线与曲线相切；过点

31、C（0，2）存在1条直线与曲线相切.101.【2014·天津卷（理20）】已知函数，.已知函数有两个零点，且.（）求的取值范围；（）证明 随着的减小而增大；（）证明 随着的减小而增大.【解析】本小题主要考查函数的零点、导数的运算、利用导数研究函数的性质等基础知识和方法. 考查函数思想、化归思想. 考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力. 满分14分.（）解：由，可得.下面分两种情况讨论：（1）时 在上恒成立，可得在上单调递增，不合题意.（2）时， 由，得.当变化时，的变化情况如下表：0这时，的单调递增区间是；单调递减区间是.于是，“函数有两个零点”等价于如下条件同时成立：1&

32、#176;；2°存在，满足；3°存在，满足.由，即，解得，而此时，取，满足，且；取，满足，且.所以，的取值范围是.（）证明：由，有.设，由，知在上单调递增，在上单调递减. 并且，当时，；当时，.由已知，满足，. 由，及的单调性，可得，. 对于任意的，设，其中；，其中.因为在上单调递增，故由，即，可得；类似可得.又由，得.所以，随着的减小而增大.（）证明：由，可得，.故.设，则，且解得，.所以，. 令，则.令，得.当时，.因此，在上单调递增，故对于任意的，由此可得，故在上单调递增.因此，由可得随着的增大而增大.而由（），随着的减小而增大，所以随着的减小而增大.102.【201

33、4·天津卷（文19）】已知函数，.（）求的单调区间和极值；（）若对于任意的，都存在，使得.求的取值范围.（）解：因为，所以.令得或.因为当或时，单调递减，当时，单调递增，所以，.（）解：因为，所以.103.【2014·福建卷（理20）】已知函数（为常数）的图像与轴交于点，曲线在点处的切线斜率为-1.（I）求的值及函数的极值；（II）证明：当时，；（III）证明：对任意给定的正数，总存在，使得当，恒有.【解析】本小题主要考查导数的运算及导数的应用、全称量词等基础知识的考查运用，考查抽象概括能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、有限与无限思想、化归与转化思想、分类与整合思想、

34、函数与方程思想等。 满分14分。解法一：（I）由，得.又,得.所以.令,得.当时, 单调递减;当时, 单调递增.所以当时, 取得极小值,且极小值为无极大值.（II）令,则.由（I）得,故在R上单调递增,又,因此,当时, ,即.（III）若,则.又由（II）知，当时, .所以当时, .取,当时，恒有.若,令,要使不等式成立，只要成立.而要使成立，则只要,只要成立.令,则.所以当时, 在内单调递增.取,所以在内单调递增.又.易知.所以.即存在,当时，恒有.综上，对任意给定的正数c，总存在,当时,恒有.解法二：（I）同解法一；（II）同解法一（III）对任意给定的正数c，取由（II）知，当x>

35、0时，所以当时， 因此，对任意给定的正数c，总存在,当时,恒有.104.【2014·福建卷（文20）】已知函数（为常数）的图像与轴交于点，曲线在点处的切线斜率为.（）求的值及函数的极值；（）证明：当时，（）证明：对任意给定的正数c，总存在，使得当时，恒有【解析】解法一：（1）由，得.又，得.所以，.令，得.当时，单调递减；当时，单调递增.所以当时，有极小值，且极小值为，无极大值.（2）令，则.由（1）得，即.所以在R上单调递增，又，所以当时，即.（3）对任意给定的正数c，取，由（2）知，当时，.所以当时，即.因此，对任意给定的正数c，总存在，当时，恒有.解法二：（1）同解法一.（2）

36、同解法一.（3）令，要使不等式成立，只要成立.而要使成立，则只需，即成立.若，则，易知当时，成立.即对任意，取，当时，恒有.若，令，则，所以当时，在内单调递增.取，易知，所以.因此对任意，取，当时，恒有.综上，对任意给定的正数c，总存在，当时，恒有.解法三：（1）同解法一.（2）同解法一.（3）若，取，由（2）的证明过程知，所以当时，有，即.若，令，则，令得.当时，单调递增.取，易知，又在内单调递增，所以当时，恒有，即.综上，对任意给定的正数c，总存在，当时，恒有.注：对c的分类可有不同的方式，只要解法正确，均相应给分。105.【2014·辽宁卷（理21）】已知函数，.证明：（1）存

37、在唯一，使；（2）存在唯一，使，且对（1）中的.（）当时，函数在上为减函数，又，所以存在唯一，使.（）考虑函数，令，则时，记，则 ，由（）得，当时，当时，.在上是增函数，又，从而当时，所以在上无零点.在上是减函数，由，存在唯一的 ，使.所以存在唯一的使.因此存在唯一的，使.因为当时，故与有相同的零点，所以存在唯一的，使.因，所以106.【2014·辽宁卷（文8）】已知函数，.证明：（）存在唯一，使；（）存在唯一，使，且对（1）中的x0，有.（）当时，所以在上为增函数又所以存在唯一，使（）当时，化简得令记则由（）得，当时，；当时，从而在上为增函数，由知，当时，所以在上无零点在上为减函数

