曲线曲面积分部分难题解答

1、曲线、曲面积分部分难题解答1（P201,第1题）计算下列标量函数的曲线积分（第一型曲线积分）：（），为抛物线上从原点到点的弧；（），为联结点、和的三角形围线；（），为圆周；（），为螺线的 一段弧；（），为曲线上从点到的一段弧.解：（），（令）（）解：;， （）解法一：所以，解法二：化为极坐标表示：所以，（） 2（P201,第2题）设有某种物质分布在椭圆上，其密度求它的总质量.解：不妨假设，其中（公式）3（P202,第3题）设曲线的长度为，而函数在包含的某个区域内连续.证明： 证明：由第一型曲线积分的定义故 4（P202,第4题）从原点到点沿下列不同路径分别计算第二型曲线积分 （1）.为直线段；

2、（2）.为抛物线上的弧；（3）.为从点经点到点的折线.解：（1）（2）（3）5（P202,第5题）计算曲线积分（1）.为从点点的上半圆周；（2）.为从点点的直线段；（3）.为逆时针方向的圆周解：（1） .（2）（3）.6（P202,第6题）计算沿逆时针方向的圆周的曲线积分解：，所以，7（P202,第7题）计算下列曲线积分，曲线的方向与参数增加方向：（），为抛物线；（），为折线；（），的参数方程为；解：（）（）设点则; 原式（）8（P202,第8题）设曲线的长度为，而函数在包含的某个区域内连续.证明： 证明：设由第二型曲线积分的定义及柯西不等式故 9（P209,第1题）求下列曲面块的面积：（）球

3、面包含在圆柱面内的那部分面积；（）圆锥面被圆柱面截下的那一部分；（）圆柱面被圆柱面截下的那一部分.解：（）画出示意图. 将曲面方程化为，则.（）画出示意图. 由曲面方程，得.（）利用对称性（仅在第一卦限内计算），曲面（为在第一卦限的那部分，其面积设为）向面上的投影区域为. 将曲面方程化为，则，所以，.10（P209,第2题）求下列曲面积分：（），式中为四面体的表面；（），式中为圆柱体的表面；（），式中为球面的表面.解：（）其中 ，；，；，；，；（）其中 ，；，；其向面上的投影区域为. 将曲面方程化为，则 ，所以，或者（）由积分区域的对称性，及被积函数的奇偶性知，显然11（P210,第3题）证明

4、泊松公式其中为球面，为连续函数.证明：取新的空间直角坐标系，其中原点不变，使坐标平面与平面重合，并使轴垂直于平面.则有 其实根据坐标系选取方法的描述，我们不难看出轴上的单位向量就可取作平面的单位法线向量.则（注意到，显然为点到平面的距离）.则 显然在新坐标系下，球面的形状并未改变（仍记为），且它的方程应为（因为在新的坐标系下，任何一个球面上的点到原点的距离仍然为1.）得： 当固定时，表示垂直于轴平面上的一个圆周.进一步，我们把化为参数方程表示：因此， 曲面的元素故12（P210,第4题）设某种物质均匀分布在球面上（认为分布密度）.求它对于轴的转动惯量.解：由公式 由对称性其中，则，所以，.因此

5、 13（P217,第1题）沿圆锥面的下侧，求曲面积分，其中解：化为第一型曲面积分计算.的向下的法向量，所以故（根据第一型曲面积分的计算方法）14（P217,第2题）沿椭球面的外侧，求曲面积分解：把分割为两个部分.其中，（上侧）；（下侧）.向面上的投影区域均为故作变量代换： 由二重积分的换元法. 其中 所以所以，由轮换对称性，知： ；故15（P217,第3题）沿球面的外侧，求曲面积分解：把分割为两个部分.其中，（上侧）；（下侧）.向面上的投影区域均为 故 作变量代换： 由二重积分的换元法. 其中 所以（1）同理；由轮换对称性，知： ； 故16（P217,第4题）设为长方体的表面.沿外侧求曲面积分

