探究在地球自转和空气阻力影响下的抛体运动规律

1、探究在地球自转和空气阻力影响下的抛体运动规律福建师大物理与光电信息科技学院 物理学专业学号邮箱： 【摘要】本文指出了抛体运动传统研究方法的局限性,提出借助MATLAB技术较全面地数值研究了地球自转和空气阻力对抛体运动的影响，并对结果进行分析。与其他文献不同的是，本文考虑了惯性离心力对抛体运动的作用。【关键词】抛体运动 地球自转 惯性离心力 空气阻力 MATLAB 1 引言在日常工作和生活中，抛体运动随处可见，如各种球类运动、铁饼、标枪、中远程炮弹以及飞机空投物资等等。我们可以根据中学阶段学习过的知识，在理想条件下得出抛体运动的一般规律，但若要真正应用到现实条件中，需要考虑各种现实条件，精确地探

2、究出抛体运动的规律。研究抛体运动，不但具有理论意义，更具有实践意义，例如可以对各种球类运动、飞机空投物资以及军事上射击瞄准和弹道研究，进行必要的修正和指导。1在现实环境中，抛体运动受到的影响主要来源于两方面：一是地球自转、地理位置等的影响；二是运动过程中空气阻力的影响。其中地球自转一般能产生两个力的作用：惯性离心力和科里奥利力。目前已有很多文献对抛体运动进行了研究，文献2- 4研究了地球自转对抛体运动的影响；文献5讨论了考虑空气阻力和地球自转作用下抛体运动规律。以上文献的一个共同特点是：均使用传统的数学解析方法，运动微分方程的求解过程繁杂，并采用常用的近似法进行分析处理，这对抛体运动进行近似分

3、析是可行的，但不能得到相对高精度的运算结果。文献6用数值计算的方法研究地球自转对抛体运动的影响；文献7用数值计算的方法讨论了考虑空气阻力和地球自转作用下抛体运动规律。但几乎所有研究地球自转对抛体运动的影响的文献都忽略了惯性离心力的作用，认为惯性离心力的大小与地球自转角速度的平方成正比，其值自然比较小而把它的作用忽略不计。为了能够更为精确、直观地得出结果并突出惯性离心力的作用，我们分别探究了忽略惯性离心力和考虑惯性离心力两种条件下的抛体运动规律，采取了借助数学软件MATLAB，利用数值计算的方法，分析地球自转对抛体运动产生的影响。2物理模型和动力学方程的建立81以北半球纬度为a的某点为坐标原点,

4、在地球上建立如图1所示直角坐标系，轴沿地面水平向南，轴沿地面水平向东，轴垂直地面指向天顶。观察抛体运动时，质点受到的真实力有空气阻力，在抛体初速度不大的情况下，我们假设其与质量和速度成正比，即（为常数）和地球的引力 ，受到的惯性力有科里奥利力 ，(在北半球纬度=a>0, 在南半球纬度<0)以及惯性离心力，由于，则若忽略惯性离心力的作用，则动力学方程为： （1）改写成坐标分量式，可得耦合的微分方程组： (2)若考虑惯性离心力的作用，则动力学方程为： （3）改写成坐标分量式，可得耦合的微分方程组： (4)初始条件（时）可表示为：（2）、（4）式是二阶线性微分方程组,解析求解过程比较繁琐

5、,可以将其变换为一阶线性微分方程组,然后利用MATLAB软件进行数值求解。3编写函数文件和主程序令:;将 (2)式变换为一阶微分方程组:将 (4)式变换为一阶微分方程组:因非惯性系中的抛体存在偏离，轨道并不始终在同一纬度上空， 上式中的a并不能视为常量仅对积分。但经过计算得知纬度1度对应的经线长度约为111180米，每米的偏离还不到0.00001度。由此可知，即使运动过程中有数米的偏离，所引起的纬度变化仍微不足道1。故在有限的偏离下把a视为常数不会影响到我们对精度的要求。利用上方程编制函数文件znxpfun.m和主程序znxp.m见附录。4 主程序的运行与分析、比较和讨论4.1 同一纬度处，忽

