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1、精选优质文档-倾情为你奉上判别平行四边形的基本方法 如何判别一个四边形是平行四边形呢?下面举例予以说明.一、运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”判别A C 图2B C 图2C C 图2D C 图2O C 图2E C 图2F C 图2图1例1 如图1,在平行四边形ABCD中,E、F在对角线AC上,且AE=CF,试说明四边形DEBF是平行四边形.分析:由于已知条件与对角线有关,故考虑运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”进行判别.为此,需连接BD.解:连接BD交AC于点O. 因为四边形ABCD是平行四边形,所以AO=CO,BO=DO. 又AE=CF, 所以AO-AE=CO-CF,
2、即EO=FO. 所以四边形DEBF是平行四边形.二、运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”判别图2ABCDEF例2 如图2,是由九根完全一样的小木棒搭成的图形,请你指出图中所有的平行四边形,并说明理由.分析:设每根木棒的长为1个单位长度,则图中各四边形的边长便可求得,故应考虑运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”进行判别.解:设每根木棒的长为1个单位长度,则AF=BC=1,AB=FC=1,所以四边形ABCF是平行四边形.同样可知四边形FCDE、四边形ACDF都是平行四四边形.A图3CDEFB因为AE=DB=2,AB=DE=1,所以四边形ABDE也是平行四边形.三、运用“一组对边平行
3、且相等的四边形是平行四边形”判别例3 如图3,E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点,AE=CF,DF=BE,DFBE,试说明四边形ABCD是平行四边形.分析: 题目给出的条件都不能直接判别四边形ABCD是平行四边形,但仔细观察可知,由已知条件可得ADFCBE,由此就可得到判别平行四边形所需的“一组对边平行且相等” 的条件.解:因为DFBE,所以AFD=CEB.因为AE=CF,所以AE+EF=CF+EF,即AF=CE.又DF=BE,所以ADFCBE,所以AD=BC,DAF=BCE,所以ADBC.所以四边形ABCD是平行四边形.四、运用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”判别ABCDEF
4、图4132例4 如图4,在平行四边形ABCD中,DAB、BCD的平分线分别交BC、AD边于点E、F,则四边形AECF是平行四边形吗?为什么?分析:由平行四边形的性质易得AFEC,又题目中给出的是有关角的条件,借助角的条件可得到平行线,故本题应考虑运用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”进行判别.解:四边形AECF是平行四边形.理由:因为四边形ABCD是平行四边形,所以ADBC,DAB=BCD,所以AFEC.又因为1=DAB,2=BCD,所以1=2.因为ADBC,所以2=3,所以1=3,所以AECF.所以四边形AECF是平行四边形.判定平行四边形的五种方法平行四边形的判定方法有:(1)证两组
5、对边分别平行;(2)证两组对边分别相等;(3)证一组对边平行且相等;(4)证对角线互相平分;(5)证两组对角分别相等。下面以近几年的中考题为例说明如何证明四边形是平行四边形。AFBDCE图1一、 两组对边分别平行如图1,已知ABC是等边三角形,D、E分别在边BC、AC上,且CD=CE,连结DE并延长至点F,使EF=AE,连结AF、BE和CF(1)请在图中找出一对全等三角形,并加以证明;(2)判断四边形ABDF是怎样的四边形,并说明理由。解:(1)选证BDEFEC证明:ABC是等边三角形,BC=AC,ACD=60CD=CE,BD=AE,EDC是等边三角形DE=EC,CDE=DEC=60BDE=F
