数列综合问题

1、数列综合问题一、教材分析:、地位与作用数列是高中数学的重要内容，是学习高等数学的基础，在高考中占有重要的地位. 考纲要求:“理解数列的概念, 了解通项公式的意义, 了解递推公式, 掌握等差数列、等比数列的通项公式与前项和公式, 并能解决简单的问题.” 教材中数列编排在函数内容之后, 因为数列是以正整数为自变量的一种特殊函数, 这样安排既有利于认识数列的本质, 也有利于加深和巩固对函数概念的理解. 数列综合问题以数列为引线和依托, 结合函数、方程、不等式、解析几何等知识, 题型新颖, 解法灵活, 能有效地考查学生的思维能力、创新意识和实践能力.、重点、难点与关键根据高考考试说明的要求，结合对历届

2、高考试题的分析, 本节内容的教学重点是: 利用数列的通项公式与前项和等有关知识为主要工具求解数列综合问题. 而与数列交汇的、呈现递推关系的综合性试题, 特别是与不等式的综合是教学的难点. 从教学实践来看, 学生对数列综合题存在畏难情绪, 总觉得难以掌握, 因此教学的关键是运用转化思想将问题转化成简单的、熟悉的问题来求解, 同时注意培养学生的良好的个性品质, 特别是排除万难的精神.二、高考回顾“在知识的交汇点设置能力型问题”是指导高考命题的思想之一. 数列是高中数学知识结构的一个重要的交汇点. 数列综合题在每年高考中都会重点考查. 下面列表对近两年高考试题作分类统计, 统计如下表: 2004年

3、2005年全国1分奇、偶项的递推数列的通项等比数列的公比与前项和全国2通项与前项和、等比数列的判定等比数列、等差数列的综合全国3数列通项、数列不等式的证明等比数列、等差数列的综合全国4导数、数列求和与数列极限 北京抽象函数、数列通项与极限等比数列的判定、数列极限上海点列、等差数列、探索性问题涉及两个数列的应用性问题天津函数迭代、数列的通项与极限数列的求和、数列的极限重庆数列不等式、数列项大小比较数学归纳法、数列不等式辽宁函数迭代中的数列不等式函数迭代、数列不等式证明山东 同全国卷1导数、等比数列的判定江苏数列前项的和、探索性问题数列不等式的证明浙江点列问题、等比数列的判定点列问题、等差数列的判

4、定福建涉及两个数列的应用性问题递推公式、数列不等式湖北递推数列的极限、数列不等式数列不等式的证明、数列极限湖南解析几何、递推数列的综合应用探索性问题、数列不等式广东三角函数中的等比数列问题 无江西 同全国卷1数列通项、数列不等式的证明从上表可以看出, 2004年的15份理科试题中, 每套试题均有一道解答题. 其中处在压卷题位置的有8道; 2005年的16份理科试题中, 除广东卷外每套试题均有一套解答题, 其中处在压卷题位置的有5道. 由此不难得知, 数列解答题是高考命题必考的难度大的内容, 其命题热点是与不等式交汇的、呈现递推关系的综合性试题, 其中, 以函数迭代、解析几何中曲线上的点列为命题

5、载体, 有着高等数学背景的数列解答题是未来高考命题的一个新的亮点.三、数列综合问题类型及求解策略由于数列综合问题形式多变、思考性强、区分度高, 因此大多数同学解此类问题时思维常常受阻, 甚至无从下手, 下面我结合近几年的高考题, 就数列综合问题类型及解题策略作一点探讨:1、数列各部分知识的综合例1. 已知数列为等差数列(公差), 中的部分项组成的数列为等比数列, 其中, 求的值.解析: 由题意得, 即, . 在等比数列中, 公比又 又是等差数列的第项, = 求解策略 解纯数列综合题, 要充分利用等差数列与等比数列的有关性质求解.本题的关键是注意到的双重身份既是等比数列的第项, 又是等差数列的第

6、项, 先求出通项, 再求出其前项的和.2、数列与函数的综合例2. 已知函数是定义在R上的不恒为零的函数, 且对于任意的, 都满足 若.求证: 数列是等比数列.分析一: 由于已知条件只有抽象函数关系式和的表达式, 要求证数列是等比数列, 最关键是求出, 可以尝试数学归纳法.证法一: 由已知可得: 猜想: 用数学归纳法证明(略).分析二: 将所给函数关系式适当变形, 根据其形式特点构造另一个函数, 设法用此函数求出.证法二: 当时, 由可得: ,令 上式为: 分析三: 设法将转化为熟悉的数列.证法三: 所以, 即是公差为 首项为的等差数列.求解策略 解数列与函数的综合题, 一般要利用函数、数列的性

