【2020年高考必备】全国版高考数学必刷题：第十三单元空间几何中的平行与垂直

1、第十三单元空间几何中的平行与垂直点、线、面位置关系的判断1.（2016 年浙江卷）已知互相垂直的平面a，B交于直线I,若直线mn满足ma门丄B则（）.Am/IB.m/nCn丄IDm丄n【解析】TaQB=l,.l? B. Tn丄B,.n丄I.【答案】C2.（2015 年安徽卷）已知mn是两条不同直线,a，B是两个不同平面，则下列命题正确的是（）.A. 若a,B垂直于同一平面，则a与B平行B. 若mn平行于同一平面，则m与n平行C. 若a,B不平行，则在a内不存在与B平行的直线D. 若mn不平行，则m与n不可能垂直于同一平面【解析】A 项，a，B可能相交，故错误；B 项，直线mn的位置关系不确定，

2、可能相交、平行或异面，故错误；C 项，若m?a,aQB=n,rr/ n,则 m/B,故错误；D 项假设mn垂直于同一平面，则必有 m/n所以原命题正确.故 D 项正确.【答案】D3.（2015 年广东卷）若直线Ii和I2是异面直线,|i在平面a内,|2在平面B内是平面a与平面B的交线，则下列命题正确的是（）.A.I与I1,I2都不相交B.I与I1,I2都相交C.I至多与丨订2中的一条相交D.I至少与丨12中的一条相交考点一【解析】由直线I1和I2是异面直线可知|1与I2不平行也不相交，故I1,I2中至少有一条与I相交.【答案】D4.（2017 年全国皿卷）在正方体ABCDAiBGD中,E为棱C

3、D的中点 则（）.AAiE丄DC BAE丄BDCAE丄BG DAE丄AC【解析】连接BQ由题意得BG丄BC.AiB丄平面BBCC且BG?平面BBCC.AiB丄BC, AiBnBC=B,. BC丄平面AECBWE?平面AECB.AiE丄BC.故选C【答案】C5.（2016 年上海卷）如图，在正方体ABCD-AGD中,E、F分别为BC BB的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（）.A直线AAB.直线ABC.直线AiDD.直线BiC【解析】根据异面直线的概念可以看出直线AA,AB,AD都和直线EF为异面直线，直线BC和直线EF在同一平面内，且这两条直线不平行，.直线BC和直线EF相交,即选项 D

4、正确.【答案】D考点二求异面直线所成的角6.(2017 年全国皿卷)a,b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC勺直角边AC所在直线与a,b都 垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：1当直线AB与a成 60角时,AB与b成 30角；2当直线AB与a成 60角时,AB与b成 60角；3直线AB与a所成角的最小值为 45 ;4直线AB与a所成角的最大值为 60.【解析】依题意建立如图所示的空间直角坐标系.设等腰直角三角形ABC的直角边长为 1.由题意知点B在平面xOy中形成的轨迹是以C为圆心,1 为半径的圆.设直线a的方向向量为a=(0,1,0),直线b的方向向量为b=(1,

5、0,0),以Ox轴为始边沿逆时针方向旋转的 旋转角为9,9 0,2n)，则B(cos9,sin9,0),=(cos9,sin9，-1),|=_.设直线AB与a所成的角为a,贝Ucosa =-=|sin9|,.45 a 90正确，错误.设直线AB与b所成的角为B,则 cosB=- =|cos9|.当直线AB与a的夹角为 60，即卩a=60时，贝U|sin9|=cosa=cos 60 ,.|cos9|=一. /.cosB=|cos9|=-.0w B 90B=60 ,即直线AB与b的夹角为 60正确，错误.其中正确的是_ .(填写所有正确结论的编号)【答案】7.（2016 年全国I卷）平面a过正方体

