数模期末论文

1、院 系： 数学与统计学学院 专 业： 统计学 年 级： 09 课程名称： 数学模型 学号姓名： 王妹 09063034 马雨 09063043 秦肖 09063027 授课教师： 杨薇娜 机械产品生产计划摘要本文主要采用多目标线性规划的方法解利润最大化问题,根据利润=总销售费用-总库存费用建立目标函数，根据题中所列条件分别建立约束条件，利用lingo软件编程求解，问题（1）（2）（3）同为一个模型，只是分析数据部分有所差别，分别对影子价格，灵敏度，剩余时间等的分析，可以得出各个问题的解。问题（4）的模型在模型一的基础上，设备使用时间的约束条件有所变动，其余条件均与模型一一样，也利用lingo软

2、件编程求解，得出设备优化后的最大利润2943608元并与优化前2890575比较，利润增加了53033元。关键字：lingo 线性优化 影子价格 灵敏度分析一、 问题重述机械加工有以下设备：表1设备名称车床立钻水平钻镗床刨床台数104542该厂生产5种品（产品编号为产品1产品5），每种产品的利润（元/件），以及生产单位产品需要的各种设备的加工工时（小时）如下表：表2 产品利润（元/件）和需要加工的设备工时（小时）产品12345利润60100304050车床0.50.70.3立钻0.10.20.3水平钻0.20.60.8镗床0.050.030.070.10刨床-0.010.05根据预测，每个月各

3、种产品的市场销量的上限如表3：表3 产品的市场销量上限（件/月）产品12345一月20005000150015004000二月3000250010005002000三月150030005005002500四月10001500200025001000五月50050025005005000六月2500250050015005500根据设备状况，在这六个月中，这五种设备要求检修的台数如下表：表4 设备检修台数设备名称车床立钻水平钻镗床刨床检修台数42311该厂制定了一个一月至六月的检修表，如下表：表5 设备检修计划设备名称一月二月三月四月五月六月检修台数1台车床1台水平钻1台车床1台立钻1台车床1台

4、镗床1台车床1台水平钻1台立钻1台刨床1台水平钻任何一台设备如果在某个月被安排检修，该设备全月不能用于生产。每种产品的最大库存量为100件，库存费用为每月每件5元，在一月初所有产品都有50件库存，而要求在六月底，每种产品仍然保持50件库存。工厂每天开两班，每班8小时。为了不使模型过分复杂，对以下问题作了一些必要的简化：1. 假定每班8小时都能正常生产，即不考虑上班后的准备工时和下班前的清理工时；2. 假定每月都是22个工作日，不考虑每月工作日的不同；3. 假定对任何一种产品，生产过程中，各种设备的加工没有先后次序的要求。并且，每个月末所有产品都完成所有的加工工序，没有产品只完成一部分加工，留到

5、下个月加工。即任何一个月末没有在制品。4. 同一种设备中，所有设备性能完全相同。如安排检修某种设备时，只需要考虑这种设备数量的减少，不必考虑具体检修哪几台。5. 产品的利润和生产批量无关建立模型，编制这5种产品6个月的生产库存销售计划。并利用模型分析评价制约该工厂利润进一步增加的各种瓶颈因素，讨论以下问题：1. 在最优生产计划中，提高哪几个月中哪些产品的市场销量上限可以增加利润？其中对利润影响最大的销售量是哪些？在保持最优生产计划不变的前提下，这些市场销量上限提高的幅度是多大？如果采用促销手段来增加市场销量，促销费用应该如何控制？2.哪几个月中哪些产品的最大库存量对增加利润构成限制，库存费用的

6、变化是否会导致最优生产库存销售计划变化？3.现有的设备检修计划是否合理？列出其中不合理的因素。4.建立最优设备检修计划模型，使在这半年中完成表4列出的各种设备的应检修台数，让每种设备被安排在最合适的月份检修，对利润的影响最小。比较设备检修计划优化前后，效益变化的情况。根据分析结果写出综合性的分析报告，分析报告用文字、表格，对该工厂5种产品6个月的生产库存销售量、产品仓库容量、设备利用和检修、产品销售价格、产品市场容量等相关因素做出详细描述，并对其中值得注意的问题做出讨论。二、问题分析 这是一个比较常见的线性优化问题，对于问题（1），要达到生产计划最优化，即使利润最大化，根据条件建立利润最大化模