6、EC=120又EF=AE,BD=FE,BDEFEC(2)四边形ABDF是平行四边形理由:由(1)知,ABC、EDC、AEF都是等边三角形CDE=ABC=EFA=60ABDF,BDAF四边形ABDF是平行四边形。点评:当四边形两组对边分别被第三边所截,易证截得的同位角相等,内错角相等或同旁内角相等时,可证四边形的两组对边分别平行,从而四边形是平行四边形。二、 一组对边平行且相等例2 已知:如图2,在正方形ABCD中,G是CD上一点,延长BC到E,使CE=CG,连结BG并延长交DE于F(1)求证:BCGDCE; (2)将DCE绕点D顺时针旋转90得到DAE,判断四边形EBGD是什么特殊四边形?并说
7、明理由。分析:(2)由于ABCD是正方形,所以有ABDC,又通过旋转CE=AE已知CE=CG,所以EA=CG,这样就有BE=GD,可证EBGD是平行四边形。解:(1)ABCD是正方形,BCD=DCE=90又CG=CE,BCGDCE(2)DCE绕D顺时针旋转90得到DAE,CE=AE,CE=CG,CG=AE,四边形ABCD是正方形BEDG,AB=CDAB-AE=CD-CG,即BE=DG四边形DEBG是平行四边形点评:当四边形一组对边平行时,再证这组对边相等,即可得这个四边形是平行四边形三、 两组对边分别相等例3 如图3所示,在ABC中,分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边ABD,等边AC
8、E,等边BCF。求证:四边形DAEF是平行四边形;分析:利用证三角形全等可得四边形DAEF的两组对边分别相等,从而四边形DAEF是平行四边形。解:ABD和FBC都是等边三角形DBF+FBA=ABC+FBA=60DBF=ABC又BD=BA,BF=BC ABCDBFAC=DF=AE 同理ABCEFCAB=EF=AD四边形ADFE是平行四边形点评:题设中存在较多线段相等关系时,可证四边形的两组对边分别相等,从而可证四边形是平行四边形。四、 对角线互相平分例4已知:如图4,平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O,AEBD于E,BFAC于F,CGBD于G,DHAC于H,求证:四边形EFGH是平行四
9、边形。图4分析:因为题设条件是从四个顶点向对角线引垂线,这些条件与四边形EFGH的对角线有关,若能证出OE=OG,OF=OH,则问题可获得解决。证明:AEBD,CGBD,AEO=CGO,AOE=COG,OA=OCAOECOG,OE=OG同理BOFDOHOF=OH四边形EFGH是平行四边形点评:当已知条件与四边形两对角线有关时,可证两对角线互相平分,从而证四边形是平行四边形。五、 两组对角相等例5 将两块全等的含30角的三角尺如图1摆放在一起 四边形ABCD是平行四边形吗?理由 。(1)如图2,将RtBCD沿射线BD方向平移到RtB1C1D1的位置,四边形ABC1D1是平行四边形吗?说出你的结论
10、和理由: 。分析:因为题设与四边形内角有关,故考虑四边形的两组内角相等解决问题。解:(1)四边形ABCD是平行四边形,理由如下:ABC=ABD+DBC=30+90=120,ADC=ADB+CDB=90+30=120又A=60,C=60,ABC=ADC,A=C(2)四边形ABC1D1是平行四边形,理由如下:将RtBCD沿射线方向平移到RtB1C1D1的位置时,有RtC1BB1RtADD1C1BB1=AD1D,BC1B1=DAD1有C1BA=ABD+C1BB1=C1D1B1+AD1B=AD1C1,BC1D1=BC1B1+B1C1D1=D1AD+DAB=D1AB所以四边形ABC1D1是平行四边形=点
11、评:(2)也可这样证明:由(1)知ABCD是平行四边形,ABCD,将RtBCD沿射线BD方向平移到RtB1C1D1的位置时,始终有ABC1D1,故ABC1D1是平行四边形。判断平行四边形的策略在学习了“平行四边形”这部分内容后,对于平行四边形的判定问题,可从以下几个方面去考虑:一、考虑“对边”关系思路1:证明两组对边分别相等例1 如图1所示,在ABC中,ACB90,BC的垂直平分线DE交BC于D,交AB于E,F在DE上,并且AFCE.求证:四边形ACEF是平行四边形. 证明:DE是BC的垂直平分线,ABCDEF(图1)123DFBC,DB = DC.FDB = ACB = 90. DFAC .