6、略空气阻力的抛体运动主程序的运行图像和结果如下（以下图像的坐标和表格中的数据采取国际单位制）：图1 忽略空气阻力条件下，考虑地球自转和不考虑地球自转的抛体运动轨迹：表 1 同一纬度处忽略空气阻力的条件下，考虑地球自转（忽略惯性离心力）和不考虑地球自转时的抛体运动：a=60°，k=0差值Z(射高)45.918445.92010.0017T(到达最高点所需时间)3.06123.06130.0001Y(射程)30.600030.5864-0.0136X(南偏距离)00.01180.0118表 2 同一纬度处忽略空气阻力的条件下，考虑地球自转（考虑惯性离心力）和不考虑地球自转时的抛体运动：a

7、=60°，k=0差值Z(射高)45.918445.95960.0412T(到达最高点所需时间)3.06123.06400.0028Y(射程)30.600030.5863-0.0137X(南偏距离)00.28500.28504.2 同一纬度处，考虑空气阻力的抛体运动在主程序中，令k=0.01,运行的图像和结果如下：图2 有空气阻力条件下，考虑地球自转和不考虑地球自转条件下的抛体运动轨迹：表 3 同一纬度处有空气阻力的条件下，考虑地球自转（忽略惯性离心力）和不考虑地球自转时的抛体运动：a=60°，k=0.01差值Z(射高)45.0023 45.00390.0016T(到达最高点

8、所需时间)3.0153 3.01540.0001Y(射程)29.6825 29.6696-0.0129X(南偏距离)0 0.01130.0113表 4 同一纬度处有空气阻力的条件下，考虑地球自转（考虑惯性离心力）和不考虑地球自转时的抛体运动： a=60°，k=0.01差值Z(射高)45.0023 45.04180.0395T(到达最高点所需时间)3.0153 3.01800.0027Y(射程)29.6825 29.6695-0.013X(南偏距离)0 0.27910.2791将表1和表3、表2和表4中的数据提取出来，按同一纬度处考虑地球自转和不考虑地球自转，对数据重新组合，得到如下的

9、表5和表6、表5和表7：表5 在同一纬度处忽略地球自转条件下，考虑空气阻力和不考虑空气阻力时的抛体运动：a=60°，k=0k=0.01差值Z(射高)45.918445.0023 -0.9161T(到达最高点所需时间)3.06123.0153 -0.0459Y(射程)30.600029.6825 -0.9175X(南偏距离)00 0表6 在同一纬度处考虑地球（忽略惯性离心力）自转条件下，忽略空气阻力和有空气阻力时的抛体运动a=60°，k=0k=0.01差值Z(射高)45.920145.0039-0.9162T(到达最高点所需时间)3.06133.0154-0.0459Y(射程

10、)30.586429.6696-0.9168X(南偏距离)0.01180.0113-0.0005表7 在同一纬度处考虑地球自转条件（考虑惯性离心力）下，忽略空气阻力和有空气阻力时的抛体运动a=60°,k=0k=0.01差值Z(射高)45.959645.0418-0.9178T(到达最高点所需时间)3.06403.0180-0.046Y(射程)30.586329.6695-0.9168X(南偏距离)0.28500.2791-0.0059分析：由表1、表3或表2、表4的“差值”列数据可知，在只分析地球自转作用（k=0.01或k=0）的条件下， 和相比， 可以看出地球自转使抛体运动的T(到

11、达最高点所需时间)、Z(射高)和X(南偏距离)增大，但使Y(射程)减小，落地点发生了南偏，时在X方向没有偏转；由表5、表6或表7的“差值”列数据可知，在只分析空气阻力作用（或）的条件下，k=0.01和k=0相比，可以看出空气阻力使抛体运动的Z(射高)、T(到达最高点所需时间)、Y(射程)和X(南偏距离)均减小。通过对表1与表2或表3与表4的比较可以初步得知，惯性离心力对抛体运动的T(到达最高点所需时间)、Z(射高)和X(南偏距离)的影响很大，考虑它与否得出的结果相差一个数量级，而惯性离心力对Y(射程)的影响很小，可以予以忽略。4.3 不同纬度处，忽略空气阻力的抛体运动规律在主程序中,令k=0和

12、k=0.01,a分别取0°、15°、30°、45°、75°和90°,(a=60°的情况见上文），运行的结果如下：表8不同纬度处忽略空气阻力条件下，考虑地球自转（忽略惯性离心力）和不考虑地球自转时的抛体运动规律k=0,k=0,a0°15°30°45°60°75°90°0°至90°Z45.921845.921745.921345.920845.920145.919245.918445.9184T3.06153.06143.06143.061

