数列与极限专题

1、数列与极限1. 设数列是公差为的等差数列，其前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）求；（3）将表示成的函数。2. 设等比数列的公比为，前项和为，且>.（1）求公比的取值范围；（2）设，记的前项和为，试比较的大小.3. 已知公比为的无穷等比数列的各项和为9，无穷等比数列的各项和为.（1） 求数列的首项和公比；（2）对给定的，设是首项为，公差为的等差数列，求数列的前10项之和.4. 设，定义使为整数的叫做企盼数，试求区间内的所有企盼数的和.5. 已知，点在函数的图象上，其中.（1）求证数列是等比数列；（2）设，求及.6. 设数列是等差数列，=1，=+，数列是等比数列， =+，若=，且=

2、9.（1）求数列， 的通项公式.（2）当正整数n取何值时，？7. 等比数列中，1，公比0，设，且，.（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列的前项和及数列的通项；（3）试比较与的大小.8. 已知正项数列，其前项和为满足，且成等比数列，求数列的通项公式.9. 已知函数，若数列：成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前项和为，求；（3）若，令，试比较与的大小。10. 设数列的首项，其前项和为，且对任意，恒有成等差数列.（1）求证数列是等比数列；（2）求数列的通项公式；（3）比较与的大小，并证明你的结论。11. 已知函数的定义域为，且同时满足：对任意，总有；若，且，则有。（1）求的值；

3、（2）试求的最大值；（3）设数列的前项和为，且满足，求的值。12. 已知函数对于任意的实数均有：，且.（1）当时，求的表达式；（2）设，数列的前项和为，求及。13. 已知数列的前项和为，首项.（1）证明数列是等比数列；（2）设.14. 已知向量pq，其中p，q，其中所满足的关系式记为，若函数为奇函数，且当时，有最小值。（1）求函数的表达式；（2）设数列，满足如下关系：，。求数列的通项公式，并求数列的前项和。15. 已知数列满足条件：，且数列是公比为的等比数列，又数列满足。（1）求使得不等式成立的的取值范围；（2）若数列的前项和为，求数列的通项公式和；（3）设，求数列的最大项和最小项的值。数学学

4、科专题卷二（参考答案）1. 解：（1），即，。（2） ，。（3），。2. 解：（1），当时，满足题意。当时，即对于恒成立，故。（2）， 当时，即；当时，即；当时，即。3. 解：（1）依题意得：（2） 由（1）知：所以数列是首项，公差的等差数列，其前10项之和为： 4. 解：，是的整数次幂。又，即：，所有企盼数之和为：。5. 解：（1）点在函数的图象上，所以数列是首项为，公比的等比数列。（2）由（1）得：.由得：。6. 解：（1）设数列的首项为，公比为=9，1且，即（1）又，即（2）（1）、（2）联立解得：或（舍），数列的公差故=n+，=6·（2）由（1）知：=n+， =显见：=9，=

5、当n时为增函数，且时，易验证时，故要使成立，只需7. 解：（1），且为正常数，数列是公差的等差数列.（2） 由（1）知是等差数列，又，且1，故，公差，（3）显见时，而，.经验证：时，时，.综上，或时，；时，.8. 解：，解得：，又时，有: - 得：，即：，故，即：，所以数列是公差的等差数列，当时，；此时，满足成等比数列，当时，；此时，不满足成等比数列，9. 解：（1）成等差数列，设公差为，故，。（2）数列是首项为，公比等于的等比数列，。（3）时， ，令， 当；当；当。10. 解：（1）成等差数列，时，即数列是首项为，公比的等比数列。（2）由（1）得：又，.（3）时，；时，；时，；时，；时，；猜

6、想：时，。证明：1 由上知时，猜想正确；2 假设（）时命题成立，即，那么时，即时，猜测也成立，由12知时，。11. 解：（1）由条件，令，则。（2）任取，且，则，由条件得：，故在区间上为增函数，的最大值为。（3） - 得：，故数列是的等比数列，即，由条件得：，故是首项为，公比为的等比数列，即，。12. 解：（1），故是首项为，公比为的等比数列，。（2）由（1）得：， - 得：，。13. 解：（1）证明：由已知，故时，数列是等比数列.又 数列是等比数列.（2）由（1）得：设得：14. 解：（1）pq，又，函数为奇函数，在定义域上恒成立，。当时，即，。（2）由已知条件及（1）得：又，。，得：15. 解：（1）由已知数列是首项为，公比为