7、型，建立约束条件。分析哪些产品的市场销量上限可以增加利润，既是分析影子价格；将每个月的总影子价格进行比较就可得出对利润影响最大的销售量是哪些；分析这些市场销量上限提高的幅度是多大既是分析灵敏度；促销手段根据哪几个月提高哪几种产品的销量利润会上升，查看这些产品在当月的库存，如果还有库存，结合此种产品的价格灵敏度分析（降价多少对模型不会有影响），以及此种产品的销售上限。对于问题（2），只需分析模型的Reduced Cost（库存量每增加以单位，利润减少多少），库存费用的变化也需考虑库存费用的价格灵敏度。对于问题（3）只需分析设备使用时间的Slack or Surplus（在最优解条件下，设备的使用

8、时间是否有剩余）。对于问题（4）根据（3）中五种设备在每个月的剩余时间情况，与352（一个设备使用一个月的时间）做比较，如大于352，则此种设备在此月可以检修，再结合表四的检修表，给出新的检修表，重新建立模型，得到设备检修计划优化后的模型。三、模型假设（1） 假设每月工作22日（2） 在进行部分产品价格上调时，设备的检修方案不变（3） 在优化检修设备方案时，产品的价格是上涨后的价格（4） 产品在生产过程中都是完成品，而且每月要求的产量也完成（5） 产品的利润和生产的批量无关（6） 假定每班8小时都能正常生产，即不考虑上班后的准备工时和下班前的清理工时；（7） 同一种设备中，所有设备性能完全相同

9、。如安排检修某种设备时，只需要考虑这种设备数量的减少，不必考虑具体检修哪几台。四、符号说明： 第种产品（=1，2，3，4，5）： 第个月（=1，2，3，4，5，6）：机械加工的第种设备（=1，2，3，4，5）：第种产品在第个月里的产量：第种产品在第个月里的库存量：第种产品在第个月里的销售量：生产第种产品需要的第种设备时间：机械加工的第种设备第个月的使用时间：第种产品在第个月里的销售上限：机械加工的第种设备的台数：机械加工的第种设备在第个月里的检修台数： 第种产品每件的利润： 第种产品的销售费用： 第种产品的库存费用： 所有产品的总利润五、模型建立与求解5.1问题1的模型建立与求解通过对问题的分

10、析，我们建立最优化模型来求解。目标函数：总利润=总销售费用总库存费用 第种产品在第月里的销售量第种产品的销售费用为6个月的总销售量的费用，即总销售费用=第种产品的库存费用为6个月的总库存量的费用，即总库存费用=所以得到目标函数为：-再根据题目建立约束条件：由题目可以知道，每月有22天的工作日，每天有两班，每班有8小时，故每月的工作为=22*2*8=352（时）。设备的工作时长约束：机械加工的第种设备第个月的使用时间为设备每月的工作时在第个月里产品的所需的第种设备的时间为，有库存约束：每种产品的最大库存量为100，有，每种产品在6月份底仍然为50件库存，有销售约束： 第种产品在第月里的销售量应小

11、于或等于销售上限，一月初所有产品都有50件库存，即有通过lingo软件求解，我们可以得到在最优化生产计划中产品市场销售上限的影子价格（见附录一） Row Slack or Surplus Dual Price62 786.2500 0.000000 63 2991.250 0.000000 . . . 90 0.000000 40.00000 91 0.000000 50.00000通过对数据的分析得到每种产品在每个月的市场销售上限的影子价格如下表：表1-1产品123451月40202月40203月40204月52.577.540505月52.577.540506月274050因此，在某月提高