6、ABCD-BGD的顶点A,a/平面CBD,a Q平面ABCD=mQ平面ABEA=n则mn所成角的正弦值为（）.A.二B二C.二D. _【解析】设平面CBDn平面ABCD=m.平面a/ 平面CBD,.mi/m.又平面ABCD平面ABIGD,且平面CBDn平面ABCD=BD,/BiD /m.BiD/m.平面ABBAi/ 平面DCCD,且平面CBDn平面DC=CD同理可证CD/n.因此直线m与n所成的角即直线BD与CD所成的角.在正方体ABCD-/BCD中,CBD是正三角形，故直线BiD与CD所成角为 60 ,其正弦值为一.【答案】A8.（2017 年全国H卷）已知直三棱柱ABC-ABC中,/ABC

7、=20 ,AB=2,BC=CC1，则异面直线AB与BC所成角的余弦值为（）.【解析】A. B.C.D.為将直三棱柱ABC-ABG补形为直四棱柱ABCD-AiGD，如图所示，连接AD,BD,BD.由题意知 /ABC=20 ,AB：2,BC=CC1,所以AD=BC=_,AB=DAB60.在厶ABD中，由余弦定理知BD=22+12-2X2X1Xcos 60 =3,所以BD=一,所以BD=又直线AB与AD所成的角即为异面直线AB与BG所成的角9,所以 cos 9 =- =.故选 C【答案】C9.（2014 年全国H卷）直三棱柱ABC-ABC中,/BCA=0 ,MN分别是AB,AC的中点，BC=CA=C

8、C BM与AN所成角的余弦值为（）.A._ B._ C. D.【解析】如图，取BC的中点D连接MNNDAD由于MN -BC BD因此有ND BM则ND与NA所成的角即为异面直线BM与AN所成的角.设BC2,则BM=ND匚,AN=,AD=一,因此 cos /AND=-.【答案】C考点三求线面角或二面角的正弦值、余弦值等10.(2017 年全国皿卷)如图，四面体ABC中,ABC是正三角形,ACD是直角三角形，/ABDYCBDAB=BD.(1)证明：平面ACCL平面ABC.过AC的平面交BD于点E若平面AEUE四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D-AE-C的余弦值.【解析】(1)由题设可得

9、ABDACBI从而AD=CD.又厶ACD是直角三角形，所以/ADC90.取AC的中点Q连接DBO贝UDQLACDQ=AQ.又因为ABC是正三角形所以BQLAC所以/DO助二面角D-AC-B的平面角.在 Rt AQB ,BQ+AQ=AB,又AB=B(所以BQ+D&BQ+AQ=AB=BD,故/DQB90.所以平面ACEL平面ABC.(2)由题设及(1)知 ,Qy?QDM两垂直，以Q为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方 向，的方向为z轴正方向|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系Q-xyz,则A(1,0,0),B(0,0),C-1,0,0),D(0,0,1).由题设知，四面体

10、ABC啲体积为四面体ABCD勺体积的-,从而E到平面ABC勺距离为D到平面ABC勺距离的-,即E为DB的中点，得E故=(-1,0,1),=(-2,0,0),=-二一.设n =(x,y,z)是平面DAE勺法向量，则即 一可取n= .设m是平面AEC的法向量则同理可取m=0,-1,_),贝 U cos=所以二面角D-AE-C的余弦值为一.11.(2015 年全国n卷)如图，长方体ABCD-A1CD中,AB=6,BC=0,AA=8,点EF分别在AB,DC上,AE=EF=4.过 点E,F的平面a与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);(2)求直线AF与

11、平面a所成角的正弦值【解析】(1)交线围成的正方形EHGI如图所示.作EMIL AB垂足为MUAM=1E=4,EM=AA8.1 1.公理 1 1：如果一条直线上的在一个平面内，那么这条直线在这个平面内因为四边形EHGf为正方形所以EH=EF=BC0.于是MH=-=6 所以AH=O.以点D为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则AJ0,0,0)H10,10,0),E(10,4,8),F(0,4,8),=(10,0,0),=(0,-6,8).设n =(x,y,z)是平面EHGF勺法向量，则即_所以可取n =(0,4,3).又=(-10,4,8),故|cosv n,