12、CE = AE =AB.1 = 2 . 又EFAC,AF = CE = AE ,2 =1 =3 =F. ACEEFA. AC = EF .四边形ACEF是平行四边形. 思路2:证明两组对边分别平行例 2 已知:如图2,在ABC中,ABAC,E是AB的中点,D在BC上,延长ED到F,使ED = DF = EB. 连结FC.ABCDEF求证:四边形AEFC是平行四边形. 证明:ABAC,B =ACB.ED = EB,B =EDB.ACB =EDB. EFAC.E是AB的中点,BD = CD.EDB =FDC,ED = DF,EDBFDC. DEB =F.ABCF.四边形AEFC是平行四边形.思路3
13、:证明一组对边平行且相等例3 如图3,已知平行四边形ABCD中,E、F 分别是AB、CD上的点,AE = CF,M、N分别是DE、BF的中点.求证:四边形ENFM是平行四边形. 证明:四边形ABCD是平行四边形,AD = BC,A =C .ABCDEFMN3321又AE = CF,ADECBF.1 =2,DE = BF .M、N分别是DE、BF的中点,EM = FN .DCAB,3 =2.1 =3. EM FN .四边形ENFM是平行四边形.E14二、考虑“对角”关系 ABCD3思路:证明两组对角分别相等2例4 如图4,在正方形ABCD中,点E、F(图4)F分别是AD、BC的中点.求证:(1)
14、ABECDF;(2)四边形BFDE是平行四边形. 证明:(1)在正方形ABCD中,AB = CD,AD = BC,A =C =90,AE =AD,CF =BC,AE = CF. ABECDF.(2)由(1)ABECDF知,1 =2,3 =4. BED =DFB.在正方形ABCD中,ABC =ADC,EBF =EDF. 四边形BFDE是平行四边形.三、考虑“对角线”的关系 思路:证明两条对角线相互平分例5 如图5,在平行四边形ABCD中, P1、P2是对角线BD的三等分点.求证:四边形AP1CP2是平行四边形. ABCDOP1P2(图5)证明:连结AC交BD于O.四边形ABCD是平行四边形,OA
15、 = OC,OB = OD.BP1 = DP2 ,OP1 = OP2 .四边形AP1CP2是平行四边形.平行四边形的识别浅析平行四边形是初中数学中的基本图形,正确识别平行四边形,是进一步学习矩形、菱形和正方形的基础。识别平行四边形是利用边、角和对角线的特点,而且只需要两个条件,为了更加清楚哪些条件能或不能识别平行四边形,我们把这些条件总结如下。1利用定义或定理直接识别平行四边形1.1两组对边分别平行,如图1,ABCD,ADBC。1.2两组对边分别相等,如图1,AB=CD,AC=BC。1.3两组对角分别相等,如图1,ABC=ADC,BAD=BCD。1.4一组对边平行且相等,如图1,ABCD,AB
16、=CD。1.5两条对角线互相平分,如图1,OA=OC,OB=OD。2利用定义和定理间接识别平行四边形2.1一组对边平行且一组对角相等,如图1,ABCD,ABC=ADC。证明:ABCD ABC+BCD=180 又ABC=ADC ADCBCD180 ADBC 四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别平行)2.2一组对边平行且两条对角线交点平分一条对角线,如图1, ABCD,OA=OC。证明:ABCD BAC=DCA 在AOB和COD中,BAC=DCA,OA=OC,AOB=COD AOBCOD(ASA) AB=CD 四边形ABCD是平行四边形(一组对边平行且相等)2.3两组邻角互补,而且两组邻角要有
17、一个公共角,如图1,DAB+ABC=180,ABC+BCD=180。证明:DAB+ABC=180 ADBC 又ABC+BCD=180 ABCD 四边形ABCD是平行四边形(两组对边平行)3不能识别为平行四边形3.1两组不同的邻角互补,如图2,A+B=180, C+D=180,可以画出梯形。3.2识别平行四边形的条件涉及的边、角相等关系都是对边对角,涉及邻边邻角相等的都不能做为平行四边形识别的条件。两组邻边相等,如图3, AB=AD,CB=CD,不一定是平行四边形。两对邻角相等,如图4, A=D,B=C,可以画出等腰梯形。3.3一组对边平行且另一组对边相等,如图4,ADBC,AB=CD,也可以画
