沪教版九年级上册 244 平面向量的运算 讲义

1、主 题平面向量的运算教学内容学习目标：1理解实数与向量相乘的意义，会画实数与向量相乘所得的向量，会进行向量的线性运算和化简算式；2知道向量加法、实数与向量相乘的有关运算律；3知道平行向量定理，知道向量的线性表示和向量的分解的意义互动：（此环节设计时间在4050分钟）回顾上次课的预习思考内容向量的加法和减法的运算方法是什么？怎么表示的？平行四边形法则是怎么表示的？（任取两个向量，作图说明下）参考答案：向量的加法和减法的运算方法是三角形法则；如图所示：任取两个向量作图思考：我们知道，那么 ？ ？即几个相同的向量相加，是否能像几个相同的数相加一样呢？以上面问题作图说明一下。参考答案：；如图：作出，此

2、时，又由于与方向相同且故， 同理：类似的也可以有：注意：根据实数与向量相乘的意义画图后与学生共同归纳，,体会实数与向量相乘的几何表示，初步感受到实数与向量相乘的积是一个与原向量平行的向量知识点归纳：一般的，设为正整数，为向量，我们用表示个相加；用表示个相加又当为正整数时，表示与同向且长度为的向量.在此基础上规定向量的另一种新的运算，即实数与向量相乘的运算：为实数，为向量；如果，那么的长度；的方向：当时，与同方向；当时，与反方向。如果或，那么；根据实数与向量相乘的意义：练习： 如图，矩形ABCD中，E、M、F、N 是AB、DC 的三等分点，设试用向量表示向量.参考答案：；思考：如图，已知非零向量

3、，求作（1） （2）（3） （4） （5） （6）。观察、比较（1）与（2），（3）与（4），（5）与（6）的结果，你有什么发现？参考答案：图略；讨论：通过前面的发现，讨论总结一下实数与向量相乘运算的一般规律。注意引导实数变成一般字母的规律；同时注意让学生体会实数为负数同样成立的举例验证设为实数，为向量，则（1）实数与向量相乘的结合律：；（2）实数与向量相乘对于实数加法的分配律：；（3）实数与向量相乘对于向量加法的分配律：练习：1下面给出四个命题中不正确的是（ ）A对于实数和向量恒有：B对于实数、和向量，恒有C对于实数和向量，若，则有D对于实数和向量，若，则2计算：.3如果向量满足关系式，试用

4、向量表示向量.参考答案：1C 3思考：若是非零向量，那么向量与有什么位置关系？答案：若m为正数，则 与同向，； 若m为负数，则 与反向，思考：如图，在等腰梯形ABCD中，EF是梯形中位线，AD=2，BC=4，设,能将向量用向量表示出来吗？参考答案： 且结合图形可知与同向，与反向；又 备注：老师适当给出规范过程供学生模仿；讨论：已知是非零向量，如果，那么能用表示出来吗？答案：如果是非零向量，那么由可知 与同向或反向；设，得；当 与同向时，；当 与反向时， 如果，那么；平行向量定理：如果向量与非零向量平行，那么存在唯一实数m，使.练习：1设非零向量，满足，判断向量，是否平行？2已知，其中是非零向量

5、，判断向量，是否平行？参考答案：1平行； 2平行精选例题：（此环节设计时间在2030分钟）例题1：我们把长度为1的向量叫做单位向量，通常用符号表示，模长表示为：，则下列说法错误的是（ ）A. 有无数个 B. 不同的单位向量，它们的方向不同C. 设是非零向量，且，则 D. 设是非零向量，且，则参考答案：C 备注：重点强调单位向量的概念；试一试：若向量与单位向量的方向相同，且，则_（用表示）参考答案：例题2： 如图，已知两个不平行的向量先化简，再求作：（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）解：如图：则为所求备注：老师注意总结引出以下概念：1向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算

6、叫做向量的线性运算.2如果是两个不平行的向量，、是实数，那么叫做线性组合.例题3：如图，梯形中， /，、是、的中点，若，那么用、的线性组合表示向量 解： 备注：注意已知向量和所求向量的方向，要求学生习惯性在图中标出。试一试：在中，点 在边 上，, , ，那 参考答案：讨论：如图，给定两个不平行的向量，对于平面内任意一个向量，都可以确定它关于的分解式吗？ 参考答案：如图，在平面内取一点O，作 ，；再作直线OA、OB . 设点C 不在直线 OA和OB上，过点C分别作直线 OA、OB的平行线，由于向量不平行，可知所作两直线分别与直线OB、OA 有唯一的交点，记为N、M. 作向量、. 因为，所以存在唯

7、一的实数，使 ； 因为，所以存在唯一的实数，使 . 而四边形OMCN是平行四边形，因此即 如果点 C 在直线OA或 OB上，那么或 .这时得 或所以关于、 的分解式总是确定的.备注：平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解.用上面的方法画图，可以作出这个向量在给定的两个不平行向量的方向上的分向量.试一试：如图，平行四边形中，点、分别是边、的中点，设，（1）分别求向量、关于、的分解式；（2）作出向量分别在、方向上的分向量（画出图形，写出结论，不要求写作法）答案：(1) ； ； ； (2)作图略 课堂达标训练：此环节设计时间在30分钟左右（20分钟练习10分钟互动讲解）。1已知两

8、个不平行的向量，化简并求作：参考答案： ；图略2如图，在正方形网格中，每一个小正方形的边长都是1,已知向量和的起点、终点都是小正方形的顶点.请完成下列问题：（1）设，判断向量是否平行，说明理由；（2）在正方形网格中画出向量：，并写出的模（不需写出做法，只要写出哪个向量是所求向量）解：(1) (2) 图略 .3如图，已知，点A、G、B、C分别在和上， （1）求的值； （2）若，用向量与表示解：（1） (2) ， =4如图，在中，点是边的中点，. （1）求的长； （2）设，求向量（用向量、表示）. 解：（1）点D是边AB的中点，又公共 ，即， （2）点是边的中点， 课堂回顾：（此环节设计时间在510分钟内）让学生回顾本节课所学的重点知识，以学生自我总结为主，学科教师引导为辅，为本次课做一个总结回顾课后作业：【巩固练习】1如图，在中，点是重心， 设向量，那么向量 （结果用、表示）2已知是的重心，设，那么= （用、表示）3如图，梯形中， ，请用 向量表示向量 4在中，点 在边 上，, , ，则 =5如图，点E是平行四边形ABCD边BC上一点，且，点F是边CD的中点，AE与BF交于点O