基于FFT 变换的平面瞬态近场声全息

1、基于FFT 变换的平面瞬态近场声全息    摘 要：本文推导了平面瞬态近场声全息的重建公式。平面瞬态近场声全息实际上是在平面稳态近场声全息的基础上增加了一维对时间的傅利叶变换，从而对全息面上每一频率所对应的波数谱，运用稳态近场声全息的重建公式实现对重建面上波数谱的重建，最后对求得的所有频率上的波数谱叠加并进行反变换来获得重建面上的瞬态声压。数值仿真证明了基于FFT变换的平面瞬态近场声全息的可行性。关键词：平面瞬态近场声全息；平面稳态近场声全息；波数谱中图分类号：4320，43631 引言目前，近场声全息技术（NAH）已成为一种有效地进行声场重建的工具，国

2、内外学者对此做了大量的研究，但这些研究大多集中在稳态辐射声场的重建1,2，而在实际的工程应用中，许多声源辐射的声场为瞬态声场，例如发动机急刹车时的制动尖叫噪声，医学超声诊断中的脉冲压电传感器产生的瞬态声场等，对于这样的瞬态声场，不仅要了解它的空间分布特征，而且要了解它的时间分布特点。1995 年，Wang3在其博士论文中第一次对瞬态声场进行了重建，作者首先运用HELS 方法重建出频域中的声学量，再通过反傅利叶变换获得时域信号；1999 年，Hald4运用声场的非稳态空间变换法（NS-STSF）重建了时域声场，该方法利用二维传声器阵列测得全息面上一段时间内的声压，对该声压进行三维傅利叶变换后带入

3、重建公式获得重建面上的声压谱，对该声压谱再进行三维傅利叶反变换即可得到时域信号。2005 年, Jean-Hugh Thomas 等5提出了Real-Time 近场声全息，该方法将测得的全息面声压信息只进行空间域的二维傅利叶变换得到全息面声压波数谱，将该全息面声压波数谱与脉冲响应函数的逆函数在时域内做卷积，再进行二维傅利叶逆变换即可求得时域信号。本文首先将对基于FFT 变换的平面瞬态NAH 的重建公式进行推导，平面瞬态NAH 的基本思想是通过对测得的全息面声压进行时间傅利叶变换获得其频谱，再对每一频率所对应的全息面声压进行二维空间傅利叶变换获得其波数谱，并运用稳态NAH 的重建公式求得重建面上

4、的波数谱，将求得的所有频率的波数谱叠加进行三维反变换，即可获得重建面上的瞬态声压。随后通过数值仿真验证基于FFT 变换的平面瞬态NAH 的可行性。2 平面瞬态NAH 重建公式的推导在z 0 的空间中，声压场满足齐次波动方程( , , , ) 1 ( , , , ) 0 2222 = tp x y z tcp x y z t ， z 0 （1）定义p(x, y, z,t) 的三维傅利叶变换和逆变换分别为P k k z p x y z t e dxdydt i k x k y tx yx y + = ( ) ( , , , ) ( , , , ) （2）本课题得到高等学校博士学科点专项科研基金(项

5、目编号：200603590037)的资助。 p x y z t P k k z e dk dk d x yi k x k y tx y( x y )3 ( , , , )(2 )( , , , ) 1 + = （3）对公式（1）作三维傅利叶变换得( , , , ) 0( , , , ) 222+ =k P k k zzP k k zz x yx y ， z 0 （4）式中， 2 2 2 2z x y k = k k k 。由公式（4）解得ik zx y x yP(k , k , z, ) = P(k , k ,0, )e z ， z 0 （5）继而由公式（5）可以推得( , , , ) ( ,

6、 , , ) ikz ( zh zs )x y s x y h P k k z = P k k z e ， h s z > z （6）式中，下标s 代表重建面，下标h 代表全息面。上述公式（6）构成了平面瞬态NAH 的基本公式。若对公式（6）作三维傅利叶逆变换可得 p x y z t P k k z e dk dk d x yi k x k y ts x y s( x y )3 ( , , , )(2 )( , , , ) 1 + = （7）由公式（7）就可以获得整个重建面上的声压的空间分布信息和重建面上任意一点的声压的时间变化信息。在公式（6）中，当 取某一确定的值时，该公式即为稳态声

7、场的重建公式，由此可将平面瞬态NAH 的基本思想表述为通过对测得的全息面声压进行时间傅利叶变换获得其频谱，再对每一频率所对应的全息面声压进行二维空间傅利叶变换获得其波数谱，并运用稳态NAH 的重建公式求得重建面上的波数谱，将求得的所有频率的波数谱叠加进行三维反变换，即可获得重建面上的瞬态声压。3 数值仿真图3 活塞、重建面、全息面位置关系图设一个固定在无限大障板上的圆形活塞（如图3 所示），活塞半径为a=0.1m，圆心位于直角坐标系原点，平面障板位于z = 0 的平面上。圆形活塞表面法向振速的时间分布形式为Gaussian 脉冲形式( 5.26( / 0.5)2 ) ( ) = t t p v

8、 t e （8）式中， p t 为脉冲宽度，在此取m smct a p 340 /10 10× 0.1= = 。活塞表面法向振速的空间分布形式为简支分布形式( ) 1 ( / )2 0 0 v r = A r a （9）在此取A =1。设全息面位于h z =0.0408 的平面上，重建面位于s z =0.0136 的平面上，全息面测量孔径大小为0.4m×0.4m，测量间隔为0.02m。采样时间长度为0.04s ，采样频率为25KHz。为抑制谱泄露，对时域信号添加了Gaussian 窗40.5( 2 )2Ni Ni w e=， i = 0, 1, L N 1 （10）式中，

