思维特训(十)　因图形运动产生的相似三角形存在性问题

1、.思维特训十因图形运动产生的相似三角形存在性问题方法点津 ·存在性问题本质是一种条件开放探究问题，这类题的特点是在某些条件不明确的情况下，探究发现某种关系是否存在解题思路一般是先假设结论存在，然后由假设与条件出发进展推理论证假设得出的结论符合条件，那么结论存在；假设得出的结论不符合条件或与定理、根本领实等相矛盾，那么结论不存在典题精练 ·类型一有两个对应顶点不确定的相似三角形存在性问题此类题的特点是由题目条件或推出的条件可知要求相似的两个三角形有一个顶点的对应关系已确定，而另两个对应顶点的对应关系不确定此时需要分两种情况讨论，然后根据不同的对应关系列比例式或其他等量关系式得

2、方程解题1平面直角坐标系中，点O0，0，A0，2，B1，0，P是反比例函数y的图象上的一个动点，过点P作PQx轴，垂足为Q.假设以点O，P，Q为顶点的三角形与OAB相似，那么相应的点P共有A1个B2个C3个D4个2如图10Y1，在平面直角坐标系xOy中，直线yx3与x轴交于点C，与直线AD交于点A，点D的坐标为0，11求直线AD的函数解析式；2直线AD与x轴交于点B，假设E是直线AD上一动点不与点B重合，当BOD与BCE相似时，求点E的坐标图10Y13如图10Y2，抛物线经过点A2，0，B3，3及原点O，顶点为C.1求抛物线的函数解析式2假设P是抛物线上第一象限内的动点，过点P作PMx轴，垂足

3、为M，是否存在点P，使得以P，M，A为顶点的三角形与BOC相似？假设存在，求出点P的坐标；假设不存在，请说明理由图10Y24如图10Y3，抛物线经过A4，0，B1，0，C0，2三点1求抛物线的函数解析式2P是抛物线上一动点点P不与点A，B，C重合，过点P作PMx轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A，P，M为顶点的三角形与OAC相似？假设存在，恳求出符合条件的点P的坐标；假设不存在，请说明理由图10Y35如图10Y4，在平面直角坐标系xOy中，直线yx4分别与坐标轴交于A，B两点，过A，B两点的抛物线为yx2bxc.D为线段AB上一动点点D不与点A，B重合，过点D作CDx轴于点C，交抛物线于点E

4、，连接BE.1求抛物线的解析式2连接AE，BC，当DE4时，求四边形CAEB的面积3是否存在点D，使得DBE和DAC相似？假设存在，求出点D的坐标；假设不存在，请说明理由图10Y46如图10Y5，在RtABC中，ACB90°，AC5 cm，BAC60°，动点M从点B出发，在BA边上以每秒2 cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒 cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒0t5，连接MN.1假设BMBN，求t的值；2假设MBN与ABC相似，求t的值；3当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值图10Y5类型二三个对应顶点均不确定的相似三角

5、形存在性问题此类题的特点是由题目条件或推出的条件无法确定要求相似的两个三角形的顶点的对应关系此时需要分三种情况讨论，然后根据不同的对应关系列比例式或其他等量关系式得方程解题7如图10Y6，菱形ABCD的边长为2 ，点A在x轴的负半轴上，点B为坐标原点，点D的坐标为，3，抛物线yax2ba0经过AB，CD两边的中点1求这条抛物线的函数解析式2将菱形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向匀速平移如图，过点B作BECD于点E，交抛物线于点F，连接DF，AF.设菱形ABCD平移的时间为t秒0t3，是否存在这样的t，使ADF与DEF相似？假设存在，求出t的值；假设不存在，请说明理由图10Y6详解详

6、析1D解析 P是反比例函数y的图象上一点，设点P的坐标为x，y假设PQOAOB，那么，即.xy1，x±，点P的坐标为或；同理，当PQOBOA时，求得点P的坐标为或.故相应的点P共有4个2解：1设直线AD的函数解析式为ykxb.将点A，D0，1的坐标代入ykxb，得解得故直线AD的函数解析式为yx1.2直线AD与x轴的交点坐标为2，0，OB2.点D的坐标为0，1，OD1.直线yx3与x轴交于点C3，0，OC3，BC5.当BODBCE时，如图所示，过点C作CEBC交直线AB于点E.，CE，x1，解得x3，此时点E的坐标为.当BODBEC时，如图所示，过点C作CEAB于点E，过点E作EFB