12、|=-=一.所以直线AF与平面EHG所成角的正弦值为一.高频考点：点、线、面位置关系的判断；证明平行关系和垂直关系；求异面直线所成的角、线面角和二面角.命题特点：点、线、面位置关系的判断和异面直线所成的角一般是一个选择题和一个解答题，其中解答题的第一问是平行、垂直关系的证明，第二问是线面角、二面角的求解，从考查分值看，在 17 分左右,题目注重 思维能力、逻辑推理能力和运算能力，属中档题. 13.1空间中点、线、面的位置关系平面的基本性质X/2.2.公理 2:2:的三点，有且只有一个平面3.3._ 公理 3:3:如果两个不重合的平面有公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.空间中两直线的

13、位置关系1.1. 空间中两条直线的位置关系共面直线异面直线 不同在_ 一个平面内2.2. 异面直线所成的角（1 1）定义: :设a, ,b是两条异面直线，经过空间任一点0作直线a/a, ,b/b, ,把a与b所成的锐角（或直角）叫作异面直线a与b所成的角（或夹角）.（2 2）范围:_.3.3. 公理 4:4:平行于_ 的两条直线互相平行4.4.等角定理: :空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角 _.三空间中直线与平面、平面与平面的位置关系1.1._ 直线与平面的位置关系有、三种情况.2.2._ 平面与平面的位置关系有 、两种情况.X/?左学右考1下面的说法是否正确？请说明理由.两个

14、平面a ,B有一个公共点A,就说a，B相交于点A记作aA B=A.2四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数有（）.A 4 个B 3 个C 2 个D. 1 个3已知直线a和平面a,B,anp=1,a?a,a?B，且a在a,p内的射影分别为直线b和c,则直线b和c的位 置关系是（）.A相交或平行B 相交或异面C 平行或异面D 相交、平行或异面4在正方体ABCD-A1CD中,MN分别为棱ABi,BB的中点，则异面直线AM与CN所成角的余弦值为 _.5下面的说法是否正确？请说明理由.已知平面a和B，直线a和b, a/B ,m/n,若m/ a，则n/B.6 a是一个平面，mn是两条直线,A是一个

15、点 若m?a,n?a，且AmAa，则mn的位置关系不可能是（）.A.平行B.相交C 异面D 垂直知识清单一、1.两点2.过不在一条直线上3. 一个二、1.平行相交任何2.-3.同一条直线4.相等或互补三、1.相交平行在平面内 2.平行相交基础训练1. 【解析】错误.由公理 3 可知两个平面相交于一条公共直线.2.【解析】如空间四边形每两条相交线都确定一个平面，故最多可确定 4 个平面.【答案】A3.【解析】依题意可得b和C的位置关系可能是相交、平行或异面.【答案】D4. 解析】利用平移法，结合余弦定理即可得出.【答案】-5. 解析】错误.n可以平行于3，也可以在平面B内.6. 解析】/a是一个

16、平面，mn是两条直线,A是一个点，m?a,n?a,.n在平面a上,m与平面a相交./A mAa,.A是m和平面a相交的点.m和n异面或相交，一定不平行.故选 A.答案】A筛搭搭能阳品於器搭阳阳键晅1刪题型一空间两条直线的位置关系例 1】a,b,c是空间中互不重合的三条直线，下面给出五个命题1若a/b,b/c,则a/c;2若a丄b,b丄c,则a/c;3若a与b相交,b与c相交，则a与c相交；4若a?平面a,b?平面3，则a,b一定是异面直线；若a,b与c成等角，则a/b.上述命题中正确的 _.（只填序号）【解析】由公理 4 知正确当a丄b,b丄c时,a与c可以相交、平行，也可以异面，故不正确;当

17、a与b相交,b与c相交时,a与c可以相交、平行，也可以异面，故不正确;a?a,b?p，并不能说明a与b“不同在 任何一个平面内”，故不正确;当a,b与c成等角时,a与b可以相交、平行，也可以异面，故不正确.故答案 为.【答案】要判断线线、线面、面面的位置关系，应熟练掌握空间线面关系及面面关系的定义、几何特征及判断方法,特别注意要考虑全面.【变式训练 1】若空间中四条两两不同的直线|1,丨2,|3,|4满足|1丄|2,|2丄|3,|3丄丨4,则下列结论一定正确的 是（）A|i丄丨4B.|1/|4CI1与|4既不垂直也不平行D.|1与|4的位置关系不确定【解析】11丄|2,|2丄丨3,二11与|3

