数列不等式放缩法

1、用放缩法证明不等式的方法与技巧一常用公式1 23( 4()5 6 二放缩技巧所谓放缩的技巧：即欲证，欲寻找一个（或多个）中间变量，使，由到叫做“放”，由到叫做“缩”.常用的放缩技巧（1）若（2） ，（3）（4）（5）若，则（6）（7）（因为）（7） 或（8）等等。三常见题型（一）先求和再放缩: 1设，求证：2 设（），数列的前项和为，求证：例1求的值 例2.求证:例3求证: 例4求证：例5已知,求证:.直接放缩1、放大或缩小“因式”： 例1. 设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记。（I）求数列的通项公式；（II）记，设数列的前项和为，求证：对任意正整数都有；例2.已知数列满足（）求数

2、列的通项公式；（）证明：例3.设数列满足 证明对一切正整数成立例4.已知数列满足，（）。 （）求数列的通项公式； （）设，数列的前n项和，求证：对。例5.数列由下列条件确定：，（I）证明：对总有； (II)证明：对总有1（2014浙江）已知数列an和bn满足a1a2a3an=（nN*）若an为等比数列，且a1=2，b3=6+b2（）求an和bn；（）设cn=（nN*）记数列cn的前n项和为Sn （i）求Sn； （ii）求正整数k，使得对任意nN*均有SkSn2（2015广东）数列an满足：a1+2a2+nan=4，nN+（1）求a3的值；（2）求数列an的前 n项和Tn；（3）令b1=a1，b

3、n=+（1+）an（n2），证明：数列bn的前n项和Sn满足Sn2+2lnn3（2013广东）设数列an的前n项和为Sn，已知a1=1，nN*（1）求a2的值；（2）求数列an的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有4（2014广东）设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn满足Sn2（n2+n3）Sn3（n2+n）=0，nN*（1）求a1的值；（2）求数列an的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有+5（2013广东）设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，满足4Sn=an+124n1，nN*，且a2，a5，a14构成等比数列（1）证明：a2=；（2）求数列an的通项公式；（3）证明：对

4、一切正整数n，有6（2012广东）设数列an的前n项和为Sn，满足2Sn=an+12n+1+1，nN*，且a1，a2+5，a3成等差数列（1）求a1的值；（2）求数列an的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有7（2015重庆）在数列an中，a1=3，an+1an+an+1+an2=0（nN+）（）若=0，=2，求数列an的通项公式；（）若=（k0N+，k02），=1，证明：2+2+8（2014天津）已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M=0，1，2，q1，集合A=x|x=x1+x2q+xnqn1，xiM，i=1，2，n（）当q=2，n=3时，用列举法表示集合A；（）设s，tA，s=a

5、1+a2q+anqn1，t=b1+b2q+bnqn1，其中ai，biM，i=1，2，n证明：若anbn，则st9（2012重庆）设数列an的前n项和Sn满足Sn+1=a2Sn+a1，其中a20（）求证：an是首项为1的等比数列；（）若a21，求证，并给出等号成立的充要条件10（2013秋梁子湖区校级月考）已知函数（I）若x0时，f（x）0，求的最小值；（II）设数列an的通项an=1+11（2011广东）设b0，数列an满足a1=b，an=（n2）（1）求数列an的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n，an+112（2011天津）已知数列an与bn满足bn+1an+bnan+1=（2）n+1

6、，bn=，nN*，且a1=2（）求a2，a3的值（）设cn=a2n+1a2n1，nN*，证明cn是等比数列（）设Sn为an的前n项和，证明+n（nN*）13（2011重庆）设实数数列an的前n项和Sn满足Sn+1=an+1Sn（nN*）（）若a1，S2，2a2成等比数列，求S2和a3（）求证：对k3有0ak14（2011湖南）已知函数f（x）=x3，g （x）=x+（）求函数h （x）=f（x）g （x）的零点个数并说明理由；（）设数列 an（nN*）满足a1=a（a0），f（an+1）=g（an），证明：存在常数M，使得对于任意的nN*，都有anM15（2011浙江）已知公差不为0的等差数列

7、an的首项a1（a1R），且，成等比数列（）求数列an的通项公式；（）对nN*，试比较与的大小16（2011浙江）已知公差不为0的等差数列an的首项a1为a（aR）设数列的前n项和为Sn，且，成等比数列（）求数列an的通项公式及Sn；（）记An=+，Bn=+，当n2时，试比较An与Bn的大小17（2009江西）各项均为正数的数列an，a1=a，a2=b，且对满足m+n=p+q的正整数m，n，p，q都有（1）当时，求通项an；（2）证明：对任意a，存在与a有关的常数，使得对于每个正整数n，都有18 （2008安徽）设数列an满足a1=0，an+1=can3+1c，nN*，其中c为实数（1） 证明：an0，1对任意nN*成立的充分必要条件是c0，1；（2） 设，证明：an1（3c）n1，nN*；（3）设，证明：19（2008江西）数列an为等差数列，an