新人民教育出版版高中数学必修四第二章平面向量平面向量的基本定理及坐标表示学习过程

1、平面向量的基本定理及坐标表示学习过程知识点一：平面向量基本定理(1) 平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使= 。我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)运用定理时需注意：，是同一平面内的两个不共线向量。该平面内的任一向量都可用，线性表示，且这种表示是唯一的。基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可作为基底。知识点二：两向量的夹角与垂直（1） 定义：已知两个非零向量，作,则AOB=叫做向量的夹角。（2）如果的夹角是90°，就说垂直，记作。（3）注意：向量的夹角的范围是，当时，同向；当时，；当

2、，反向。知识点三：平面向量的坐标表示（1）如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量作为基底.任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得我们把叫做向量的（直角）坐标，记作其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，式叫做向量的坐标表示.与相等的向量的坐标也为.特别地，如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作，则点的位置由唯一确定.设，则向量的坐标就是点的坐标；反过来，点的坐标也就是向量的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.（2）平面向量的坐标运算 若，则， 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差. 若，则一

3、个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.（3）若和实数，则.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.知识点四：平面向量共线的坐标表示（1） 设， 其中，当且仅当时，向量共线。（2） 注意:遇到与共线有关的问题时，一般要考虑运用两向量共线的条件。运用两向量共线的条件，可求点的坐标，可证明三点共线等问题。学习结论（1） 在解具体问题时，要适当的选取基底。把几何问题转化为代数问题。（2） 向量共线的充要条件有两种形式：（） （3） 注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0°q180°。典型例题例1 。已知平面上三点的坐标分别为A(

4、-2， 1)， B(-1， 3)， C(3， 4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.解析：当平行四边形为ABCD时，由得D1=(2， 2)当平行四边形为ACDB时，得D2=(4， 6)，当平行四边形为DACB时，得D3=(-6， 0)例2已知三个力 (3， 4)， (2， -5)， (x， y)的合力+=，求的坐标.解析：由题设+= 得：(3， 4)+ (2， -5)+(x， y)=(0， 0)即： (-5，1)例3若向量=(-1，x)与=(-x， 2)共线且方向相同，求x解析：=(-1，x)与=(-x， 2) 共线 (-1)×2- x(-x)=0 x=± 与方向相同 x= 例4已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(1，5) ，D(2，7) ，向量与平行吗？直线AB与平行于直线CD吗？ 解析：=(1-(-1)， 3-(-1)=(2， 4) ， =(2-1，7-5)=(1，2) 又 2×2-4×1=0 又 =(1-(-1)， 5-(