38、，由及知存在唯一，使得于是存在唯一，使得设因此存在唯一的，使得由于，所以107【2014·陕西卷（理21）】设函数，其中是的导函数.（1） ，求的表达式；（2） 若恒成立，求实数的取值范围；（3）设，比较与的大小，并加以证明.【解析】，（1），即，当且仅当时取等号当时，当时，即数列是以为首项，以1为公差的等差数列，当时，（2）在范围内恒成立，等价于成立令，即恒成立，令，即，得当即时，在上单调递增，所以当时，在上恒成立；当即时，在上单调递增，在上单调递减，所以设，因为，所以，即，所以函数在上单调递减所以，即，所以不恒成立综上所述，实数的取值范围为；（3）由题设知：，比较结果为：证明如下

39、：上述不等式等价于在（2）中取，可得令，则，即故有上述各式相加可得：结论得证.108.【2014·陕西（文21）】设函数.（1）当（为自然对数的底数）时，求的最小值；（2）讨论函数零点的个数；（3）若对任意恒成立，求的取值范围.【解析】（1）由题设，当时，易得函数的定义域为当时，此时在上单调递减；当时，此时在上单调递增；当时，取得极小值的极小值为2(2)函数令，得设当时，此时在上单调递增；当时，此时在上单调递减；所以是的唯一极值点，且是极大值点，因此x=1也是的最大值点，的最大值为又，结合y=的图像（如图），可知 当时，函数无零点；当时，函数有且仅有一个零点；当时，函数有两个零点；时

40、，函数有且只有一个零点；综上所述，当时，函数无零点；当或时，函数有且仅有一个零点；当时，函数有两个零点.（2） 对任意恒成立，等价于恒成立设，在上单调递减在恒成立恒成立（对，仅在时成立），的取值范围是109.【2014·湖南卷（理22）】已知常数（1）讨论在区间上的单调性；（2）若存在两个极值点且求的取值范围【解析】（I）=当1时，此时在区间上单调递增。当0a1时，由得（舍去）当时，；当时，故在区间上单调递增，在区间上单调递增。综上所述当时，在区间（0，）上单调递增；当01时，在区间（0，）上单调递减，在区间（，）上单调递增（II）由（）式知。当，此时不存在极值点，因而要使得有两个极

41、值点，必有01。又的极值点只可能是和，且由的定义可知，且2，所以。2，解得。此时，由（）式易知，分别是的极小值点和极大值点，而=（）-+（1+）- =- =+令2-1=x,由01且知当0时,-1x0; 当1时。0x1记（x）=ln+-2(i) 当-1x0时，（x）=2ln(-x)+ -2，所以（x）=-=0因此，（x）在区间（-1,0）上单调递减，从而（x）（-1）=-40，故当0时，；（ii）当0x1时，（x）=2lnx+-2,所以，因此（x）在区间（0,1）上单调递减，从而（x）（1）=0.故当1时，综上所述。满足条件的a的取值范围为（，1）110【2014·湖南卷（文21）】已

42、知函数.（1） 求的单调区间；（2）记为的从小到大的第个零点，证明：对一切，有（I）数求导可得,令可得,当时,.此时;当时,此时,故函数的单调递减区间为,单调递增区间为.(II)由(1)可知函数在区间上单调递减,又,所以,当时,因为,且函数的图像是连续不断的,所以在区间内至少存在一个零点,又在区间上是单调的,故,因此,当时,;当时,;当时,综上所述,对一切的,.111【2014·江西卷（理18）】已知函数.（1）当时，求的极值；(2)若在区间上单调递增，求b的取值范围.【解析】（1）当时，由得或当时，单调递减，当时，单调递增，当时，单调递减，故在取极小值，在取极大值4.（2）因为当时

43、, 依题意当时，有，从而所以b的取值范围为112.【2014·江西卷（文18）】已知函数，其中. （1）当时，求的单调递增区间; （2）若在区间上的最小值为8，求的值.当时，由，得或，由得或，故函数f（x）的单调递增区间为和（2）因为，a<0，由 得或，当时，单调递增，时，单调递减，当时，单调递增，易知=（2x+a）2，且当时，即-2a<0时，在上的最小值为，由=4+4a+a2=8，得a=均不符合题意当时，即，在上的最小值为不符合题意当时，即，在上的最小值可能在x=1或x=4上取得，而由得或(舍去)，当时，在上单调递减，在上的最小值为符合题意。综上有，a=-10113.【2014·湖北卷（理22，文8（）、（）】为圆周率，为自然对数的底数. （）求函数的单调区间；（）求，这6个数中的最大数与最小数. （）将，这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论。（I）函数的定义域为，因为，所以，当，即时，函数单调递增；当，即时，函数单调递减；故函数的单调增区间为，单调减区间为.（II）因为，所以，即，于是根据函数、在定义域上单调递增，所以，故这6个数的最大数在与之中，最小数在与之中，由及（I）的结论得，即，由得，所以，由得，所以，综上，6个数中的最大数为，最小数为.（III）由（II）知，又由（II）知，故只