18、出等腰梯形。3.4一组对边相等,一组对角相等,不一定是平行四边形。反例作图方法,如图5:作ABC,在边BA上确定点A,在边BC上确定点C,过点A、B、C作O1,以点C为圆心,以线段AB长为半径作C,以AC为弦作O1的等圆O2,交C于D、E两点,则四边形ABCD为平行四边形,而四边形ABCE即为符合条件的非平行四边形,即AB=CE,ABC=AEC。3.5一组对边相等,对角线交点平分一条对角线,不一定是平行四边形。反例作图方法,如图6:作线段AB,过线段AB的中点O作直线CD,过点B作BECD,垂足为E,以点E为圆心,小于线段OE的长为半径作E,交CD于F、G两点,以点A为圆心,BF长为半径作A,
19、交直线CD于H、I两点,则四边形AGBH和四边形AFBI为平行四边形,而四边形AGBI和四边形AHBF即为符合条件的非平行四边形,如在四边形AGBI中,AI=BG,OA=OB。 说明一个四边形是平行四边形的思路山东 于秀坤平行四边形是最基本、最重要的一类特殊四边形如何说明一个四边形是平行四边形呢?要说明一个四边形是平行四边形,一般可以根据题目中所给的条件,分别通过下列的思路进行说明一、当已知条件出现在四边形的一组对边上时,考虑采用“两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形”或“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”例1 如图1,在ABC中,AD是角的平分线,DE/AC交AB于点E,EF/B
20、C交AC于点F,试说明AE=CF 图1分析:由AD是角的平分线,可知1=2,由DE/AC,可知2=3,所以1=3,即可得AE=ED,要说明AE=CF,可转化为说明ED=EC,因此,只需说明四边形EDCF是平行四边形就可以了解:因为1=2,2=3,所以1=3,所以AE=ED,又因为DE/AC,EF/BC,所以四边形EDCF是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)所以ED=CF,所以AE=CF二、当已知条件出现在四边形是对角上时,考虑“采用两组对角分别相等的四边形是平行四边形”例2 如图2,AE、CF分别是 ABCD 的内角DAB、BCD的平分线,试说明四边形AECF是平行四边形 图2
21、解:在 ABCD 中,因为DAB=BCD,又因为1=DAB,2=BCD,所以,1=2,因为AB/CD,所以3=1,4=2,所以3=4,所以5=6,所以四边形AECF是平行四边形三、当已知条件出现在四边形的对角线上时,考虑采用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”例3 如图3,在ABCD中,AC、BD相交于O,EF过O分别交AD、BC于E、F,GH过O分别AB、CD交于G、H试说明四边形EGFH是平行四边形图3解:在ABCD中,因为AB/CD,所以1=2,因为OA=OC,3=4,所以AOGCOH,所以OG=OH,同理OE=OF,所以四边形EGFH是平行四边形构造平行四边形解题山东 邹殿敏平行
22、四边形是一种特殊的四边形,它的对边平行且相等,对角相等,对角线互相平分许多几何问题可以通过添加辅助线,构造平行四边形加以解决一、求线段的长例如图1,在正ABC中,P为边AB上一点,Q为边AC上一点,且AP=CQ今量得A点与线段PQ的中点M之间的距离是19cm,则P点到C点的距离等于 cmB D CPAMQ图1分析:作QD/AB,交BC于点D,连接PD,MD由ABC为正三角形,易知BP=BD,AP=DQ,所以四边形APDQ为平行四边形所以AMD是平行四边形APDQ的对角线所以AD=2AM=219=38(cm)由ABDCBP可得PC=AD所以PC=38cmE B CA D图2二、证明线段相等问题例2 如图2,在梯形ABCD中,AD/BC,AB=CD,延长CB到E,使EB=AD,连接AE求证:AE=AC分析:连接BD由AD与BE平行且相等,易知四边形AEBD是平行四边形,所以BD=AE因为AC=BD,所以AE=AC三、证明线段和差问题例3 如图3,ABC中,D,F是AB边上两点,且AD=BF,作DE/BC,FG/BC,分别交AC于点E,G求证:DE+FG=BC分析:作G
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