9、N 是采样点数，选取 =2.6。为减小高波数误差成分对重建结果的影响，在波数域采用了一种低通滤波器6 > = r ck kr ck kx y e k ke k kW k kr cr c(1 / ) /( / 1) /0 .51 0 .5( , ) （11）式中， 2 2r x y k = k + k ， c k 为截止波数，可根据实际情况灵活选择， 为窗函数陡度系数，在此选为0.1。图4 t=0.0012s 时的重建面理论声压值 图5 t=0.0012s 时的重建面重建声压值图6 t=0.002s 时的重建面理论声压值 图7 t=0.002s 时的重建面重建声压值图8 t=0.0024s

10、 时的重建面理论声压值 图9 t=0.0024s 时的重建面重建声压值全息面上的测量声压值和重建面上的理论声压值均采用脉冲响应法7计算得到。下面对声场中同一时刻重建面上的理论声压值和重建声压值进行比较，分别取t=0.0012s、t=0.002s、t=0.0024s 三个时刻，图4、图6、图8 是直接采用脉冲响应法计算所得的理论声压值，图5、图7、图9 是采用上述重建方法所得的重建声压值。比较理论值和重建值可以看出，两者是比较吻合的，只是在重建面边缘处和峰值最大处存在一定的误差。为了定量地表示两者的一致性，定义两者的均方误差计算公式为：100%11 2 ×=PP P （12）式中， 1

11、 P 表示理论声压值， 2 P 表示重建声压值。采用公式(12)分别计算了t=0.0012s、t=0.002s、t=0.0024s 三组数据的均方误差，误差分别为13.59%，16.26%，13.63%。由此可以看出采用上述重建方法所得的重建面声压能够较好地反应其真实的空间分布特征。为了了解重建面上任意一点处的声压的时间分布特点，分别选取了坐标为(-0.2m,-0.2m)、(-0.1m,-0.1m)、(0m,0m)三个点，三个点处的理论声压值和重建声压值如图10、图11、图12 所示。图10 重建面上点(-0.2m, -0.2m)处的声压值 图11 重建面上点(-0.1m, -0.1m)处的声

12、压值图12 重建面上点(0m, 0m)处的声压值由上述三组图可以看出，位于重建面边缘处的点(-0.2m,-0.2m)的重建声压值滞后于理论声压值，且在时间最开始阶段存在一定的振荡，而远离重建面边缘的点(-0.1m,-0.1m)、点(0m,0m)处的重建声压值与理论声压值吻合地较好。采用公式(12)计算了(-0.2m,-0.2m)、(-0.1m,-0.1m)、(0m,0m)三组数据的均方误差，误差分别为30.14%、7.28%、12.34%。由此可以看出采用上述重建方法所得的重建面声压也能够较好地反应其真实的时间分布特点。4 结论为实现对平面瞬态声场的重建，以研究平面瞬态声场的空间分布特征和时间

13、变化特点，论文对平面瞬态NAH 的重建公式进行了推导，平面瞬态NAH 实际上是在平面稳态NAH 的基础上增加了一维对时间的傅利叶变换，从而在频域中对每一频率所对应的波数谱运用稳态NAH 的重建公式实现对重建面上波数谱的重建，最后对求得的所有频率上的波数谱叠加并进行反变换，即可获得重建面上的瞬态信息。随后的数值仿真证明了平面瞬态NAH 的可行性。由于瞬态声场在时间上不具有可重复性，因而在实际测量中就需要一次性获得整个全息面上的声压信息，这就对传声器个数和性能、计算机存储能力和计算能力提出了较高的要求，但随着传声器技术和计算机技术的不断发展，在实际的工程应用中实现对瞬态声场的重建已成为可能。由于在

14、重建过程中，许多参数的选取（例如全息面到重建面距离，传声器个数，采样频率等）对重建结果有着重要的影响，接下来的工作将会对这些参数的选取做进一步的研究。参考文献1 Williams E G, Maynad J D, Holographic imaging without the wavelength resolution limitJ, Phys. Rev. Lett.,1980, 45:554-560.2 Maynad J D, Williams E G, Lee Y. Nearfield acoustic holography I: Theory of generalized hologra

15、phy and        development of NAHJ, J. Acoust. Soc. Am., 1985, 78(4): 1395-1413.3 Z. Wang, Helmholtz Equation-Least-Squares (HELS) method for inverse acoustic radiation problemsD, Ph.D.dissertation. Wayne State University, Detroit, Michigan, 1995.4 J. Hald, Ti

16、me domain acoustical holographyC, Proceedings of Inter-noise 1995, 10-12 July 1995, NewportBeach, USA.5 J.-H. Thomas, V. Grulier, et al. Real-Time Nearfield Acoustic Holography (RT-NAH): a technique fortime-continuous reconstruction of a source signalC, Proceedings of Novem 2005, 18-21 April 2005,Sa

17、int-Raphaël, France.6 Veronesi W A, Maynad J D. Nearfield acoustic holography(NAH) : Holographic reconstruction algorithmsand computer implementationJ, J. Acoust. Soc. Am., 1987, 81(5): 1307-1322.7 Geraid R. Harris, Transient field of a baffled planar piston having an arbitrary vibration amplit

18、udedistributionJ, J. Acoust. Soc. Am., 1981, 70(1): 186-2004.Planar transient nearfield acoustical holography based onfast Fourier transformZhang Xiaozheng, Bi Chuanxing, Zhang Yongbin, Xu LiangInstitute of Sound and Vibration Research, Hefei University of Technology, Hefei (230009)AbstractThe formula for reconstructing the planar transient sound fields from the planar source is deduced inthis paper. By adding one dimension Fourier transform of time to the stationary nearfield acousticalh