7、质以及它们之间的相互联系. 本题是一道已知抽象函数关系, 利用函数迭代求证数列是等比数列的问题. 所提供的三种证法中, 证法一思路自然, 但较为繁琐; 证法二技巧性强; 证法三思维跨度大, 但三种证法都体现了一个不变的事实: 充分应用已知条件变形转化, 根据其形式特点构造新的数列, 然后利用数列的性质求解.3、数列与不等式的综合例3. (2004年重庆卷)设数列满足对一切正整数成立； (1) 法一: (数学归纳法) 当时, 不等式成立.假设时, 成立. 当时, 即时, 成立.综上, 可知对一切正整数成立.法二: (数学归纳法) 当时, 不等式成立.假设时, 成立. 当时, 由函数的单调性和归纳

8、假设有.因此只需证: , 即证只需, 显然成立.即时, 结论成立. 因此, 对一切正整数成立.法三: 由递推公式得, , ,将上述各式相加并化简得 ()又时, 显然成立. 所以对一切正整数成立.(2)解法一: 解法二: 又 求解策略 证明数列不等式问题, 一般可采用数学归纳法、分析法、综合法、比较法、放缩法等方法来证明. 有时要综合使用其中的几种方法.(1) 中的证法一、证法二都利用了数学归纳法, 证法一、证法三都将目标定为证明, 去掉了根式, 利用放缩法得证; 证法二, 看到递推关系与函数的关系, 利用函数单调性和分析法得证. 证法三利用迭加法, 变更了递推关系, 这是对递推公式常用的变形方

9、式之一. (2)中利用比较法, 方法一是作商法, 方法二并不是直接作差, 而是利用平方差, 消除了根式, 简化了运算, 在不等式的证明中, 观察式子的结构特征合理地进行放缩, 是成功的关键.4、数列与解析几何的综合例4.(2004浙江)如图, 的三个顶点坐标分别为(0,0)、(1,0)、(0,2),设为线段的中点,为线段的中点,为线段的中点,对于每一个正整数,为线段的中点,令的坐标为,.(1) 求 (2)证明(3)若记 证明是等比数列.解析: (1) 又由题意可知 为常数列. 即(2) 将等式两边除以2, 得 又 (3)又 是公比为的等比数列.求解策略 数列与解析几何的综合题以坐标为载体, 以

10、数列为主体内容将解析几何、平面几何与数列的相关知识联系在一起.该类问题往往以曲线上的点的无限运动为背景, 解决问题的关键是寻求点的坐标间的相互联系, 得到递推关系, 再运用数列知识进行求解.5、数列应用问题(2001年全国卷)从社会效益和经济效益出发, 某地投入资金进行生态环境建设, 并以此发展旅游产业.根据规划, 本年度投入800万元,以后每年投入将比上年减少,本年度当地旅游业收入估计为400万元, 由于该项建设对旅游业的促进作用, 预计今后的旅游业每年会比上年增加(1) 设年内(本年度为第一年)总投入为万元, 旅游总收入为万元, 写出的通项公式;(2) 至少经过几年, 旅游业的总收入才能超

11、过总投入?解析: (1)第1年投入800万元, 第2年投入800万元,第年投入万元，所以年内的总投入为 旅游业第1年收入400万元, 第2年收入400(1+)万元,第年收入万元, 所以年内的总收入为 (3) 设至少经过年旅游业的总收入才能超过总投入, 由 即化简得 设代入, 得解得(舍), 即, 即从而至少经过5年旅游业总收入才能超过总投入.求解策略 解数列应用题的关键是将实际问题转化为数列问题(等差、等比数列、递推关系模型), 然后利用相关知识求解. 解题时首先要读懂题目, 理解题意, 对陌生的背景、文字叙述比较长的题目, 要充满信心, 从问题中尽可能多地获取信息, 大胆联想, 合理转化为我

12、们熟悉的问题.总之, 数列综合题常常是数列与函数、不等式、几何等知识点的交汇, 因此要加强数学知识的综合运用, 要有意识的运用函数方程思想、转化思想和分类讨论的思想来探求解题思路，同时要鼓励合理的猜想、要重视数学归纳法的运用.四、教法分析新的课程标准指出, 教学过程也是学生的认识过程, 学生在教学活动中始终处于主体地位, 教师则应成为学习活动的促进者, 而非单纯的知识传授者, 其基本任务也就在于促进和增强学生的数学学习过程. 根据本节内容的特点和学生的认知规律, 我采用: 问题探究式、启发发现式等方法进行教学, 同时采用讨论式组织课堂教学. 在教学中我都是先提出问题, 让学生观察分析、自主探索

