专题复习(六)

1、专题复习（六）求最短路径问题最短路径问题在四川省的中考中出现的频率很高，这类问题一般与垂 线段最短、两点之间线段最短关系密切.类型1利用“垂线段最短”求最短路径问题EH如图所示，是一条河流，要铺设管道将河水引到C, D两个用水点，现有两种铺设管道的方案. 方案一：分别过C D作的垂线，垂足分别为E F,沿，铺设管道；方案二：连接交于点P,沿、铺设管道.问：这两种铺设管道的方案中哪一种更节省材料，为什么？【思路点拨】方案一管道长为+,方案二管道长为+,利用垂线段最短即可比较出大小.【解答】按方案一铺设管道更节省材料.理由如下：丄，丄，而与不垂直，二根据“垂线段最短”，可知v,v,.+v + ,沿

2、、铺设管道更节省材料.本题易错误的利用两点之间线段最短解决，解答时需要准确识图，找 到图形对应的知识点.1. （2015 保定一模）如图，点A的坐标为（一1, 0），点B（a , a），当线段最短时，点B的坐标为（）A. （0 ， 0）B. （，-）C （ 一，一 ）D.（-,-）2. （2015 杭州模拟）在直角坐标系中，点 P落在直线x 2y + 6= 0上，O 为坐标原点，则的最小值为（）B. 33. （2013 内江）在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆过点 A（13 ,0），直线y= 3k + 4与00交于B、C两点，则弦的长的最小值为.4. （2015 碑林区期中）如图，平原上有

3、 A, B, C, D四个村庄，为解决当 地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池.（1）不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池 H点的位置，使它到四个村庄距离之和最小；(2) 计划把河水引入蓄水池 H 中，怎样开渠最短并说明根据类型2利用“两点之间线段最短”求最短路径问题（2015 乐陵模拟）（1）如图1，直线同侧有两点A, B,在直线上求一点C,使它到A B之和最小；（保留作图痕迹不写作法）（2）知识拓展：如图2,点P在/内部，试在、上分别找出两点E、F,使周长最短；（保留作图痕迹不写作法）（3）解决问题：如图3,在五边形中，在，上分别找一点 M N使得 周长最小；（保留作图痕迹不写作法）若/=

4、 125,/ B=Z E= 90,=,=,/ + / 的度数为.【思路点拨】（1）根据两点之间线段最短，作A关于直线的对称点E, 连接交直线于C,即可解决；（2）作P关于、的对称点C、D,连接交、于E、F,此时周长有最小 值；（3）取点A关于的对称点P,关于的对称点 Q连接与相交于点 M 与相交于点N,的长度即为的周长最小值；根据三角形的内角和等于180求出/ P+/ Q再根据三角形的外角以及三角形内角和知识运用整体思想解决.【解答】（1）作A关于直线的对称点E ,连接交直线于C,连接，则此时C点符合要求.A方形内，在对角线上有一点P,使+最小，则这个最小值为（）M I /C N z图1作图如

5、图.（3）作图如图./= 125,/ P+Z Q= 180 125= 55/ P+Z = 2Z P,Z = Z Q+Z = 2Z Q.Z + Z= 2（ Z P+Z Q）= 2X 55= 110 .“两点（直线同侧）一线型”在直线上求一点到两点的和最短时，利用 轴对称的知识作一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点与直线的交 点就是所求的点；“一点两线型”求三角形周长最短问题，作点关于两直 线的对称点，连接两个对称点与两直线分别有两个交点，顺次连接所给的 点与两交点即可得三角形；“两点两线型”求四边形的周长最短类比 “一点 两线型”即可.I针对训练I1. （2015 内江）如图，正方形的面积为

6、 12, 是等边三角形，点E在正C. 2B. 22. （2015 遵义）如图，在四边形中，/ C= 50,/ B=Z 90, E、F分别是、上的点，当的周长最小时，/的度数为（）A. 50B. 60C. 70D. 803. （2015 攀枝花）如图，在边长为2的等边中，D为的中点，E是边上 一点，则+的最小值为.AB D C4. （2015 鄂州）如图，/= 30,点 M N分别是射线、上的动点，平分/,且=6,当的周长取最小值时，四边形的面积为.5. （2015 凉山）菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示， 顶点B（2 , 0）, / = 60,点P是对角线上一个动点，E（0 , - 1），