18、的位置关系不确定，又14丄|3,二11与|4的位置关系不确定.故 A、B、C 错误,D 正确.【答案】D题型二异面直线所成的角【例2】已知长方体ABCD-AQD中,AA=AB=：AD=,则异面直线BC和GD所成角的余弦值为（）.A. B. G D 【解析】如图，连接BAAC则BACD：/ABC为异面直线BC和GD所成的角在ABC中,AB=,BC=2,AC=2,.cos / ABC二异面直线BiC和CD所成角的余弦值为一.故选 A.【答案】A求异面直线所成角的一般方法：(1)移:通过中位线或平行四边形平移.(2)证:证明所作的角是异面直线所 成的角.(3)求:解三角形，注意角的范围.【变式训练

19、2】如图，正四面体ABC中,E、F分别是棱BC和AD的中点，则直线AE和CF所成角的余弦值为().【解析】连接ED取ED的中点G连接GFGC./ FGDAE的中位线, FG/ AE.直线AE和CF所成的角即为GF和FC所成的角.设BC=,则AE=DE=CF=- FG=AE,GC=在厶GFC中 ,cos /GFC=即直线AE和CF所成角的余弦值为-.【答案】B构造法实质上是结合题意构造符合题意的直观模型，然后将问题利用模型直观地作岀判断，这样减少了抽象性，避免了因考虑不全面而导致解题错误.对于线面、面面位置关系（平行、垂直）的判定，可构造长方体 或正方体化抽象为直观去判断.【突破训练】已知mn是

20、两条不同的直线，a为两个不同的平面，有下列四个命题：1若 mla，np，mLn,则a丄B;2若m/a,n/ B，mLn,则a/B;3若ml a,n/ B,mLn,则a/B；4若ml a,n/B,a/B，则mln.其中正确的命题是_.（填写所有正确命题的序号）【解析】对于，由题意可以得到平面a、B互相垂直，如图（1）所示，故正确;对于，平面a、B可能 垂直，如图所示，故不正确;对于，平面a、B可能垂直，如图所示，故不正确对于，由题意可以得 到直线m n互相垂直，如图所示，故正确.方法 构造模型判断空间中的线面位置关系长方体的妙用【答案】1.（2017 福建四校联考）设A BC、D是空间四个不同的

21、点，下列命题中，不正确的是（）.A若AC与BD共面，则AD与BC共面B.若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线C 若AB=A(DB=DCU AD1 BCD 若AB=A(DB=DCU AD=BC【解析】A 显然正确;B 正确,因为若AD与BC共面,则必有AC与BD共面，由原命题与其逆否命题同真同假 可判断；C正确，用平面几何与立体几何的知识都可证明;D 不正确，如图所示.故选D.【答案】D2. （2017 太原二模）已知平面a/B，且a与B的距离为d（d0）.若m?a，则在B内与直线m平行的直线共 有（）.A 0 条B. 1 条C.2 条D.无数条【解析】因为平面a/B，且a与B的距离为

22、d（d0），n?a，所以在B内与直线m平行的直线是过直 线m与平面B相交的平面得到的交线，而距离m为 2d的直线有两条，故在B内与直线m的距离为 2d的直线 共有 2 条.故选 C【答案】C3.（2017 无极县校级期中）如果直线a/平面a，那么直线a与平面a内的（）.mEI)A. 条直线不相交B.两条直线不相交C.无数条直线不相交D.任意一条直线不相交【解析】直线a/平面a,直线a与平面a没有公共点，从而直线a与平面a内任意一条直线都没 有公共点，即不相交，故选D.【答案】D4.（2017 年江西八校联考）已知mn为异面直线，讯平面a,n丄平面3.直线I满足I丄ml丄n，l?a，i?p，则（

