《光学信息处理》课件：2.1平面波的角谱理论(1)

1、平面波角谱的物理意义平面波角谱的传播菲涅尔衍射夫琅和费衍射第二章第二章 标量衍射理论标量衍射理论1投射到x,y平面上任意光场频谱U( , , )U( , ,0)U( , )x y zx yx yU( , )( , )exp 2 ()(2.2.1)x yA u viuxvy dudv cos,cosvu根据coscoscoscoscoscosU( , )(,)exp2 ()()x yAixydd （）2注意：注意：1、 透过平面向透过平面向Z方向传播的波，可以用不同方向的波展开。方向传播的波，可以用不同方向的波展开。2、 复振幅的分布的空间频率正比于复振幅的分布的空间频率正比于3、低频分量对应于

2、与主轴夹角不大的平面波分量、低频分量对应于与主轴夹角不大的平面波分量 高频分量对应于与主轴夹角较大的平面波分量高频分量对应于与主轴夹角较大的平面波分量4、不同方向的平面波的权重函数、不同方向的平面波的权重函数A(cos / , cos / )称为称为U(x,y)的角谱的角谱coscos或coscosU( , )(,)x yA即coscoscoscos(,)U( , )exp2 ()Ax yixydxdy coscoscoscoscoscosU( , )(,)exp2 ()()x yAixydd （）3目的：找到z=0平面上的角谱和zz平面上角谱之间的关系从不含时间变量的 标量波动方程出发讨论?

3、coscoscoscos(,0)(, )AAz 即x0zxy( , , )U x y z( , , )U x y o42:0)(2222222222kkzyxk拉普拉斯算符必须满足电磁场复振幅n将将U(x,y,z)代入方程，求解代入方程，求解电磁场的亥姆霍兹方程电磁场的亥姆霍兹方程(Helmholtz Equation):5coscos(,; )Az满足微分方程222coscos() (,; )0zdkAzdz2221 (coscos)zk其中22221 (coscos)2cos1 (coscos)zkk6一个很重要的结果，给出了两个平行平面之间的角谱传播的规律2.2.4coscosU( ,

4、,0)(,0)coscos(, )U( , , )IFTx yAAzx y z 公式0coscoscoscos(,; )(,)exp()zAzAik z解为：220coscos2(,)exp1(coscos)(2.2.4)zAi72222(1)1( )( )zz2exp(1 coscos)abPzzj当传播方向余弦满足coscos时，振幅不变只改变各角谱分量的相对相位位相的变化与平面波分量的传播方向直接有关，传播方向与 轴夹角越大（方向余弦较大），位相延迟越小。如右图示与 轴夹角大的平面波分量较夹角小的先到达 点经过距离 传播只改变了各角谱分量的相对相位频域内等价于乘以一个相位因子，等价于空间

5、滤波82222(2)1coscoscoscos2(, )(,)expcoscos1coscos(,)exp(2.2.5)zAzAAz当coscos时，表明一个随表明一个随z增大迅速衰减的波，称为倏逝波增大迅速衰减的波，称为倏逝波(隐失波隐失波)，在几个波长距离内很快衰减到，在几个波长距离内很快衰减到0。在满足标量衍射理论近似条件下忽略不计。在满足标量衍射理论近似条件下忽略不计。只有在很接近于只有在很接近于xy平面的一个薄层内，是近场平面的一个薄层内，是近场光学讨论的问题光学讨论的问题922(3)cos1z当cos时，相当于平面波的传播方向与 轴垂直光场对角谱传播没有贡献02204AU( , ,

6、 ),coscos2U, ,(,) exp(1 coscos)coscoscoscosexp 2 () () ()( , , )x y zzx y zAjjxy ddx y z（ ）若用表示的初始角谱 则（）揭示了观测点的光场与初始角度之间的关系10220coscoscoscos2(,z)(,)exp1 (coscos)(2.2.4)zAAi0( , ,z)( , )( , )H( , )(2.2.7)AAA 220A( , ,z)A( , )2H( , )exp1 ()()(2.2.8)A( , ,0)A ( , )zi 系统频域效应的传递函数表示为：系统频域效应的传递函数表示为：11忽略倏