13、43.06133.06133.06123.0612Y30.572730.573730.576430.580730.586430.592930.600030.6000X00.00350.00680.00960.01180.01320.01360表9不同纬度处忽略空气阻力条件下，考虑地球自转（考虑惯性离心力）和不考虑地球自转时的抛体运动规律:k=0,k=0,a0°15°30°45°60°7590°0°至90°Z46.080246.069446.040045.999945.959645.929845.918445.918

14、4T3.07203.07133.06933.06673.06403.06203.06123.0612Y30.572530.573530.576230.580630.586330.592930.600030.6000X00.16130.28000.32510.28500.17090.01360表10不同纬度处考虑空气阻力条件下，考虑地球自转（忽略惯性离心力）和不考虑地球自转时的抛体运动规律k=0.01,k=0.01,a0°15°30°45°60°75°90°0°至90°Z45.005545.005445.0

15、05145.004545.003945.003145.002345.0023T3.01553.01553.01553.01553.01543.01543.01533.0153Y29.656829.657729.660229.664329.669629.675829.682429.6825X00.00340.00650.00920.01130.01260.01310表11不同纬度处考虑空气阻力条件下，考虑地球自转（考虑惯性离心力）和不考虑地球自转时的抛体运动规律:k=0.01,k=0.01,a0°15°30°45°60°7590°0&#

16、176;至90°Z45.157745.147345.119145.080545.041845.013345.002345.0023T3.02583.02513.02323.02063.01803.01603.01533.0153Y29.656629.657529.660129.664229.669529.675829.682429.6824X00.15800.27430.31840.27910.16720.01310分别绘出k=0和k=0.01, 的条件下，射高Z、到达最高点所需时间T、射程Y和南偏距离X与纬度a的关系图（其中红色的图象为考虑惯性离心力得出的结果,绿色的图象为忽略惯性

17、离心力得出的结果）如下： 图3射高Z与纬度a的关系图（k=0） 图4射高Z与纬度a的关系图（k=0.01） 图5到最高点所需时间T与纬度a的关系图（k=0） 图6到最高点所需时间T与 纬度a的关系图（k=0.01） 图7 射程Y与纬度a的关系图（k=0） 图8 射程Y与纬度a的关系图（k=0.01） 图9 南偏距离X与纬度a的关系图（k=0） 图10 南偏距离X与纬度a的关系图（k=0.01）分析：由以上各图可以直观地看出，在考虑地球自转的条件下，不论忽略空气阻力还是考虑空气阻力，随着纬度a的增大，射高Z和到达最高点所需时间T逐渐减小，射程Y逐渐增大，在忽略惯性离心力的作用下,南偏距离X逐渐增

18、大;而在考虑惯性离心力的作用下,南偏距离X先增大后减小,在a=45°处达到最大值。由表8和表9、表10和表11的最后一列数据可知，在忽略自转（）的条件下，射高Z、到达最高点所需时间T、射程Y和南偏距离X（初速度无X分量）均与纬度a无关， 又由表10和表11（k=0.01）分别与表8和表9（k=0）的最后一列数据各项值的对比可知，空气阻力使射高Z、到达最高点所需时间T和射程Y减小；在赤道（a=0°）处，自转角速度使射高Z、到达最高点所需时间T达到最大值而射程Y取最小值，南偏距离X为零。同时由表8、表9、表10和表11的前面几列数据（）与最后一列数据（）比较可知，在同一纬度处，

19、地球自转使射高Z（a=90°除外）、到达最高点所需时间T（a=90°除外）和南偏距离X（a=0°除外）增加，使射程Y（a=90°除外）减小。从以上各图还可以看出，除了射程Y与纬度a的关系图外, 考虑惯性离心力作用的图像变化趋势比忽略惯性离心力作用的图像变化趋势更明显,同时除了在a=90°和a=0°处外，红色图像都在绿色图像的上方，两图像上下相距比较大，且两者南偏距离X与纬度a的关系图的单调性质更是不同，这充分说明在研究考虑地球自转的抛体运动时，除了在地球两极点外，惯性离心力的作用与科里奥利力一样不可忽略。4.4 同一纬度处，不考虑空气