23、 ）.A.a B且 I/aB.a丄B且 I 丄BCa与B相交,且交线垂直于IDa与B相交,且交线平行于I【解析】由 ml 平面a，直线I满足I丄m且I?a所以I/a又n丄平面B,1丄n,l?B，所以I/B.由直 线mn为异面直线，且ml平面a,n丄平面B，则a与B相交，否则，若a/B，则推出 m/n,与mn异面矛盾.故a与B相交,且交线平行于I.故选 D【答案】D5.（2017 天津学业考试）如图,长方体ABCD-A1GD中,AA=2AB=2BC2则异面直线AB与AD所成角的余弦值为 ( ).A B.-C.D -【解析】连接BC,AC,则AD/ BC,./ABC为异面直线AB与AD所成的角或其

24、补角.在长方体ABCD-AiCD中，丁AA=2AB=2BC2.AIB=B&一,AC=一 在厶ABG中,由余弦定理得 cos /AB _=.故选D.【答案】D6.(2017 西宁模拟)如图,四棱锥P-ABC啲底面是一个正方形，PAL平面ABCPA=AB=E是棱PA的中点，则异面 直线BE与AC所成角的余弦值是().A.一B一C二D二【解析】以A为原点,AB为x轴,AD为y轴,AP为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(2,0,0),日0,0,1),A(0,0,0),C(2,2,0),=(-2,0,1),=(2,2,0),设异面直线BE与AC所成的角为0,_则cos0=- = _ _=

25、.故选B【答案】B7.(2017 武邑县校级模拟)正四面体ABC曲,M是棱AD的中点O是点A在底面BCD内的射影，则异面直线BM与AO所成角的余弦值为().A- B - C.- D.-【解析】取BC的中点EDC的中点F,连接DE BF,则由题意得DEH BF=(取OD勺中点N,连接MN则MMAO：/BMN是异面直线BM与AC所成的角(或所成角的补角).设正四面体ABC的棱长为 2,由BM=DE = ,OD=DE,.AO=-= -,二MNAO=由AOL平面BCCMMAO得MNL平面BCD,cos /BMNdj=_,异面直线BM与AC所成角的余弦值为一.故选 B【答案】B8. （2017 东胜区校

26、级模拟）设有两条直线mn和三个平面a,3，丫，给出下面四个命题:aQ 3=mn/n?n/ a,n/ 3:“丄3,ml3,n?a?nV/aa/3,n?a?m/3a丄3,仏丄丫 ?3Y.其中命题正确的是.【解析】aQ3=mn/m不能得出n/la,n/3，因为n可能在a或3内，故错误;a丄3,mL3,n?a, 根据线面平行的判定定理可得m/a，故正确;a/3,n?a，根据面面平行的性质定理可得m/3,故正确;a丄3,a丄Y,则Y与3可能平行也可能相交，故错误.【答案】9. （2017 河南二模）如图,GH,MN分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示GhMN是异面直线的图形的序号为_.【解析】异面

27、直线的判定定理：经过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直 线.根据异面直线的判定定理可知：在图中，直线GH MN是异面直线.在图中，由G M均为棱的中点，可知GH/ MN.在图中，TG、M均为棱的中点，四边形GMN为梯形，则GH MN相交.【答案】10.（2017 烟台一模）若a,3是两个不同的平面，mn是两条不同的直线，则下列结论错误的是（）.A.如果m n,a/3，那么m与a所成的角和n与3所成的角相等B.如果 mln,mLa,n/3，那么a丄3C 如果a/3,n?a，那么 m/3D.如果m山a,n/a，那么 mln【解析】如果m/ n,a/B，那么mn与a所成的角和