7、逝波，得2222221exp1 ()()H( , )(2.2.9)0zi 222222222exp1 ()()circ()2exp1 ()()circ(coscos)zizi 12几何投影区：光场分布与孔径形状相同菲涅耳衍射区衍射图中心产生明暗变化夫琅禾费衍射区相对强度不变、尺寸与距离成正比，幅度降低13220coscoscoscos2(, )(,)exp1(coscos)zAzAi2222222,uv 令coscos，即 则由泰勒展开2222222211(coscos)1()1()2uvuv 取一次近似：220coscos(, )( , ; )( , )exp( 2/ )exp()AzA u

8、 v zA u viziz uv1422( , )exp( 2/ )exp()H u viziz uvExp(i2z/)恒定的相位延迟延迟所有在两个离开一段法向距离Z的平面之间的平面波Exp-i2z(u2+v2)不同方向行进的平面波所遭受的不同相位延迟15空域信号的传播220coscos(, )( , ; )( , )exp( 2/ )exp()AzA u v zA u viziz uv22022012()U( , , )exp()( , ) exp12exp()U ( , )exp()()/(2.3.14)izixyx y zUx yi zzizixyz d di z zyxizivuzi/

9、 )(exp1)(exp2222( , ; )U( , , )A u v zx y z22012()U( , , )exp()U ( , ) exp(2.3.13)izixyx y zx yi zz相应的空域信号的传播则为相应的空域信号的传播则为：161836年发现在光学和电子显微镜等方面应用定义当单色平面波垂直照明一个具有周期性透过率函数的图片时，在该透明片某些距离上出现该周期函数的像（证明：参考信息光学45页）莫尔条纹干涉计量17夫琅和费衍射近似条件夫琅和费衍射/ )(22z22012( , , )exp()( , )exp()()/izU x y zUixyz d di z 22012(

10、)exp()exp( , )exp2izixyxyUid di zzz 22012()exp()exp(,)(2.3.20),izixyxyxyUuvi zzzzzz0(,)AxyUzzz18说明夫琅和费衍射实际上是孔径光场的傅立叶变换在(u=x/(z)， v=y/(z)的值远场衍射具有傅立叶变换的性质。与菲涅尔衍射相似，具有总体相位延迟，振幅衰减及位相色散。1934020,632.8,40.10.550110.74.96250.793130anmaaammzmmzmmmmzmmzmmmzmzmmzz单狭缝宽度为由氦氖激光器照明，则菲涅尔衍射近似条件为夫琅和费衍射近似条件为峰宽菲涅尔衍射区夫琅

11、和费衍射区20(20)Aperture孔径孔径),(yxi),(yxtp(x,y)透射波的角谱为入射波的角谱与光瞳函数角谱的卷积透射波的角谱为入射波的角谱与光瞳函数角谱的卷积外内光瞳函数01),(yxp( , )( , ) ( , )tix yx y p x y(,)(,)(,)tiAAP ( , )( , )( , )tAix ytx yx y孔径的振幅透射比函数：coscos( , )exp2 ()Pp x yixydxdy 21说明：titPAAPA孔径后的角谱是孔径前的角谱与孔径角谱的卷积当孔径无限大时，此时当孔径很小时， 展宽，此时展宽孔径对角谱的效应是使角谱展宽，且孔径越小，孔径后

12、的角谱越宽22coscoscoscos(,; )(,)exp()zAzAik z)(12exp),(22ziA如考虑到光瞳的作用，则公式改写为：如考虑到光瞳的作用，则公式改写为：22coscoscoscoscoscos(,; )(,; )(,)2exp1 (coscos)AzAzPzi这两个公式原则上可解决任何光波传播及这两个公式原则上可解决任何光波传播及衍射的问题。衍射的问题。角谱在自由空间的衍射公式角谱在自由空间的衍射公式23特例：孔径是单个单位振幅平面波照明时的情况:,.由此可得当孔径由平面波照明时孔径后的角谱就是孔径的傅立叶变换即孔径的傅立叶变换代表了一个衍射效应从空域看，孔径作用限制了入射波面的大小从频域看，展宽了入射光场的角谱ititAAA *P*PPAp解：单位振幅平面波：的傅立叶变换24例:假定由垂直入射的单位振幅的平面波照明,求下述衍射物的角谱.(1)直径为d的圆形孔径(2)直径为D的不透明圆盘解：（1）1F( )(2)/circ rJ21122122(2)()coscos22A(,0)=F()4( /2)2(cos/ )(cos/ ) )2(cos/ )(cos/