12、产品市场销售上限可以增加利润的安排情况如下：表1-2（月份）123456（产品）4,54,54,51,2,4,51,2,4,51,4,5在保持最优化生产计划不变时，通过（1）的分析，我们知道，第1种产品在6个月内市场销售上限总的影子价格为132；第2种产品在6个月内市场销售上限总的影子价格为155；第4种产品在6个月内市场销售上限总的影子价格为240；第5种产品在6个月内市场销售上限总的影子价格为210。由此可知，对利润影响最大的是第4种产品，第5种产品影响较大，第2种产品次之，第1种产品影响最小。此题通过lingo软件的灵敏度分析来求解（见附录一）Objective Coefficient

13、Ranges Current Allowable Allowable Variable Coefficient Increase Decrease62 1950.000 INFINITY 786.2500 63 4950.000 INFINITY 2991.250 64 1450.000 INFINITY 1450.000 . . . . 90 1550.000 1306.667 1550.000 91 5550.000 5761.000 5550.000通过对数据的分析得到在保持最优化生产计划不变的前提下，这些市场销售上限提高的幅度情况如下表：表1-3产品123451月1549.583103

14、4,4442月8505603月2085.8331215.5564月1540513.33338604393.3335月26001857.143242017206月45901306.6675761Variable Value Reduced CostB11 0.000000 0.5000000B12 0.000000 0.5000000B13 0.000000 53.00000. . .B54 0.000000 0.5000000B55 0.000000 0.5000000B56 50.00000 0.000000Objective Coefficient RangesCurrent Allowa

15、ble AllowableVariable Coefficient Increase DecreaseA11 60.00000 2.857143 26.66667A12 60.00000 2.857143 26.66667A13 60.00000 2.857143 26.66667. . . .A55 50.00000 0.5000000 0.5000000A56 50.00000 INFINITY 0.5000000对数据进行分析：第种产品在第月的库存量如下表：表1-4123451月1002月3月4月5月1001006月50505050501月份：第5种产品有100件库存，且通过灵敏度分析知

16、：的系数范围为：，即说明产品此时最多降价19.5元，并且其他商品不能有所变动。5月份：第1种产品和第2种产品都有100件库存，且通过灵敏度分析知：和系数范围为：和，即说明1产品和2产品此时最多降价0.5元，并且其他产品不能有所变动。6月份：每种产品均有库存，且都为50件，故不用采取促销手段。假设做促销活动后商品全卖出，1月份降价幅度比较大，比较具有现实意义，在1月份做促销活动，营业额增加5000元，库存费减少100元，因此促销费用要小于5100元。5.2问题2的求解此题模型为上述模型：求解库存量对增加利润构成限制是从降低的价格进行分析 Variable Value Reduced Cost B

17、11 0.000000 0.5000000 B12 0.000000 0.5000000 B13 0.000000 53.00000 . . . B54 0.000000 0.5000000 B55 0.000000 0.5000000 B56 50.00000 0.000000通过对数据的分析得到结论：表2-11234561,2,3,41,2,3,4,51,2,3,4,51,2,3,4,53,4,5此题从灵敏度分析角度考虑，当库存费用在一定允许的范围内变动时，不会改变生产库存销售最优计划。考虑库存费用的价格灵敏度，取交集，价格在0.5，19.5之间变动均可。5.3问题3的求解此题模型建立如上

18、模型：此题是在最优解不变的条件下，考虑设备的使用时间是否有剩余。Row Slack or Surplus Dual Price2 0.000000 100.00003 0.000000 100.00004 0.000000 100.0000. . .29 650.1500 0.00000030 86.00000 0.00000031 426.5000 0.000000通过对数据的分析，我们能得到设备使用时间的剩余量如下表：表3-1123451月464.875784.55501.52月2551007.86043月625.75628.35794月13182581038650.155月1300726

19、825866月1224392576.1426.5=1在4,5,6份有剩余(车床也可以调到5,6月份检修)；=2在6个月均有剩余（立钻可以调到1,3,4,6月份检修）；=4在6个月均有剩余（镗床在任何一月检修均可）；=5在6个月均有剩余（刨床在任何一月检修均可）。故现有的设备检修计划不是合理的。5.4问题4的模型建立与求解根据3中5种设备在每个月的剩余时间情况与=352（一个设备使用一个月的时间）做比较，若剩余时间大于，则此种设备在此月可以检修，再结合表四的检修表，给出新的检修表如下：表4-1设备名称车床立钻水平钻镗床刨床检修台数32311表4-2设备名称一月二月三月四月五月六月检修台数1台立钻

