九年级数学上册思维特训(十四)　圆内接正三角形的一个性质的拓展应用

1、.思维特训十四圆内接正三角形的一个性质的拓展应用方法点津 ·根本图形与结论：解题原理：正三角形的性质、圆周角的性质以及全等三角形的性质结合解题方法：截长补短法典题精练 ·1：如图141，ABC是O的内接正三角形，P为上一点不与点B，C重合1如图，假设P是的中点，那么PBPC_PA填“或“；2如图，当点P在上挪动时，1中的结论还成立吗？请说明理由图1412如图142，等边三角形ABC内接于O，P为O上异于A，B，C的动点当P为弦BC所对的优弧上一点时，连接PA，PB，PC，猜测PA，PB，PC之间的数量关系图14232019·广州如图143，C为ABD的外接圆上的一

2、动点点C不在上，且不与点B，D重合，ACBABD45°.1求证：BD是该外接圆的直径；2连接CD，求证：ACBCCD.图1434如图144，正方形ABCD内接于O，P为上一点，试判断PC，PA，PB之间的数量关系，并证明图1445阅读理解：1如图145a，假设在ABC所在平面内存在一点P，使它到三角形各顶点的间隔 之和最小，那么称点P为ABC的费马点，此时PAPBPC的值为ABC的费马间隔 ；2如图b，假设四边形ABCD的四个顶点在同一圆上，那么有AB·CDBC·ADAC·BD.此为托勒密定理图145知识迁移：1请你利用托勒密定理，解决如下问题：如图14

3、6a，点P为等边三角形ABC外接圆的上任意一点求证：PBPCPA；2根据1中的结论，我们有如下探寻ABC其中A，B，C均小于120°的费马点和费马间隔 的方法：第一步：如图146b，在ABC的外部以BC为边作等边三角形BCD及BCD的外接圆；第二步：在上任取一点P，连接PA，PB，PC，PD.易知PAPBPCPAPBPCPA_；第三步：请你根据上面“阅读理解1中的定义，在图146b中找出ABC的费马点P，并指出线段_的长度即ABC的费马间隔 图146知识应用：三村庄A，B，C构成了如图147所示的ABC其中A，B，C均小于120°，现选取一点P打水井，使从水井P到三村庄A，

4、B，C所铺设的输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值图147典题讲评与答案详析1解：12成立理由如下：方法1：如图，在PA上截取PEPC，连接CE.APCABC60°，且PEPC，PEC为等边三角形，CEPC，PCE60°.又ACB60°，ACEBCP.在ACE和BCP中，ACEBCP，EAPB，PBPCPA.方法2：如图，延长BP至点E，使PEPC，连接CE.ABC为等边三角形，ACBC，BACACB60°.A，B，P，C四点共圆，BACBPC180°.又BPCCPE180°，CPEBAC60°.又PEPC，PCE是等边

5、三角形，ECPC，EPCE60°.BCE60°BCP，ACP60°BCP，BCEACP.在BEC和APC中，BECAPCSAS，EBPA.又EBPBPE，PEPC，PAPBPC.2解：当点P在劣弧AB上时，有PCPAPB；当点P在劣弧AC上时，有PBPAPC.3证明：1，ADBACB45°.又ABD45°，BAD90°，BD是该外接圆的直径2如图，在CD的延长线上截取DEBC，连接AE.ABDADB，ABAD.ADEADC180°，ABCADC180°，ABCADE.在ABC与ADE中，ABCADESAS，BACD

6、AE，从而BACCADDAECAD，即BADCAE90°.，ACDABD45°，CAE是等腰直角三角形，ACCE.又CECDDE，DEBC，ACBCCD.4.解：PAPCPB.证明如下：如图，过点B作BEBP，交AP于点E，连接AC.四边形ABCD为正方形，ABCB，ABC90°，ACB45°.ABECBE90°，CBPCBE90°，ABECBP.ACB45°，APB45°，BEP45°，从而EBPB，EPPB.在ABE和CBP中，ABECBPSAS，EAPC.又PAEAEP，EPPB，PAPCPB.5解：知识迁移：1证明：由托勒密定理可知PB·ACPC·ABPA·BC.ABC是等边三角形，ABACBC，PBPCPA.2第二步：PD第三步：连接AD，交圆于点P，点P即为所求，线段AD的长度即ABC的费马间隔 知识应用：如图，以BC为边在ABC的外部作等边三角形BCD，连接AD，那么线段AD的长即为输水管总长度的最小值BCD为等边三角形，BC4 km，CBD6