7、C于点F，那么，CE，BE2 ，BE·CEEF·BC，2 ×EF×5，EF2，x12，解得x2，此时点E的坐标为2，2故当BOD与BCE相似时，满足条件的点E的坐标为或2，23解：1设抛物线的函数解析式为yax2bxca0，将点A2，0，B3，3，O0，0的坐标分别代入解析式可得解得故抛物线的函数解析式为yx22x.2存在如图，B3，3，C1，1，根据勾股定理，得BO218，CO22，BC220.BO2CO2BC2，BOC是直角三角形假设存在点P，使以P，M，A为顶点的三角形与BOC相似，设Px，y，由题意知x0，y0，且yx22x，那么AMx2，BO3

8、 ，PMyx22x，CO.假设AMPBOC，那么，即AM·COBO·PM，即x23 x22x，解得x1，x22舍去当x时，y，即P；假设PMABOC，那么，即AM·BOCO·PM，即3 x2x22x，解得x13，x22舍去当x3时，y15，即P3，15故符合条件的点P有两个，其坐标分别是或3，154解：1该抛物线过点C0，2，可设该抛物线的函数解析式为yax2bx2.将A4，0，B1，0的坐标代入函数解析式，得解得此抛物线的函数解析式为yx2x2.2存在如图，设点P的横坐标为m，那么点P的纵坐标为m2m2.当1<m<4时，AM4m，PMm2m

9、2.COAPMA90°，当时，APMACO，即4m2，解得m12，m24舍去，P2，1；当时，APMCAO，即24mm2m2.解得m14，m25，均不合题意，舍去当1<m<4时，P2，1类似地可求出当m>4时，P5，2当m<1时，P3，14综上所述，符合条件的点P的坐标为2，1或5，2或3，145解：1在yx4中，令x0，得y4；令y0，得x4，A4，0，B0，4点A4，0，B0，4在抛物线yx2bxc上，解得抛物线的解析式为yx23x4.2设点C的坐标为m，0m0，那么OCm，AC4m.OAOB4，BAC45°，ACD为等腰直角三角形，CDAC4m

10、，CECDDE4m48m，点E的坐标为m，8m点E在抛物线yx23x4上，8mm23m4，解得m2，C2，0，ACOCCD2，CE6，S四边形CAEBSACESECB×2×6×2×612.3存在设点C的坐标为m，0m0，那么OCm，CDAC4m，BDOCm，那么Dm，4mDAC为等腰直角三角形，DBE和DAC相似，DBE必为等腰直角三角形假设BED90°，那么BEDE.BEOCm，DEBEm，CE4mm4，Em，4点E在抛物线yx23x4上，4m23m4，解得m0不合题意，舍去或m3，D3，1；假设EBD90°，那么BEBDm，在等腰

11、直角三角形EBD中，DEBD2m，CE4m2m4m，Em，4m点E在抛物线yx23x4上，4mm23m4，解得m0不合题意，舍去或m2，D2，2综上所述，存在点D，使得DBE和DAC相似，点D的坐标为3，1或2，26解：在RtABC中，ACB90°，AC5 cm，BAC60°，AB10 cm，BC5 cm.由题意知BM2t cm，CNt cm，BN5 tcm.1由BMBN，得2t5 t，解得t10 15.2当MBNABC时，有，即，解得t；当NBMABC时，有，即，解得t.当t或t时，MBN与ABC相似3过点M作MDBC于点D，可得MDt cm.设四边形ACNM的面积为y

12、cm2，那么ySABCSBMNAC·BCBN·MD×5×5 ×5 t·tt2tt2，根据二次函数的性质可知，当t时，四边形ACNM的面积最小，最小值为 cm2.7解：1由题意得AB的中点的坐标为，0，CD的中点的坐标为0，3，将这两点的坐标分别代入yax2b，得解得这条抛物线的函数解析式为yx23.2存在在RtBCE中，BEC90°，BE3，BC2 ，根据勾股定理得EC，C60°，CBE30°，DE.又ADBC，ADCC180°，ADC180°60°120°.要使ADF与DEF相似，那么ADF中必有一个角为直角I假设ADF90°，那么EDF120°90°30°.