数学悖论选讲之5当前危机

1、三、当前危机：罗素悖论1. 理发师悖论在某村理发师宣布了这样一条原那么：他给所有不给自己刮胡子.的人刮胡子，并且只给 村里这样的人刮胡子。现在问：“理发师是否可 以给自己刮胡子？ 如果他给自己刮胡子，那么他就不符合他的原那么， 因此它不应该给自己刮胡子；而如果他不给自己刮胡子，那么按照原 那么他就该为自己刮胡子。这是著名数学家罗素为了阐述自己发现的集合论的悖论人称罗素悖论而创造的一个通俗版本。2. 罗素悖论其实軽悖论本身也不难理解：我们所见到的集合，大局部都不 属于其自身，也就是说不是他本身的元素这里请分别元素和子集的 概念。例如1,2,3不属于 它自身；三角形也不是三角 形的元素等等。但是也

2、有一些属于其本身的集合。例如 A=所有集合的集合,那么有A A 一种很奇怪的集合吧？。下面考虑那些所有 不属于自身的集合的全体组成的集合，设为S，那么S由一切不是自身元素的集合所组成。然后罗素问：S是否属于S呢？根据集合元素的 确定性数学上称为排中律，一个元素要么属于某个集合，要么不 属于。因此上述问题是有意义的，但是它的答复却陷入了两难。如果S属于S,根据S的定义S包含所有不属于自身的集合，S就不属于S ；反之，假设S不属于S，同样根据定义，S就属于S。一言以蔽之：S属于S,当且仅当S不属于S。3. 信仰危机罗素发现这个悖论后极为沮丧：“每天早晨,我面对一张白纸坐在 那儿，除了短暂的午餐，我

3、一整天都盯着那张纸。常常在夜幕降临之 际，仍是一片空白似乎我整个余生都很可能就消耗在这张白纸 上。让人更加烦恼的是，矛盾是平凡的。我的时间都花在这些似乎不 值得认真考虑的事情上另一位数学家弗雷格在接到罗素的信后惊愕之极，他在自己已 处于付印中的?算数的根本规律?第二卷连忙加的补遗中，写下了他 的伤心：一个科学家所遇到的最不合心意的事莫过于是在他的工作 即将结束时，其根底崩溃了。罗素先生的一封信正好把我置于这个境 地。还有一位数学家戴德金也因此推迟了他的?什么是数的本质和 作用?一书的再版。后来大概看到这个悖论的解决遥遥无期，书还是 出版了。盛悖论相当简明。而且所涉及的也只是集合论中最根本的方

4、面，以至于几乎没有什么可以辩驳的余地，这样就大大动摇了集合论 的根底。由于集合论概念已经渗透到众多的数学分支，并且实际上已经成了数学的根底，因此集合论中悖论的发现自然引起对数学整个基 本机构有效性的疑心。所以，业悖论一经提出就在当时的数学界与 逻辑学界引起了极大的震动。“绝对严密矢衣无缝的数学，有一次陷 入了自相矛盾语句大裂缝的危机之中。 原本已经平静的数学水面，因 罗素悖论这一巨石的投入,又激起了千重浪，令数学家们震惊之余有 些惊慌失措，导致了所谓的“第三次数学危机。并且直到今天，这一 悖论并未得到圆满的解决。是否像阿基里斯追龟一样要等上两千多年 呢？如果是那样的话，殛先生在数学史上的位置就

5、越来越重要了。同时也意味着，后来者每人都有很多时机成为数学名人堂的一员。 同 学们努力啊！4. 再次回眸下面我们将看看罗素悖论引发的一系列的通俗版本。图书管理员悖论：在古老的亚历山大图书馆里，勤劳的学者 卡里玛楚斯正在埋头编制目录,他要把所有的目录分成两大类。 第一 类专收“自身列入的目录也就是说一本目录中也有本目录自身的条 目。比方?悖论书目?里面就有它本身的条目。第二类是“自身不列 入的目录，翻开一本这样的目录，找不到它自己的条目。比方?名画 目录?这一本目录书中，就没有它自身的条目因为它不是名画书。 在第二大类的目录编纂结束时，卡里玛楚斯突然意识到一个大 难题：这部由所有“自身不列入的目

6、录装订成的目录书，我们姑且把 它叫做?“自身不列入的目录的总目录?它应该如何归类呢？如果不 列入，根据他的分类，贝S应该属于第二类，应该列入它自身的条目； 如果列入，根据他的分类，那么因该属于第一类，就不应该列入它自身。 所以：列入自身，当且仅当不列入自身。卡里玛楚斯难倒了，于是他 坐到书堆中间哭泣起来。这是瑞士数学家贡塞斯丄 1890-1975 提出 的。理查德悖论：这是一位法国中学教师理查德于 1905年发表的： 自然数又各种不同的性质，比方有的数能被2整除偶数 ，有的是 素数，有的是完全平方数等等。现在将自然数的性质编号，并表示为： ai, a?, a?,an，有的自然数n恰好具有性质a

7、n，把这样的自然数成为“非理 查德数否那么称为“理查德数。比方a4代表“能被2整除那么因为4 符合性质，那么4就是“非理查德数而5不能被2整除，它就是“非理查 德数这样，所有自然数就分成了“理查德数和“非理查德数两类。 考虑理查德数本身，它也是自然数的一种性质：“与对应的编号大代表 的性质不相符的自然数，我们可以把这个性质记为am，现在问题是： 自然数m是否是理查德数？容易发现，这一数是“理查德数当且仅当 它不是。无论如何都是矛盾。贝瑞悖论:贝瑞是英国图书馆的馆员,他在1906年把自己发现 的悖论告诉了罗素，同年罗素发表。贝瑞悖论可以看作是“理查德悖 论的一种深刻和天才的简化，所以有时也称它为理查德悖论。贝瑞悖 论的内容如下：容易知道每一个自然数都可用有限多个英文字母来描述。如，36可以描写为thirty-six 或oUr times nine 4乘9。出现重复的字 母时，出现几次就算几个字母。于是，36的第一种描述用了 9个字 母，第二种描述用了 13个字母。现在看一个由67个字母组成的英 文短语:he least positive integer