28、mn与B所成的角均相等，故 A 正确;如果mln,ml a,n/ B，不能得出a IB，故 B 错误;如果a/ B,m?a，那么m与B无交点则mB，故 C 正确；如果n/a，那么存在直线I?a，使n/1.由 mLa,可得mll，那么mln,故 D 正确.故选 B.【答案】B11. （2017 南昌模拟）设四面体的六条棱的长分别为 1,1,1,1, 一和a,且长为a的棱与长为 一的棱异面 则a的取值范围是（）.A.（0,一）B.（0, -） C （1, -） D.（1,一）【解析】设四面体的底面是BCDBC=ED=CD顶点为AAD=.在厶BCD中，由两边之和大于第三边可得 0a2.取BC中点E：

29、E是中点，Rt AC降 Rt DCE在厶AED中 ,AE=ED= -.两边之和大于第三边，._2-，解得 ovav -由得0a.故选A【答案】A12.（2017 湖北模拟）已知在四面体ABC叩,E,F分别是ACBD的中点，若AB=2,CD=,EFlAB则EF与CD所成的角的大小为（）.A 30B.45 C 60D. 90【解析】设G为AD的中点，连接GFGE则GFGE分别为ABM ACD勺中位线.由此可得，GF/ AB且GF=AB=,GECD且GE=CD=, / GEF或其补角即为EF与CC所成的角又EHABGF/ AB 二 EHGF.Rt EFG中 ,GF=,GE=,/GEF30 . /.

30、EF与CC所成的角的大小为 30 ,故选 A.【答案】A13.（2017 惠州期末）如图，下列四个正方体中,A B为正方体的两个顶点，M N、P分别为其所在棱的中点，能得 出AB/平面MNP勺图形的序号是（）.AB.CD.【解析】对于,由平面ADBC平面MNPI出直线AB/平面MNP对于，直线AB和平面MN不平行；对于，过点M易找到与AB平行的直线，得出AB与平面MNP目交；对于，直线AB与平面MN内的一条直线NP平行,且直线AE?平面MNP：直线AB/平面MNP.综上，能得出直线AB/平面MNP勺图形的序号是.【答案】D14.（2017 海南模拟）在正方体ABCD-AiCD中,E,F分别为棱

31、AA,CC的中点，则在空间中与三条直线AD,EFCD都相交的直线有_ 条.【解析】在EF上任意取一点M如图所示.直线AD与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有 1 个交点N当M取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N而直线MN与这三条异面直线都有交点.故在空间中与三条直线AD,EFCD都相交的直线有无数条【答案】无数15.(2017 延边州模拟)如图,在三棱柱ABC-ABC中,ABC为正三角形，侧棱垂直底面，AB=4,AA=6 若E,F分别是 棱BB,CC上的点，且BE=EECF=CC求异面直线AE与AF所成角的余弦值.【解析】以C为原点，CA为x轴,在平面ABC中，过点C且垂

32、直AC的直线为y轴,CC为z轴,建立空间直角 坐标系，如图所示.在三棱柱ABC-ABG中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，AB=4,AA=6,EF分别是棱BB,CC上的点，且BE=EECF=CC,Ai(4,0,6),日 2,2 ,3),F(0,0,4),A( 4,0,0),=(-2,2_,-3),=(-4,0,4),设异面直线A1E与AF所成的角为9,则 cos9=- =一.异面直线AE与AF所成角的余弦值为.13 2直线、平面平行的判定与性质直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言刿罡平面外平行，则该直线平行于此平面a?a,b?a,a/b ? a/aft:质罡一条直线和一个平

33、面 平行，则过这条直线的 任一个平面与此平面 的 与该直线 平行l/ a,l ?B,aAp=b ? l/b平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条_ 与另一个平面平行，则这两个平面平 行Z7匚a/B, b/B,aAb=P,a?a,b?a?a/B性质定理两个平面平行,则其 中一个平面内的直 线于另一个平面a/B,a?a? a/B如果两个平行平面 同时和第三个平面 相交，那么它们的_ 平行a/B，/r?左学右考1判断下列结论是否正确，正确的在括号内画“V”，错误的画“X”.（1）若一条直线和平面内一条直线平行，则这条直线和这个平面平行.（）（2）如果一个平

