【2020年高考必备】衡水独家秘籍之高中期末复习专题一集合的基本关系与运算

1、衡水独家秘籍之2019高中期末复习专题一集合的基本关系与运算【方法综述】一、 子集一一集合问题的核心一般地，对于两个集合 A 与 B,如果集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 中的元素，我们 就说集合 A包含于集合 B，或集合 B 包含集合A.记作：A? B 或 B? A.当集合 A 不包含于集 合 B,或集合 B 不包含集合 A 时，则记作 A B 或 B?A.例 1 设集合 A = x|x2 3x+ 2= 0 , B= x|(x a) (x2 1) = 0，当 a 为何值时，A? B?分析 集合 A, B 都是用“描述法”表示的方程的解集，为了比较 A 和 B 的关系，先考虑将 A 和

2、B 进行化简.解 易得集合 A = 1,2 .当 a = 1 或 a = 1 时，B = 1,1，此时 A B;当 a丰1 且 a 1时，B= 1,1, a.要使 A? B，则 a= 2.故当 a= 2 时，A? B.二、 交集一一两集合间的“且运算”由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素所组成的集合， 叫做集合 A 与 B 的交集， 记为 AAB, 即 AAB=x|x A，且 x B，其中关键词为“且”.例 2 设全集 U = Z Z,集合 A = 1,0,1,2 , B = x|x2 x= 0，则 AA(?uB)=_.分析 先求出集合 B,再按集合相关运算法则求解.解析 因为 B =

3、x|x2 x= 0 = 0,1,所以 AA(?uB)= 1,2.答案 1,2三、 并集一一两集合间的“或运算”由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，叫做集合 A 与集合 B 的并集，记为AUB，即 AUB = x|x A 或 x B，其中关键词为“或”.例 3 若全集 U = R R，集合 A = x| 1vxv2 , B= x|x= y+ 1, y A，求 AUB.分析 欲求 AUB,先对 B 进行化简.解 因为 y A，即1vyv2,且 x= y+ 1,所以 0vxv3，即 B= x|0vxv3.所以 AUB= x| 1vxv3.四、 补集一一全集对子集的“差运算”一般地

4、，设 U 是一个集合，A 是 U 的一个子集，即 A? U，由 U 中所有不属于 A 的元素组成的集合，叫做子集A 在全集 U 中的补集，记为？uA，即？uA = x|x U 且 x?A，可以理解为全集对子集的差集.例 4 设全集 U = 2,9 , a2+ 2a 3，集合 A= |2a 1|,2，且？uA = 5,求实数 a 的值.解 因为 U = 2,9 , a2+ 2a 3 , ?uA=,所以 a2+ 2a 3 = 5.解得 a = 2 或 a= 4.若 a= 2，贝 U U = 2,9,5 , A = 2,3，不合题意；若 a= 4,则 U = 2,9,5 , A= 2,9，符合题意.

5、故 a= 4.五、等集一一一个集合的两种表示例 5 已知集合 M = 2 , a, b与集合 N= 2a,2, b2是同一个集合，求 a、b. 分析 此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的性质建立关系式.解 两个集合为同一个集合，则这两个集合的元素完全相同且与元素的顺序无关，于是a= 2a,a = b2,2或 fb= bb =2a.a= J，或又当 a= 0, b = 0 时，不满足互异性，应该舍去.评注解决集合相等的问题，易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验和修正.六、集合中学科思想-数形结合数形结合思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象

6、思维结合，通过对图形的认识、数形结合的转化，可以培养思维的灵活性、形象性，使问题化难 为易、化抽象为具体.通过“形”往往可以解决用“数”很难解决的问题.集合中常用的方法是数轴法和 Venn 图法.例 5 已知全集为 U, U= a|a N N+且 a 9，且(?uA)QB= 1,9 , AAB= 2 , (?uA)Q(?uB) =4,6,8，试确定集合 A, B.分析 若能将题设条件中所给出的各个集合中的元素，都能在Venn 图上表示出来，那么所要确定的集合 A, B 中的元素，将会从 Venn 图上一目了然地得出.解将已知条件中的集合解之，得a = 0,因此*b= 1U = a|a N N+

7、且 a 9 = 1,2,3,4,5,6,7,8,9,(?uA)QB=1,9,AAB=2,(?uA)Q(?uB) = 4,6,8，在 Venn 图上表示出来，如图所示.由 Venn 图可以直观地得出A= 2,3,5,7,B= 1,2,9.例 7 已知集合 A= x|x 1 , B= x|2axa+ 1, a1 , B? A,求实数 a 的取值范 围.解 / a1 , 2a 1 或 a + K 1,1即 a一或 a 2.2又 a1，实数 a 的取值范围是(一I2U1 1 .集合问题大都比较抽象，解题时要尽可能借助Venn 图、数轴等工具利用数形结合思想将抽象问题直观化、形象化、明朗化，从而使问题获

8、解.【针对训练】1.设全集A.B【答案】A【解析】故选.2.已知集合A.B .C【答案】C，集合，则()C .D .，则()D .A.【答案】A【解析】 因为 所以 解得5.记全集U1,2,3,4,5,6,7,81,2,3,5b,4,6?，则图中阴影部分所表示的A. 4,6,7,8治.吩C.7,8：fD. 1,2,3,4,5,6?【答案】C【解析】由韦恩图可知，图中阴影部分可表示为Cu（A B）.且A _ B =1,2,3,4,5,6,所以Cu（A _ B）.二7,8.故选C.6.满足条件 3 ；二A二：a,b,cf的所有集合 A 的个数是（）A1 个 B 、2 个 C 、3 个 D 、4 个

9、【解析】集合故选 C.3.已知集合 A,B=,则nB=A.【答案】A【解析】,所以 B 集合与 A 集合的交集为，故选 A4.已知集合，若，则的值为集合是（）【答案】D【解析】满足题意的集合 A 可以为fa, Ca,bmcLa,b,c?，共 4 个7.已知集合8 - （-1,1,4满足条件M B的集合 M 的个数为（）A. 3 B . 6 C . 7 D . 8【答案】C【解析】由题意可知集合 M 是集合 B 的非空子集，集合 B 中有 3 个元素，因此非空子集有 7 个&给出下列说法：空集没有子集；任何一个集合必有两个或两个以上的子集；集是任何一个集合的真子集；若空集是集合A 的真子集，则 A 一定不是空集。其中正确的有（）A. 0 个B . 1 个 C . 2 个 D . 3 个【答案】B【解析】中空集是空集的子集；空集的子集只有一个；空集是非空集合的真子集；正确9. 设集合 A=x1cxc2, Bxxca，若 A 匸 B,则a的取值范围是（）A. B .a兰1C.D. a a兰2【答案】A【解析】若 A5B,贝y