20、1台水平钻1台刨床1台立钻1台车床1台水平钻1台车床1台镗床1台水平钻1台车床对设备检修计划优化前：Variable Value Reduced CostA11 1163.750 0.000000A12 1930.000 0.000000A13 1367.500 0.000000. . .B54 0.000000 0.5000000B55 0.000000 0.5000000B56 50.00000 0.000000对数据分析有：生产量产品123451月116419590145040502月19302290050020003月13682478050025004月1000150038525001

21、0005月600600160050050006月24501530015505500库存量产品123451月1002月3月4月5月1001006月5050505050 销售量产品123451月1214200950150040002月19302290050021003月13682478050025004月10001500385250010005月500500160050050006月25001580015005450此时所有产品在6个月里的总利润为2890575元。优化后：将上述模型中的第种产品需要设备的工作时间进行改动即可（见附录二），由此可得一下结果： Variable Value Reduc

22、ed Cost A11 1950.000 0.000000 A12 3000.000 0.000000 A13 1500.000 0.000000 . . . B54 0.000000 0.5000000 B55 0.000000 0.5000000 B56 50.00000 0.000000对数据进行分析有：生产量产品123451月195016970145040502月30001933050020003月15002433050025004月10001500385250010005月600600160050050006月24501530015505500库存量产品123451月1002月3月4

23、月5月1001006月5050505050 销售量产品123451月2000174750150040002月30001933050021003月15002433050025004月10001500385250010005月500500160050050006月25001580015005450此时所有产品在6个月里的总利润为2943608元。利润增加了53033元，生产销售计划也有变动。六、模型评价 (1) 建立模型时，充分利用了线性规划与最优化的有关知识，考虑到了设备能力，最大库存量等多方面因素，统筹规划，寻求最优方案。（2） 运用lingo对模型进行求解，并进行灵敏度，影子价格等的分析。（

24、3） 根据实际情况，对模型做了符合实际的假设，使模型简单化。参考文献：12姜启源，谢金星，叶俊，数学模型，高等教育出版社，2010，9附录一：max=60*(a11+a12+a13+a14+a15+a16)+100*(a21+a22+a23+a24+a25+a26)+30*(a31+a32+a33+a34+a35+a36)+40*(a41+a42+a43+a44+a45+a46)+50*(a51+a52+a53+a54+a55+a56)-0.5*(b11+b12+b13+b14+b15+b16+b21+b22+b23+b24+b25+b26+b31+b32+b33+b34+b35+b36+b4

25、1+b42+b43+b44+b45+b46+b51+b52+b53+b54+b55+b56);0.5*a11+0.7*a21+0.3*a51<=3168;0.5*a12+0.7*a22+0.3*a52<=3168;0.5*a13+0.7*a23+0.3*a53<=3168;0.5*a14+0.7*a24+0.3*a54<=3168;0.5*a15+0.7*a25+0.3*a55<=3520;0.5*a16+0.7*a26+0.3*a66<=3520; !第i产品需要车床设备的工作时间;0.1*a11+0.2*a21+0.3*a41<=1408;0.1*

26、a12+0.2*a22+0.3*a42<=1056;0.1*a13+0.2*a23+0.3*a43<=1408;0.1*a14+0.2*a24+0.3*a44<=1408;0.1*a15+0.2*a25+0.3*a45<=1056;0.1*a16+0.2*a26+0.3*a46<=1408; !第i产品需要立钻设备的工作时间;0.2*a11+0.6*a21+0.8*a31<=1408;0.2*a12+0.6*a22+0.8*a32<=1760;0.2*a13+0.6*a23+0.8*a33<=1760;0.2*a14+0.6*a24+0.8*a3