34、面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（）（3）如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.（）2若两条直线都与一个平面平行，则这两条直线的位置关系是（）.A平行B. 相交C 异面D. 以上均有可能3设a，B是两个不同的平面，口是直线且m?a.“nV/ B”是“a/B”的（）.A充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件知识清单一、 一条直线与此平面内的一条直线交线二、 相交直线平行交线 基础训练1. 解析】(1)错，也可能在平面内；(2)错，应该是两条相交直线，否则未必成立；(3)正确.【答案】(1)X(2)X(3)V2.解析】

35、平行、相交、异面都有可能.故选 D.答案】D3.解析】满足面面平行的性质定理但不满足面面平行的判定定理，故是必要不充分条件.故选 B.答案】B圧关键能力题型一直线与平面平行的判定例 1】如图所示，斜三棱柱ABC-ABG中，点DD分别为ACAG的中点.(1)证明：AD/平面BDC证明:BD/平面ABD.解析】(1)T AC AQ,DD分别是ASG的中点， AD CD,：四边形ADCD是平行四边形， AD/ DC,又AD?平面BDCDC?平面BDC AD/平面BDC连接DD：四边形ACCi是平行四边形，DD分别是ACAG的中点，二 DD AA又AA BB,. DD BB,四边形DBED是平行四边形

36、，.BiD/BD又BD?平面ABDBD?平面ABD,： BD/平面ABD.证明线面平行应在平面内找一条直线与平面外的那条直线平行 平行四边形.【变式训练 1】如图，四棱锥P-ABC呼，四边形ABCD矩形,E为PD的中点.证明：PB/平面AEC.【解析】连接BD交AC于点O连接EO.因为四边形ABCD为矩形所以O为BD的中点.又E为PD的中点所以EO/ PB.因为ECP 平面AECPE?平面AEC所以PB/平面AEC.题型二直线与平面平行的性质，而在平面内找直线时常借助中位线【例 2】如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABC外卜的一点，在四棱锥P-ABC中,皿是PC的 中点，在DM

37、k取一点G过点G和AP作平面交平面BDM于GH求证:AP/ GH.【解析】连接AC交BD于O,连接M0因为四边形ABCD是平行四边形，所以0是AC的中点又因为M是PC的中点，所以MO PA.又因为M0平面BDIA?平面BDM所以PA/平面BDM.又因为经过PA与点G的平面交平面BDMF GH所以AP/ GH.证明线线平行常需转化为线面平行，再由线面平行的性质定理得岀【变式训练 2】如图，四棱锥P-ABCD勺底面是边长为 8 的正方形，四条侧棱长均为 2，点GEF,H分别是棱PBABCDPC上共面的四点，平面GEFH平面ABCIBC/平面GEFH.(1)证明:GH/ EF.若EB2,求四边形GE

38、FH勺面积.【解析】(I)： B/ 平面GEF!平面GEFH1 平面ABCD=EBC?平面ABCBC EF,/ EF?平面PBCBC?平面PBC. EF平面PBC.平面GEF押平面PBC=GH EF GH.故四边形GEFH勺面积S=(GH+EF平面EGtHEn GH=H所以BCL平面EGH.又BC?平面BCI所以平面BCD平面EGH.证明面面垂直的核心是证明线面垂直，而证明线面垂直则需要借助证明线线垂直若 AC=BCt证：PAL平面MNC.【解析】(1)因为MN分别为ABPA的中点 所以MMPB.又因为MN平面MN,(PB?平面MN,(所以PB/平面MNC.(2)因为PAL PBM/PB所以P

39、AL MN.因为AC=B(AM=B所以CML AB.因为平面PABL平面ABCCIM平面ABC平面PABH平面ABC=A所以CML平面PAB.因为PA?平面PAB所以CMLPA.又M2 CM=|所以PAL平面MNC.方法垂直中的探索性问题求条件探索性问题的主要途径：先猜后证，即先观察并尝试给岀猜想再证明；先通过命题成立的必要 条件探索岀命题成立的条件，再证明充分性.【突破训练】如图所示，平面ABCL平面BCIE 四边形ABC为矩形，BC=CJE F为CE的中点.(1) 证明:AE/平面BDF.(2) 点M为CD上任意一点，在线段AE上是否存在点P,使得PMLBE?若存在，确定点P的位置，并加以

