旋转放缩对称直角三角形模型解析及在中考题中的应用

1、旋转放缩对称直角三角形模型解析及在中考题中的应用 阳新县木港镇东春中学 陈开茂 陈迪富 相信大部分老师和成绩比较好的学生对旋转相似模型（个人觉得严谨点可叫旋转放缩相似模型）都不陌生：将确定ABC绕A点任意转动一个角度得到，再将以A点为中心按某种比例缩放成ADE，则根据夹角相等及两边对应成比例，ABDACE，动线段BD：CE=定线段AB：AC=定值。（这个模型也可简述成共顶点A的相似三角形ABC和ADE，BD与CE对应）此模型在中考中应用很多，但非要讲的主题，故只是简单提一提。要讲的模型我称为旋转放缩对称直角三角形模型，前面RtABC中，C=90°，ABC=，将ABC绕A点任意转动一个

2、角度得到，再将以A点为中心按某种比例缩放成AFE，最后将AFE关于AE作对称得ADE。注意ABC还是和ADE为共顶点A的相似三角形，B和D对应，C和E对应，看起来和上个模型很像，那到底还有没有动线段BD：CE=定值呢？根本是没有的，因为只有CE：BF=AC：AB=定值sin，而BD和BF根本不一样了。那到底该模型有何特别之处呢？我们擦去过渡三角形和AEF，只保留ABC和AED。（再次提醒，现在的是旋转放缩对称直角三角形模型，多了一个对称，和一开始的模型完全不一样了）我们连接两个非A的对应锐角定点B和D得到线段BD，取BD中点G，再连接G和两个直角顶点C、E之间的线段，得到三角形GCE，它有如下

3、特点：GC=GE，CGE=2（即2倍ABC） 先举个特例来说明该模型的体现和证明：2007年广州中考数学压轴题已知RtABC中，AB=AC，在RtADE中，AD=DE，连结EC，取EC中点M，连结DM和BM，（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图，求证：BM=DM且BMDM；（2）如图中的ADE绕点A逆时针转小于45°的角，如图，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明。证法一：在RtEBC中，M是斜边EC的中点 BM= 在RtEDC中，M是斜边EC的中点 DM= BM=DM,且点B、C、D、E在以点M为圆心，BM为半径

4、的圆上BMD=2ACB=90°即BMDM证法二：证明BM=DM与证法一相同，下面证明BMDMDM=MC MDC=MCDEMD=2ECDBM=MC MBC=MCBEMB=2ECBEMD+EMB=2（ECD+ECB）ECD+ECB=ACB=45° BMD=2ACB=90°，即BMDM该题解法应该是很多，给出三种做法。一是以倍长中线为基础证全等的做法，照搬标准答案。延长DM至点F，使得DM=MF，连接CD和EF，连接BD，连接BF、FC，延长ED交AC于点HDM=MF，EM=MC四边形CDEF是平行四边形DECF，ED=CFED=AD AD=CFDECF AHE=ACF

5、BAD=45°DAH=45°（90°AHE）=AHE45°，BCF=ACF45°BAD=BCF又AB=BCABDCBFBD=BF，ABD=CBFABD+DBC=CBF+DBCDBF=ABC=90°在RtDBF中，由BD=BF，DM=MF，得BM=DM且BMDM二是利用直角三角形斜边中线及中位线的全等做法：取AE中点P，AC中点Q，连PM、PD、QB、QM，显然，且四边形PAQM为平行四边形，则APM=AQMAPM=90°=AQM 即DPM=MQBPDMQMB DM=MB又PMBQ QBM+BMP=PMD+BMP=90

6、6;BMDM三是结合第一个旋转相似模型的相似解法： 将C点关于AB做对称，得等腰直角AGB,由旋转相似模型可知AGEABD GE：BD=AE：AD= 又GE=2BM BD：BM=DBM=90°-(ABD+MBC)= 90°-(AGE+EGC)= 45°DBM为等腰直角三角形在这三种方法中，个人更喜欢第二种利用直角三角形斜边中线和中位线证全等的方法，既简单巧妙，也应用面广。我们来看一道一般性普遍性的旋转放缩对称直角三角形模型的题型： 已知：ABC中，AB=AC，N为BC的中点，DBE中，DB=DE，M为BE中点，ABC=DBE，P为AD中点，连接PM、PN.如图1，

7、当BE与BA重合时，求证：PM=PN；如图2，把图1中的DBE绕B点逆时针旋转（0°180°），其它条件不变，中的结论还成立吗？请说明理由。如果对模型足够敏感，不难发现RtBMD和RtBNA恰好符合这个模型，所以不妨采用前面第二种解法：证明：连接AN、MDAB=AC N为BC的中点ANBCP为AD的中点PN=同理PM=PM=PN取BD中点F，AB中点G，M为BE的中点，F为BD的中点MFED MF=同理可证：GPBD GP=DE=DB MF=GP同理可证：PF=GNPGN=180°-AGP-BGN MFP=180°-MFB-PFD而AGP=ABD=PFD

8、 BGN=BAC=EDB=MFBPGN=MFPPMFPNG(SAS) PM=PN最后再来看一下2015年重庆中考A卷的倒数第二道几何大题。如图1，在ABC中，ACB=90°，BAC=60°，点E角平分线上一点，过点E作AE的垂线，过点A作AB的线段，两垂线交于点D，连接DB，点F是BD的中点，DHAC，垂足为H，连接EF，HF。（1）如图1，若点H是AC的中点，AC=，求AB，BD的长。（2）如图1，求证：HF=EF。（3）如图2，连接CF，CE，猜想：CEF是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，请说明理由。 考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；三角形中

9、位线定理 分析：（1）根据直角三角形的性质和三角函数即可得到结果； （2 ）如图1，连接AF ，证出 DAEADH， DHF AEF ，即可得到结果； （3 ）如图2 ，取AB 的中点M，连接CM，FM，在R ADE 中，AD=2AE，根据三角形的中位线的性质得到AD=2FM，于是得到FM=AE，由 CAE=CAB=30°CMF= AMF AMC=30°，证得 ACEMCF ，问题即可得证 解答：,连接AF易证：DAEADH，故DH=AE故 易证：DHFAEF HF=EF（方法不唯一，有很多，合理即可）（法一）取AB的中点M，连接CM、FM在RTADE中，AD=2AEFM是ABD的中位线，故AD=2FM FM=AE易证ACM为等边三角形，故AC=CM 故ACEMCF（手拉手全等模型）故易证：CEF为等边三角形（法二）延长DE至点N，使EN=DE，连接AN；延长BC至点M，使CB=CM，连接AM；延长BD交AM于点P易证：ADEANE，ABCAMC易证：ADMANB（手拉手全等模型），故DM=BNCF是BDM的中位