6、 解：把分割为六个部分.其中 的上侧；的下侧；的前侧；的后侧；的右侧；的左侧.注意到除外，其余四片曲面在面上的投影为零，因此17（P225第1题）利用格林公式计算下面的曲线积分（的方向为正方向）：（），为圆周；（），为椭圆；（），为曲线；（），为区域；18（P225第2题）求，（为常数）其中是自点经过圆周的上半部分到点O(0,0)的半圆周.（提示：作辅助线后用格林公式）.解：. 所以，由格林公式：. 所以， （因为，）19（P225第5题）设函数在正半轴上有连续导数且若在右半平面内沿任意闭合光滑曲线，都有求函数解：，都是右半平面上的连续函数，由于在右半平面内沿任意闭合光滑曲线，都有故有 即 化

7、简，得 （1）为一阶线性微分方程，其通解为 代入条件，得 故 20（P226第6题）设是以光滑曲线为正向边界的有界闭区域，而函数在闭区域上具有连续的二阶偏导数且记证明：其中 表示函数沿边界曲线外法线方向的方向导数.证明：设为曲线的正向的切线向量，其方向余弦为、，则有，故 ，（由两型曲线积分之间的联系）（格林公式） 21（P226第7题）在第6题的假设和记号下，证明：证明：仿上题 （由两型曲线积分之间的联系）（格林公式）移项，即得 22（P227第8题）格林第二公式若函数和都满足第6题中的假设，证明：证明： （由两型曲线积分之间的联系）（格林公式） （1）由轮换对称性，知 （2）于是23（P22

8、7第9题）计算高斯(Gauss)积分其中为简单（光滑）闭合曲线，为不在上的点到上动点的向量，而为上动点处的法向量.解：设为曲线的正向的切线向量，其方向余弦为、，则有 ，又设 ，则故记 则它们在平面内除点外处处连续，且（一） 若点在所包围的区域外，原式=0；（二） 若点在所包围的区域内，以点为中心作一个充分小的圆取逆时针方向，使之完全包含在为边界的区域内.记介于和之间的区域为.则在由格林公式可得：所以，（格林公式）.24（P227第10题）利用斯托克斯公式重新计算积分（例3）其中是曲线方向为从轴正方向往负方向看去是顺时针方向.解一：由斯托克斯公式.取为平面上由椭圆所围成的那一小块曲面.（取下侧）

9、，因此,）解二：（直接计算）其中，所以，.25（P238第1题）下面的向量场是否为保守场？若是，并求位势解：（1）这里，因为，所以是定义在全平面上的保守场.所以，是某一个函数的全微分.故可取则，所求的位势为 解：这里；所以，为定义在全空间上的保守场.所以，是某一个函数的全微分.（二）现取取如图所示，从沿轴到点再沿平行于轴的直线到点最后沿平行于轴的直线到点于是则，所求的位势为 26（P238第2题）证明式（14-31），并由此求下面的曲线积分：解：（一）要证式（14-31）成立，即要证若平面区域内保守力场有位势，则对内的任意两点，有事实上，因为为保守力场，故在内与路径无关，而只取决于路径的起点、

10、终点.令 （1）则可证明也是在内的一个势函数.故 ，对任意成立 （2）取，并注意到（因为沿闭合曲线的积分为零），得（2）式中再取，并注意到得即 又由（1）式，注意到的记号，得（二）中，因为 ，所以，是某一个函数的全微分.故可取所以 中，因为；所以，是某一个函数的全微分.（二）现取取如图所示，从沿轴到点再沿平行于轴的直线到点最后沿平行于轴的直线到点于是所以 27（P238第5题）验证下列方程我全微分方程，并求通解：解：这里，.因为，是全微分方程.故：通解为：.这里，.因为，所以方程是全微分方程.故：因此，所求方程的通解为：.28（P238第6题）设函数在凸区域（即包含区域内任意两点间的连线）内连