20、阻力，增大初速度的抛体运动在主程序中，设置k=0,初速度，运行结果如下：表12 同一纬度处，忽略空气阻力，考虑地球自转（忽略惯性离心力）和不考虑地球自转条件下，增大初速度的抛体运动a=60°，k=0差值Z(射高)66.1224 66.12540.003T(到达最高点所需时间)3.6735 3.67360.0001Y(射程) 36.7200 36.6982-0.0218X(南偏)0 0.01410.0141表13 同一纬度处，忽略空气阻力，考虑地球自转（考虑惯性离心力）和不考虑地球自转条件下，增大初速度的抛体运动a=60°，k=0差值Z(射高)66.1224 66.18230

21、.0599T(到达最高点所需时间)3.6735 3.67680.0033Y(射程) 36.7200 36.6981-0.0219X(南偏)0 0.28740.2874分析：若忽略惯性离心力的作用，表12的“差值”列各项值的绝对值均比表1的“差值”列各项值的绝对值大（比较T必须在精度足够大的条件下）；若考虑惯性离心力的作用，表13的“差值”列各项值的绝对值也均比表2的“差值”列各项值的绝对值大，且比忽略惯性离心力的作用时的差别更明显；这两种情况都说明抛体的初速度越大，地球自转对它的影响越大。另外，除了Y(射程)差别不大外，表2的“差值”列各项值均比表1的“差值”列各项值大一个数量级，表13的“差

22、值”列各项值也均比表12的“差值”列各项值大一个数量级且比前者对应项之间的差值更大，进一步说明了考虑惯性离心力的作用与否，会导致计算得出抛体运动的T(到达最高点所需时间)、Z(射高)和X(南偏距离)的数值相差一个数量级，由此更充分证明惯性离心力对抛体运动的影响不可忽略。4.5同一纬度处，考虑空气阻力，增大初速度的抛体运动在主程序中，设置k=0.01,初速度，运行结果如下：表14 同一纬度处，有空气阻力，考虑地球自转（忽略惯性离心力）和不考虑地球自转条件下增大初速度的抛体运动a=60°，k=0.01=0=2*pi/(60*60*24)差值Z(射高)64.5465 64.54920.00

23、27T(到达最高点所需时间) 3.6076 3.60780.0002Y(射程) 35.6189 35.5983 -0.0206X(南偏) 0 0.01360.0136表15 同一纬度处，有空气阻力，考虑地球自转（考虑惯性离心力）和不考虑地球自转条件下增大初速度的抛体运动a=60°，k=0.01=0=2*pi/(60*60*24)差值Z(射高)64.5465 64.60340.0569T(到达最高点所需时间) 3.6076 3.61080.0032Y(射程) 35.6189 35.5982-0.0207X(南偏) 0 0.28130.2813将表12和表14、表13和表15中的数据提取

24、出来，按同一纬度处考虑地球自转和不考虑地球自转，对数据重新组合，得到如下的表16和表17、表16和表18：表16 在同一纬度处忽略地球自转条件下，考虑空气阻力和不考虑空气阻力时的抛体运动：a=60°，k=0k=0.01差值Z(射高)66.1224 64.5465 -1.5759T(到达最高点所需时间)3.6735 3.6076 -0.0659Y(射程) 36.7200 35.6189 -1.1011X(南偏距离)0 0 0表17 在同一纬度处考虑地球（忽略惯性离心力）自转条件下，忽略空气阻力和有空气阻力时的抛体运动a=60°,k=0k=0.01差值Z(射高)66.12546

25、4.5492-1.5762T(到达最高点所需时间)3.67363.6078-0.0658Y(射程)36.698235.5983-1.0999X(南偏距离)0.01420.0136-0.0006表18 在同一纬度处考虑地球自转条件（考虑惯性离心力）下，忽略空气阻力和有空气阻力时的抛体运动a=60°,k=0k=0.01差值Z(射高)66.182364.6034-1.5789T(到达最高点所需时间)3.67683.6108-0.066Y(射程)36.698135.5982-1.0999X(南偏距离)0.28740.2813-0.0061分析：由表16、表17、表18的“差值”列各项值的绝对

26、值分别比表5、表6、表7的“差值”列对应项的绝对值大，说明抛体运动的初速度越大，空气阻力对它的影响也越大。5 结论综上所述，我们可以得出地球自转使抛体运动的T(到达最高点所需时间)、Z(射高)和X(南偏距离)增大，但使Y(射程)减小，落地点发生了南偏；空气阻力使抛体运动的Z(射高)、T(到达最高点所需时间)、Y(射程)和X(南偏距离)均减小。惯性离心力对抛体运动的T(到达最高点所需时间)、Z(射高)和X(南偏距离)的影响很大，考虑它与否得出的结果相差一个数量级，而惯性离心力对Y(射程)的影响很小，可以予以忽略。在考虑地球自转的条件下，不论忽略空气阻力还是考虑空气阻力，随着纬度a的增大，射高Z和