7、当+最短时，点P的坐 标为.6. （2015 广元改编）如图，已知抛物线 y = （x + 2）（x -m）（m0）与x轴相交于点A, B,与y轴相交于点C,且点A在点B的左侧.(1) 若抛物线过点G(2, 2)，求实数m的值;(2) 在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H,使+最小，并求出点H的坐标.7. (2015 成都改编)如图，一次函数 y= x + 4的图象与反比例 y = (k 为常数，且kz0)的图象交于A, B两点.在x轴上找一点P,使+的值最 小，求满足条件的点P的坐标.8. 如图所示，已知点 A是半圆上的三等分点，B是的中点，P是直径上的 一动点，O O的半径为1,请

8、问：P在上什么位置时，+的值最小？并给出 +的最小值.9. (2015 达州)如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在y轴的正半 轴上，在x轴的正半轴上，/的平分线交于点 D, E为的中点，已知 A(0 , 4)、C(5, 0)，二次函数y = x2+ + c的图象抛物线经过 A, C两点.(1) 求该二次函数的表达式;(2) F、G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接 D E、F、G构成四边形, 求四边形周长的最小值；(3) 抛物线上是否在点P,使的面积为12?若存在，求出点P的坐标；若 不存在，请说明理由参考答案类型1利用“垂线段最短”求最短路径问题1. D 23. 24 提示：直线 y =-3

9、k + 4 必过点 D(3, 4),二当过点D且丄时最小.点 D 的坐标是(3 , 4)，二=5. v = = 13,二根据勾股定理可得=12. 的长的最小值为24.4. (1) v两点之间线段最短，连接，交于H,则H为蓄水池位置，它到四个村庄距离之和最小.(2)过H作丄，垂足为G.则沿开渠最短，根据垂线段最短.类型2利用“两点之间线段最短”求最短路径问题1. B 23提示：作B关于的对称点B,连接、B D,交于E,此时+= B E+ = B D,根据两点之间线段最短可知 BD就是+的最小 值，v B、B关于对称，、互相垂直平分.四边形是平行四边形./ 三角形是边长为2,v D为的中点，丄.

10、= ,= 1,= 2= 2,作B G丄的延长线于B G= = ,在厶 B中,=3. . = = 3 1 = 2.在AB中，B D= = =.故+的最小值为.4. 36 54 5. (2 3, 2 )6. (1)抛物线过点 G(2, 2)时，一(2 + 2)(2 m) = 2, 即卩 m= 4. V m 4,二 y = - (x + 2)(x - 4).令 y = 0,则(x + 2)(x - 4) = 0，解 得 Xi= 2, X2 = 4.-A( 2, 0) , B(4, 0).二抛物线对称轴为直线x = 1.令x = 0,则y = 2,-C(0, 2).VB点与A点关于对称轴对称，二连接，

11、与对称轴的交点便为所求点 H.V B(4, 0) , C(0, 2),二求得线段所在直线为y =- x + 2.当x= 1时，y =,-H(1 ,).7. 联立解得或 A(1 , 3) , B(3, 1) . B点关于x轴的对称点B坐标为(3 , - 1), 连接交x轴于点P,连接.设直线为y =+ b,联立得解得二 y =- 2x + 5.令 y = 0, 得 x =. Pf ( , 0).即满足条件的P的坐标为(，0).8. 作A关于的对称点A,根据圆的对称性，则A必在圆上，连接交于P,连接，则+最小，此时+ =+ = A B.连接、，：=,./ = / A = 605./ = /= 30

12、 . A = 90.A B= = = ,即+的最小值是.9. (1)将A(0, 4)、C(5, 0)代入二次函数y = x2 + c,得解得二二次函数的表达式 y = x2 x + 4.延长至E,使 E C=，延长至 D ,使 D A=，连接 D E,交x 轴于F点，交y轴于G点，连接，=,=E F,( + + + )最小=D E+,由 E 点坐标为(5 , 2) , D(4, 4)，得 D ( 4, 4) , E (5 , 2).由勾股 定理，得=,D E，= 3,. ( +I+ )最小 = D E+= 3+,即四边形周长的最小值为3+ .(3) 如下图：=4.Sa = 12.点P到的距离=3.过点O作丄，取=3，过点F作直线/,交y轴于G点，交抛物线于点P1,AP2,刁在中，=6.二直线的解析式为y = x 6将y = x- 6代入y = x2 x + 4得:+ 4.2x 6= x x解得 xi =, X2=.将 xi, X2 的值代入 y = x 6 得：yi =, y2=.二点 Pi(, ), R(, ) 过点o作丄，取=3,=6.x + 6= x2 xy2 = X2 + 6 =或(001),8),过点F作直线，交y轴于G点，交抛物线于Ps, P4,