第二十七讲　平面向量的应用作业

1、第二十七讲第二十七讲平面向量的应用平面向量的应用班级班级_姓名姓名_学号学号_日期日期_得分得分_一一、选择题选择题(本大题共本大题共 6 小题小题，每小题每小题 6 分分，共共 36 分分在下列四在下列四个选项中，只有一项是符合题意的个选项中，只有一项是符合题意的)1设设 e1，e2，e3，e4是某平面内的四个单位向量，其中是某平面内的四个单位向量，其中 e1e2，e3与与 e4的夹角为的夹角为 135， 对于这个平面内的任意一个向量对于这个平面内的任意一个向量 axe1ye2，规定向量规定向量 a 经过一次经过一次“斜二测变换斜二测变换”得到向量得到向量 a1xe3y2e4，设向设向量量v

2、3e14e2，则向量，则向量 v 经过一次经过一次“斜二测变换斜二测变换”得到的向量得到的向量 v1的模的模是是()A13B. 13C. 136 2D. 136 2解析解析由由“斜二测变换斜二测变换”的定义可知，向量的定义可知，向量 v3e14e2经过一经过一次次“斜二测变换斜二测变换”得到向量得到向量 v13e32e4， 又单位向量又单位向量 e3与与 e4的夹角的夹角为为 135，所以，所以|v1|3222232cos135 136 2，故选，故选 D.答案答案D2 设设 G 是是ABC 的重心的重心， 且且 sinAGAsinBGBsinCGC0，则则B 的大小为的大小为()A45B60

3、C30D15解析解析因为因为 G 是是ABC 的重心，则的重心，则GAGBGC0，而而sinAGAsinBGBsinCGC0，则则 sinAsinBsinC，故故 ABC60.答案答案B3已知两点已知两点 M(3,0)，N(3,0)，点，点 P 为坐标平面内一动点，且为坐标平面内一动点，且|MN|MP|MNNP0，则动点则动点 P(x，y)到点到点 M(3,0)的距离的距离 d 的最的最小值为小值为()A2B3C4D6解析解析因为因为 M(3,0)，N(3,0)，所以所以MN(6,0)，|MN|6，MP(x3， y)， NP(x3， y) 由由|MN|MP|MNNP0 得得 6 x3 2y26

4、(x3)0，化简得，化简得 y212x，所以点，所以点 M 是抛物线是抛物线 y212x 的的焦点焦点，所以点所以点 P 到到 M 的距离的最小值就是原点到的距离的最小值就是原点到 M(3，0)的距离的距离，所以所以 dmin3.答案答案B4在在ABC 中，已知中，已知 a，b，c 分别为角分别为角 A，B，C 所对的边，所对的边，且且 a，b，c 成等比数列，成等比数列，ac3，cosB34，则，则ABBC等于等于()A.32B32C3D3解析解析由已知由已知 b2ac，ac3，cosB34，得，得34a2c2b22ac ac 23ac2ac，解得解得 ac2.则则ABBCaccosAB，

5、BC234 32.答案答案B5一质点受到平面上的三个力一质点受到平面上的三个力 F1，F2，F3(单位：牛顿单位：牛顿)的作用的作用而处于平衡状态，已知而处于平衡状态，已知 F1，F2成成 60角，且角，且 F1，F2的大小分别为的大小分别为 2和和 4，则，则 F3的大小为的大小为()A6B2C2 5D2 7解析解析F23F21F222|F1|F2|cos6028，所以，所以|F3|2 7，选，选 D.答案答案D6已知平面内的向量已知平面内的向量OA，OB满足满足：|OA|OB|2，OA与与OB的的夹角为夹角为2，又又OP1OA2OB，011,122，则点则点 P 的集合所的集合所表示的图形

6、面积是表示的图形面积是()A8B4C2D1解析解析如图，以如图，以 O 为原点，为原点，OA所在直线为所在直线为 x 轴，轴，OB所在直线为所在直线为 y 轴轴，建立平面直角坐标系，则建立平面直角坐标系，则 A(2,0)，B(0,2)，设，设 P(x，y)，则由，则由OP1OA2OB， 得得(x， y)1(2,0)2(0,2)(21,22)， x21，y22，因 为因 为011，122，0 x2，2y4， 点点 P 的 集 合 为 ：的 集 合 为 ： (x ，y)|0 x2,2y4，它表示正方形区域，它表示正方形区域(如图中阴影部分所示如图中阴影部分所示)，所，所以面积为以面积为 224.答

