高一数学竞赛训练题

1、高一数学竞赛训练题(一)1 .函数f (x) =3才孙、1 4 x -1的值域是2 .若a,b,c是三个互不相等的实数，且满足关系式22_2_2一. b +c =2a +16a+14,bc=a -4a -5 ,则 a 的取值范围是 一 一 11,3.右a, b是正实数，且 a+b=2,则+的取小值1 a 1 bxx4.已知0.8 <x <0.9,若将x,xx,xx按从小到大的顺序排列，应当是 x<xx <xx,5.o(,P是关于x的方程x2+2(m1)x + m2 4 =0的两个实根，设 y=c(2+P2,则y = f (m)的解析式是 , 值域是、一一 221、，一6

2、.万程x +log16x=0的解是;使不等式x -logm x <0在(0，3)上恒 成立的m的取值范围是22 .7 .若函数 f(x)=loga(x 2ax+1 2a )(a >0,a *1)在 R上的最大值是 2Ua=,f(x)的单调递增区间是 。8 .设x1，x2,x3是方程x3x+1 =0的三个根，贝U x；+x5 +x35的值为9 .函数f(x)=、：/一的值域为. . x 4x ,710 .函数f (x) =ln |x -1| -x +3的零点个数为()A. 0B. 1C. 2D. 311 .设 S =x2 +2xy +2y2 +2x +1,其中 x 乏 R, y W

3、R ,则 S 的最小值为()A. 1B.-1C.-3D.0412 .已知定义域为R的函数y = f(x)对任意xWR都满足条件 f(X +f(4-x> =0与f(x+2 f(x2) =0,则对函数y = f(x),下列结论中必定正确的是 .y=f(x)是奇函数； y = f(x)是偶函数；y = f(x)是周期函数； y =f(x)的图象是轴对称的.13 . y=f(x)是定义域为 R的函数，g(x) = f (x+1) + f (5-x),若函数y = g(x)有且仅有 4 个不同的零点，则这 4个零点之和为 .f (n)为偶数, f (n)为奇数,如果 f(1)+f(2) +f(3)

4、=29,则 f (1) =14 .已知函数y=f(n)满足：f(1)为正整数,f(n) f(n 1) =2 ,3f (n) 1,15 .设 f(x)=Og a (x -2a) +0g a(x3a),其中 a >0 且 a =1 .若在区间a+3, a+4上 f (x)E1恒 成立，求a的取值范围.16 .设函数f (x) =x2+bx-3 ,对于给定的实数b , f (x)在区间b2,b+2上有最大值 M (b) 和最小值 m(b),记 g(b) =M (b) -m(b).求g(b)的解析式；问b为何值时，g(b)有最小值？并求出g(b)的最小值.17 .定义在正实数集上的函数f (x)

5、满足下列条件：存在常数a (0 < a < 1),使得f (a) = 1 ；对任意实数m ,当xw R +时，有f(xm) =mf(x).求证：对于任意正数 x, y , f (xy) = f (x) + f (y);证明：f (x)在正实数集上单调递减；若不等式f (log：(4x)+2)-f (loga(4x)8 )M3恒成立，求实数a的取值范围.21.(-二,1 2. (一1，二)3.1 4.15. f(m)=2m -8m 125、m_2,4,二)8. -5 9.0, 10 D. 11B.12. 13. 8 14. 5616解：f (x) = |x+P I -3 -,抛物线开

6、口向上，其对称轴方程为x ,下面就对称242轴与区间b2 b十端点的相对位置分段讨论： .1 分当 0 <b <-时，b -2<-b <b +2且(b +2) -f-b 之一b -(b-2),32222此时 M (b) = f (b+2) =2b2 +6b+1 , m(b) =3- . g(b) =9 b2+6b+4 -7分 44当4Mb<0 时，b2MbMb+2且(b+2)-_bw-b一(b-2), 32222b29 2此时 M (b) = f (b 2) =2b2 6b+1 , m(b)=4. g(b) =b2 6b+4 .5 分 44当b>3时，-b&

7、lt;b2, f(x)在区间b2,b+2上递增， 32此时 M (b)= f(b + 2)=雷 +6b + 1 m(b) =f(b2) =2b26b+1 . g(b) =12b .7分当b<4时，bb + 2, f (x)在区间b2,b+2上递减， 32此时 M (b) = f (b 2) =2b2 6b+1 , m(b) = f (b+2) =2b2+6b+1 . g(b)=12b. 9分综上所得4-1 bb<2,39 214 /-b2 -6b +4, 一 <b <0;g(b)=«43 10 分9 24-b2 +6b +4, 0 <b <-;43

8、412b,b >-.L34 4一一八当 b 时，g(b) = -12b >g |=16; 11 分3. 3、“4 .一9 2一 ，当一 Wb<0 时， g(b)= -b 6b+4 递减，g(b)>g(0)=4;.13 分34当 0MbMf 时，g(b)=9b2+6b+4 递增，g(b)之 g(0)=4; 15 分3 44 .4当 b>-时， g(b) =12b >g .- =16. 16 分5 3综上所述，当b=0时，(b)min =4. 17分17证明：'：x,y均为正数，且 0<a<1 ,根据指数函数性质可知，总有实数m,n使得x =

9、 am, y = an ,于是 f (xy )= f (aman )= f (am+l )= (m + n )f (a )= m + n ,.？分又 f (x)+f (y)= f (am) +f (an) =mf (a) +nf (a) =m +n , f (xy) = f (x) + f (y). 5 分 证明：任设 x1, x2 w R t x1Ax2，可令 x1 = x2t(t a 1 ), t = aa(a <0) . .7 分则由知 f x1 - f x2 = f x2t - f x2 = f x2 厂 f t 一 f x2=f (t )= f (aa)=af (a )=a &

10、lt;0 , .9 分即f (Xi )<f卜2 ).二f(x)在正实数集上单调递减；. .10分解：令loga(4x)=t,原不等式化为f (t2+2)_f(8t)W3,其中t>0.i G-, f (x) f (y) =f (x) +f (y ) =f , 且 f =1(0 <a <D , yy) 62 + 2 2 o.不等式可进一步化为f -2 f< f (a3 ), .12分 .13 分., .15 分2又由于单调递减，r >a3对于t >0恒成立.8t且当t =亚时r 2、t2 +2、8t >min18tl.16 分25a 2 alx)g争

11、 7).18 分解 f(x)= l oagx2(- ax5 a26= ) ax 2a >0,得 x >3a,由题意知 a +3 >3a ,故 a ，从而(a+3)-步=3(a-2) > 0 , x -3a >0,2225a 2 a故函数g(x)=(x)在区间a+3, a+4上单倜递增.245 分(1)若0<a<1,则f(x)在区间a+3, a+4上单调递减，所以 f(x)在区间a+3,a + 4上的最大值为 f (a +3) =log a (2a2 _9a +9).在区间a+3, a+4上不等式f(x)41恒成立，等价于不等式log a (2a2 9a+9) £1成立，从而2a2 -9a -+9 之a , 解得 a 至57 或 a <57 .2 2结合0 <a <1得0 <a <1 .10 分3(2)右1 <a父，则f (x)在区间a+3, a+4上单倜递增，所以 f (x)在区间a+3, a+4上的 最大值为 f (a+4) =loga(2a2 12a+