27、4<=1408;0.2*a15+0.6*a25+0.8*a35<=1760;0.2*a16+0.6*a26+0.8*a36<=1408; !第i产品需要水平钻设备的工作时间;0.05*a11+0.03*a21+0.07*a41+0.1*a51<=1408;0.05*a12+0.03*a22+0.07*a42+0.1*a52<=1408;0.05*a13+0.03*a23+0.07*a43+0.1*a53<=1056;0.05*a14+0.03*a24+0.07*a44+0.1*a54<=1408;0.05*a15+0.03*a25+0.07*a45+0

28、.1*a55<=1408;0.05*a16+0.03*a26+0.07*a46+0.1*a56<=1408; !第i产品需要镗床设备的工作时间;0.01*a31+0.05*a51<=704;0.01*a32+0.05*a52<=704;0.01*a33+0.05*a53<=704;0.01*a34+0.05*a54<=704;0.01*a35+0.05*a55<=352;0.01*a36+0.05*a56<=704;!第i产品需要刨床设备的工作时间;b11<=100;b21<=100;b31<=100;b41<=100;b

29、51<=100;!第i产品第j月的库存量;b12<=100;b22<=100;b32<=100;b42<=100;b52<=100;b13<=100;b23<=100;b33<=100;b43<=100;b53<=100;b14<=100;b24<=100;b34<=100;b44<=100;b54<=100;b15<=100;b25<=100;b35<=100;b45<=100;b55<=100;b16=50;b26=50;b36=50;b46=50;b56=50;5

30、0+a11-b11<=2000;50+a21-b21<=5000;50+a31-b31<=1500;50+a41-b41<=1500;50+a51-b51<=4000;!第i产品第j月的销售量;a12+b11-b12<=3000;a22+b21-b22<=2500;a32+b31-b32<=1000;a42+b41-b42<=500;a52+b51_b52<=2000;a13+b12-b13<=1500;a23+b22-b23<=3000;a33+b32-b33<=500;a43+b42-b43<=500;a5

31、3+b52-b53<=2500;a14+b13-b14<=1000;a24+b23-b24<=1500;a34+b33-b34<=2000;a44+b43-b44<=2500;a54+b53-b54<=1000;a15+b14-b15<=500;a25+b24-b25<=500;a35+b34-b35<=2500;a45+b44-b45<=500;a55+b54-b55<=5000;a16+b15-b16<=2500;a26+b25-b26<=2500;a36+b35-b36<=500;a46+b45-b46&

32、lt;=1500;a56+b55-b56<=5500; Global optimal solution found. Objective value: 2890575. Infeasibilities: 0.000000 Total solver iterations: 47 Variable Value Reduced Cost A11 1163.750 0.000000 A12 1930.000 0.000000 A13 1367.500 0.000000 A14 1000.000 0.000000 A15 600.0000 0.000000 A16 2450.000 0.00000

33、0 A21 1958.750 0.000000 A22 2290.000 0.000000 A23 2477.500 0.000000 A24 1500.000 0.000000 A25 600.0000 0.000000 A26 1530.000 0.000000 A31 0.000000 10.00000 A32 0.000000 10.00000 A33 0.000000 10.00000 A34 385.0000 0.000000 A35 1600.000 0.000000 A36 0.000000 103.3333 A41 1450.000 0.000000 A42 500.0000

34、 0.000000 A43 500.0000 0.000000 A44 2500.000 0.000000 A45 500.0000 0.000000 A46 1550.000 0.000000 A51 4050.000 0.000000 A52 2000.000 0.000000 A53 2500.000 0.000000 A54 1000.000 0.000000 A55 5000.000 0.000000 A56 5550.000 0.000000 B11 0.000000 0.5000000 B12 0.000000 0.5000000 B13 0.000000 53.00000 B14 0.000000 0.5000000 B15 100.0000 0.000000 B16 50.00000 0.000000 B21 0.000000 0.5000000 B22 0.000000 0.5000000 B23 0.000000 78.00000 B24 0.000000 0.5000000 B25 100.0000 0.000000 B26 50.00000 0.00