11、续可微分且（常数）.证明：对于内任意两点，都有 其中表示点之间的距离.证明：由于为凸区域，故线段整个属于.设点的坐标为，点的坐标为，且令 考虑一元函数 （1）显然， （2）且在上可微，并且 （3）于是，由微分学中值定理知 （4）由（4）式可知 29（P238第7题）求向量场沿下列曲线的环量：（）为圆周；为圆周（分为左、右半圆周分别计算）.解：（）（格林公式） （）30（P238第8题）求其中解：31（P238第9题）证明： .解：设，则31（P246第1题）利用奥-高公式计算下列各曲面积分：（），沿球面外侧；（），沿正方体外表面；（），沿锥面的下侧；（）沿上半球面的上侧.解：（）（奥-高公式）

12、（）（奥-高公式）=3（）若取（上侧）.则与一起构成一个封闭曲面.记它们所围成的空间闭区域为.在上利用奥-高公式，便得： （奥-高公式）（）所以 （）沿上半球面的上侧.若取（下侧）.则与一起构成一个封闭曲面.记它们所围成的空间闭区域为.在上利用奥高公式，便得：32（P246第2题）设为光滑封闭曲面，为常向量.证明：为上点处的单位外法向量证明：设（奥-高公式）33（P246第3题）证明等式其中为包围空间有界区域的光滑封闭曲面，为曲面上动点处的单位外法向量，为连接定点与动点处的向量证明：设33（P247第4题）计算高斯积分其中为光滑封闭曲面，为上动点处的外法向量，点，为连接点与动点处的向量，证明：

13、设；记所围成的区域为（1）当曲面不包围定点时，则故由奥高公式， （2）当曲面包围定点时，则我们以点为中心，以为半径作一球包围在曲面内，此球面记以（取外侧）.将奥高公式用于上，则有33（P247第5题）设光滑曲面包围有界闭区域，而函数在闭区域上二阶连续可微分.证明证明：方向导数 ，其中.则（奥高公式）34（P247第6题）在第5题的假设下，函数也在上二阶连续可微分.证明：（格林第一公式）；（格林第二公式）证明：（1）（奥高公式）（奥高）35（P247第7题）调和函数 若函数在区域（或闭区域）上二阶连续可微分，且则称函数在上为调和函数. 设函数光滑曲面包围有界闭区域上二阶连续可微分，且在内有（即是

14、调和函数）.证明：（）；（提示：见第5题）（）（提示：见格林第一公式）；（），式中点为区域内的点，是连接点与曲面上动点的向量，而为上动点处的外单位法向量（提示：利用格林第二公式）.证明：（）由P247第5题的结论知（）由格林第一公式，知（）令则；同理有；同理；当时，现我们以点为球心，且以足够小为半径作一球包围在曲面内，此球面记以（取外侧）.将格林第二公式即用于上（这里，）；所以于是式由端第一项（因为（）：）式右端第二项（因为）注意到在球面（外侧）上，又故式中第二项（由积分中值定理）其中为球面上一点.当时，故式中第二项因此式最终化为注意到式左端其实与无关，所以即36（P248第8题）设函数以点为球心且以为半径的闭球上为调和函数，为该球的球面.证明：（平均值定理）（即球心的函数值等于球面上所有函数值的平均值）.证明：根据P247第7题之（），知（因为P247第7题之（）：）37（P248第9题）求向量场自内向外穿出球面的通量.解：所求通量即为（奥高公式）38（P248第10题）求向量场自内向外穿出圆柱体表面的通量.解：所求通量即为（奥高公式）39（P248第11题）证明：（）（）证明：（）设则 （）由于故 40（P248第12题）设，二阶连续可微分.（）求（）在什么条件下？解：（）同理同理 ；因此 要