40、证明 若不存在请说明理由.【解析】 连接AC交BD于点O连接OF如图.四边形ABCD是矩形,.O为AC的中点,又F为EC的中点，二 0为厶ACE勺中位线, OF/ AE又OF?平面BDFAE?平面BDFAE/平面BDF.当P为AE的中点时，有PML BE证明如下：取BE的中点H连接DPPHCHTP为AE的中点，日为BE的中点， PH/ AB又AB/ CD：PH CDP,HC,D四点共面.平面ABCCL平面BCE平面ABCD平面BCE=BC CD?平面ABCDCDL BCCDL平面BCE又BR平面BCE：CDL BE/BC=C,H为BE的中点, CHLBE又CD CH=C. BL平面DPHC又P

41、M?平面DPHC. BLPM即PMLBE.赢昙鼻鼻恳忑.稲练案.1.(2017 明山区校级考试)如图，在三棱柱ABC-ABC中,CG丄底面ABCACL CB点M和N分别是BC和BC的中点.求证：(1)MB/平面ACN.(2)ACL MB.【解析】在三棱柱ABC-ABC中,因为点MN分别是BCi,BC勺中点，所以GM/ BNCM=BN所以四边形MCNB为平行四边形.所以CN MB.因为CN?平面ACNM战平面AGN,所以MB/平面ACN.(2)因为CC丄底面ABC所以AC1CG.因为ACL BCB8 CC=C所以ACL平面BCCB.因为M平面BCCi所以ACLMB.2.(2017 葫芦岛月考)如

42、图，在四棱锥P-ABCD中,PAX底面ABCtXABC=0 ,PA=AB=BACLCDEF分别是PCAC的中点.证明：(1)BF/平面PCD(2)AEL平面PCD.【解析】(1)TAB=BC是AC的中点，二 BLAC又ACLCD：BF/ CD又BF?平面PCDCD平面PCD：BF/平面PCD.(2)v/ABC=0 ,AB=BCABC是等边三角形，二 AC=AB又PA=ABPA=/A又E是PC的中点, AXPC./ PAL底面ABCDCD?平面ABCDPAL CD又CDL ACPAH AC=ACDL平面PAC又AE?平面PACA AE CD又CD?平面PCPC?平面PCtPCTCD=C AE1平

43、面PCD.3.（2017 七里河区校级期中）如图，在三棱锥V-ABC中,平面VAM平面AB3 VAB为等边三角形,AC1 BC且AC=BM分别为ABVA的中点.（1）求证:VB/平面MOC.求证:平面MOC平面VAB.【解析】（1）因为QM分别为ABVA的中点所以OM VB.又因为VB?平面MQ（OM平面MO,（所以VB/平面MQC.因为AC=BQ为AB的中点，所以QCL AB.又因为平面VABL平面ABC平面VABH平面ABC=A，且QC?平面ABC所以OCL平面VAB又QC?平面MQ所以平面MQC平面VAB.4.（2017 南阳模拟）如图，在三棱柱ABC-ABC中,侧棱垂直底面，/ACB=

44、0 ,AC=BCAA,D是棱AA的中点.证明: 平面BDB平面BDC.【解析】由题意知BCL CC,BCL ACCCQAC=C BCL平面ACCA1,又DC?平面ACCA, DC丄BC.由题设知 /ADC=/ADC45，/CDC=90 ,即DC丄DC又DCTBC=CDC平面BD（又DC?平面BDC平面BDCL平面BDC.Br5.(2015 年江苏卷)如图，在直三棱柱ABC-ABG中，已知AC1 BCBC=G(设AB的中点为DBCQBC=E.求证:(1)DE/平面AACC(2)BC丄AB.【解析】(1 )由题意知 上为BC的中点，D为AB的中点，因此DE AC.因为D总平面AAGCAC?平面AAGC所以DE/平面AACC.(2)因为三棱柱ABC-ABC是直三棱柱，所以CC