27、到达最高点所需时间T逐渐减小，射程Y逐渐增大，在忽略惯性离心力的作用下,南偏距离X逐渐增大;而在考虑惯性离心力的作用下,南偏距离X先增大后减小,在a=45°处达到最大值。在忽略自转（）的条件下，射高Z、到达最高点所需时间T、射程Y和南偏距离X（初速度无X分量）均与纬度a无关，空气阻力使射高Z、到达最高点所需时间T和射程Y减小；在赤道（a=0°）处，自转角速度使射高Z、到达最高点所需时间T达到最大值而射程Y取最小值，南偏距离X为零。在同一纬度处，地球自转使射高Z（a=90°除外）、到达最高点所需时间T（a=90°除外）和南偏距离X（a=0°除外）

28、增加，使射程Y（a=90°除外）减小。从以上各图还可以看出，除了射程Y与纬度a的关系图外, 考虑惯性离心力作用的图像变化趋势比忽略惯性离心力作用的图像变化趋势更明显,同时除了在a=90°和a=0°处外，前者图像都在后者图像的上方，两图像上下相距比较大，两者南偏距离X与纬度a的关系图的单调性质更是不同，这充分说明在研究考虑地球自转的抛体运动时，除了在地球两极点外，惯性离心力的作用与科里奥利力一样不可忽略。抛体运动的初速度越大，地球自转对它的影响越大，空气阻力对它的影响也越大。6 结语通过本文的探究，我们可以看到研究抛体运动时考虑惯性离心力与否得出的结果有很大差别，在

29、研究南偏距离X随纬度a的变化关系上，甚至会得出截然不同的结论。惯性离心力的最大值，我们通常认为它含有项就认为它很小从而把它的作用忽略不计，但我们忽视了项的大小，经过计算得出，与本文中的空气阻力的大小（）差一个数量级，重力的大小与空气阻力的大小也只差一个数量级，从数量级上来看惯性离心力的作用应该不能忽略不计，本文通过数据、图像的对比更说明了惯性离心力的作用不可忽略不计。另外，利用先进的计算机工具软件来解决复杂的理论问题已经成为时代潮流，它有传统方法无法比拟的优势。从本文研究的问题中我们可以看出，利用MATLAB数学软件讨论抛体问题只需少数几行代码便能快速得到较为满意的运行结果，并以非常直观的方式

30、显示出抛体运动的轨迹，同时还可以通过改变参数得到不同条件下抛体的运动情况，而且由于所得结果的精确度完全由计算机决定，因此可以达到非常理想的精确度。此研究方法为处理类似力学问题提供了新的途径，为理论研究提供了一种科学的实验模拟方法。参考文献：1 张建平地球自转与空气阻力影响下抛体运动规律的探究J乐山师范学院学报2007，22(12)：22-27. 2 张瑞海在考虑地球自转时对抛体运动的研究J大学物理，1984(3)：48.3 吴永懋考虑地球自转时抛体运动的偏移J大学物理，1990(2)：5.4 谢元喜张立新考虑地球自转时的抛体运动J湖南教育学院学报1999，5(17)：162-165.5 王长明

31、阻力和地球自转影响下的抛体运动学方程J商丘师范学院学报2003，2(2)：22.6 谢善娟. 地球自转对抛体运动影响的数值分析J. 怀化学院学报,2010,29(2):49-51.7 龙晓霞.抛体运动的计算机模拟J.阜阳师范学院学报(自然科学版),2005,22(4):67-70.8 管靖,刘文彪.理论力学简明教程M.科学出版社，北京:2008,187-188.Exploring the law of projectile motion affected by the globes rotation and the air resistanceCollege of Physics and Op

32、toelectronic Technology Majors of Physics Fengyun Tutor: Chen Xiang Abstract : The article point out the limitation of the traditional research methods for projectile movement, and use a new method of study，i.e., by the use of MATLAB for numerical solution and the trajectory of projectile movement to consider the earth rotation and the air resistance，then the analyzed of the resultsUniquely ,the article also consider the effect of inertial cen