13、、归纳总结, 从而真正使学生养成独立思考, 仔细观察, 认真分析, 严谨推理的学习习惯, 并提高他们的自学能力与探索意识.同时鼓励学生相互交流，从而促使学生真正成为自觉投入且积极建构的学习活动中的主体.五、评价分析本节内容的设计从教学内容的引入、展开、揭示等方面出发, 教给学生探求知识的方法, 教会学生应用所学知识解决问题的能力. 本节教学设计以发展学生的思维能力为中心, 以转化为主线, 注重展示学生的思维过程, 注重让学生参与知识的形成过程, 由特殊到一般, 由易到难, 一环扣一环, 从而增强他们学好数学的信心. 同时以问题为载体, 让学生经历主动参与, 积极探求的过程, 让学生观察、归纳、

14、总结、反思,因而有效的实现了教学目标,发展了学生的能力.六、教学过程设计本节内容共分两个课时, 数列各部分知识、数列与函数、数列与不等式的综合为第一课时, 数列与解析几何的综合和数列的应用题为第二课时.第一课时共分五个环节, 具体安排如下:复习回顾 教师开门见山点出主题, 并引导学生回顾数列的有关性质.课前热身 教师给出三个小题, 让学生先练习, 教师进行行间巡视, 个别辅导, 然后请学生回答, 教师再作补充.范例分析 将复习目标题型化, 通过三个典型例题, 让学生在具体问题中理解知识, 掌握方法, 这样能使学生理解更加具体、深刻. 该环节先让学生独立思考、自主练习, 然后教师采用“焦点访谈”

15、式的教学, 在焦点(难点、疑点、迷点、易错点)启发学生寻找突破口, 通过访谈(请同学回答), 集中学生的智慧,让学生的思维在关键处闪光, 能力在要害处增长, 缺点在细微处暴露, 意志在艰难处磨砺. 通过访谈, 实现师生之间、学生之间智慧和能力互补, 并促进心灵和感情的沟通. 归纳总结 提炼本节课的要点, 归纳主要涉及的数学思想方法、技巧、规律. 这一环节先让学生回答, 然后教师适当补充、完善.巩固练习 本节课共布置练习六个, 其中最后两题为选作题(为第二节课作铺垫).以上是我的想法, 不足之处, 敬请各位专家批评指正.七、附：教案 数列综合问题（第一课时）教学目标：1、 知识目标: 进一步巩固

16、数列有关知识, 构建数列、函数、不等式交互知识体系,探索数列综合问题的求解策略.2、 能力目标: 以发展思维能力为核心, 培养学生观察、分析、归纳、概括等能力,培养学生分析、解决问题的能力.3、 情感目标: 激发学生勤于思考、勇于探索的精神, 培养学生战胜难题的信心.重点、难点:重点: 数列知识的综合应用.难点: 以数列为工具解决与函数、不等式的综合问题.教学过程:(一) 课题引入 开门见山提出课题(二) 知识回顾 引导学生复习回顾数列的有关性质(三) 课前热身 (投影)1.(2005年天津卷) 在数列中, ,则S100= .2. (2005年湖南卷)已知数列满足, 则=( )A. 0 B.

17、C. D. 3. 已知数列中,则在前30项中最大项和最小项分别是( )A. B. C. D.由学生练习, 教师请学生分析, 再作补充.(四) 范例分析 (投影)例1. 已知数列为等差数列(公差), 中的部分项组成的数列为等比数列, 其中, 求的值.解析: 由题意得, 即, . 在等比数列中, 公比又 又是等差数列的第项, = 师生共同归纳小结: 例2. 已知函数是定义在R上的不恒为零的函数, 且对于任意的, 都满足 若.求证: 数列是等比数列.分析一: 由于已知条件只有函数关系式和的表达式, 要求证数列是等比数列, 最关键是求出, 可以尝试数学归纳法.证法一: 由已知可得: 猜想: 用数学归纳

18、法证明(略).分析二: 将所给函数关系式适当变形, 根据其形式特点构造另一个函数, 设法用此函数求出.证法二: 当时, 由可得: ,令 上式为: 分析三: 设法将转化为熟悉的数列.证法三: 所以, 即是公差为 首项为的等差数列.师生共同归纳小结:例3. (2004年重庆卷)设数列满足对一切正整数成立； 并说明理由.(2) 法一: (数学归纳法) 当时, 不等式成立.假设时, 成立. 当时, 即时, 成立.综上, 可知对一切正整数成立.法二: (数学归纳法) 当时, 不等式成立.假设时, 成立. 当时, 由函数的单调性和归纳假设有.因此只需证: , 即证只需, 显然成立.即时, 结论成立. 因此, 对一切正整数成立.法三: 由递推