7、案答案B二二、填空题填空题(本大题共本大题共 4 小题小题，每小题每小题 6 分分，共共 24 分分把正确答把正确答案填在题后的横线上案填在题后的横线上)7 已知正实数已知正实数 x 满足方程满足方程 2t3t2x2t(x1)xx20， a(1，x)，b(3,2)，catb，则则 ac 取最小值取最小值 m 时时，m 和和 x 的值分别为的值分别为_解析解析原方程整理成原方程整理成 x 的二次方程的二次方程 x2(t1)2x2t(t21)0，即即x(t21)(x2t)0，x0，x2t(t0)，a(1，x)(1,2t)，c(13t,4t)，ac13t8t28t31622332，m2332，t31

8、6，x38.答案答案m2332，x388在长江南岸渡口处在长江南岸渡口处，江水以江水以 12.5km/h 的速度向东流的速度向东流，渡船的渡船的速度为速度为 25km/h.渡船要垂直地渡过长江，则航向为渡船要垂直地渡过长江，则航向为_解析解析如图所示，渡如图所示，渡船速度为船速度为OB，水流速度为，水流速度为OA，船实际垂直过江的速度为，船实际垂直过江的速度为OD，依题意知依题意知|OA|12.5252，|OB|25.ODOBOA，ODOAOBOAOA2.ODOA，ODOA0，25252cos(BOD90)25220，cos(BOD90)12，sinBOD12，BOD30，航向为北偏西航向为北

9、偏西 30.答案答案北偏西北偏西 309 ABC 的外接圆的圆心为的外接圆的圆心为 O， 两条边上的高的交点为两条边上的高的交点为 H， OHm(OAOBOC)，则实数，则实数 m_.解析解析取取 BC 的中点的中点 D，则，则OBOC2OD，且，且 ODBC，AHBC.由由OHm(OAOBOC)，可得，可得OAAHm(OA2OD)，AH(m1)OA2mOD.AHBC(m1)OABC2mODBC，即即 0(m1)OABC0，故，故 m1.答案答案110已知已知|a|2，|b|4，a 与与 b 的夹角为的夹角为3，以以 a，b 为邻边作平为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条

10、的长度为行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为_解析解析画图可知，较短一条对角线的长度为画图可知，较短一条对角线的长度为|a|2|b|22|a|b|cos32242224122 3.答案答案2 3三三、解答题解答题(本大题共本大题共 3 小题小题，11、12 题题 13 分分，13 题题 14 分分写写出证明过程或推演步骤出证明过程或推演步骤)11已知已知 a(1，x)，b(x2x，x)，m 为实数为实数，求使求使 m(ab)2(m1)ab10 成立的成立的 x 的取值范围的取值范围解解abx2xx2x.m(ab)2(m1)ab10mx2(m1)x10.(1)当当 m0 时，

11、时，x1.(2)当当 m0 时，时，m(x1m)(x1)0，当当 m1，或，或 x1m.当当 0m1 时，时，1x1 时，时，1mx1.12在在 ABCD 中中，A(1,1)，AB(6,0)，点点 M 是线段是线段 AB 的中点的中点，线段线段 CM 与与 BD 交于点交于点 P.(1)若若AD(3,5)，求点，求点 C 的坐标；的坐标；(2)当当|AB|AD|时，求点时，求点 P 的轨迹的轨迹解解(1)设点设点 C 的坐标为的坐标为(x0，y0)，又又ACADAB(3,5)(6,0)(9,5)，即即(x01，y01)(9,5)，x010，y06，即点，即点 C(10,6)(2)设设 P(x，

12、y)，则则BPAPAB(x1，y1)(6,0)(x7，y1)，ACAMMC12AB3MP12AB3(AP12AB)3APAB(3(x1)，3(y1)(6,0)(3x9,3y3)|AB|AD|， ABCD 为菱形，为菱形，BPAC，(x7，y1)(3x9,3y3)0，即即(x7)(3x9)(y1)(3y3)0，x2y210 x2y220(y1)，故点故点 P 的轨迹是以的轨迹是以(5,1)为圆心为圆心， 2 为半径的圆且去掉与直线为半径的圆且去掉与直线 y1的两个交点的两个交点13 已 知 已 知 OM (cos ， sin) ， ON (cosx ， sinx) ， PQcosx，sinx45cos .(1)当当 cos45sinx时，求函数时，求函数 yONPQ的最小正周期；的最小正周期；(2)当当OMON1213， OMPQ， x， x 都是锐角时都是锐角时， 求求 cos2的值的值解解(1)cos45sinx，ycos2xsin2x4sinx5coscos2xsin2xcos2x1cos2x212cos2x12，该函数的最小正周期是该函数的最