三角函数的图像与性质专题

1、精选优质文档-倾情为你奉上第 讲 三角函数的图像与性质 时间： 年 月 日 刘老师 学生签名： 一、 兴趣导入二、 学前测试 1已知角的终边上一点的坐标为，则角的最小正角是（ ）A、 B、 C、 D、解析D 角在第四象限且2若是第二象限的角，且，则是（ ）A、第一象限角 B、第二象限角 C、第三象限角 D、第四象限角解析C 当时，在第一象限；当时，在第三象限；而，在第三象限；3已知角的终边与函数决定的函数图象重合，求= 解析:在角的终边上取点故=4.（湛江市实验中学2010届高三第四次月考）已知，且角在第一象限，那么2在（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解析：B，故2在第二象限.三

2、、方法培养1“五点法”描图(1)ysin x的图象在0,2上的五个关键点的坐标为 (0,0)(，0)(2，0) (2)ycos x的图象在0,2上的五个关键点的坐标为 (0,1)，(，1)，(2，1) 2.三角函数的图象和性质函数性质ysin xycos xytan x定义域RRx|xk，kZ图象 值域1,11,1R对称性对称轴：_ xk(kZ)_ _；对称中心：_ (k，0)(kZ)_ _对称轴： xk(kZ)_；对称中心：_(k，0) (kZ)_ 对称中心：_ (kZ) _周期2_2单调性单调增区间_2k，2k(kZ)_；单调减区间2k，2k (kZ) _单调增区间2k，2k (kZ) _

3、；单调减区间2k，2k(kZ)_单调增区间_(k，k)(kZ)_ 奇偶性奇函数偶函数奇函数3.一般地对于函数f(x)，如果存在一个非零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(xT)f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期)对函数周期性概念的理解周期性是函数的整体性质，要求对于函数整个定义域范围的每一个x值都满足f(xT)f(x)，其中T是不为零的常数.如果只有个别的x值满足f(xT)f(x)，或找到哪怕只有一个x值不满足f(xT)f(x)，都不能说T是函数f(x)的周期.函数yAsi

4、n(x)和yAcos(x)的最小正周期为 ，ytan(x)的最小正周期为 .4.求三角函数值域(最值)的方法： (1)利用sin x、cos x的有界性；关于正、余弦函数的有界性由于正余弦函数的值域都是1,1，因此对于xR，恒有1sin x1，1cos x1，所以1叫做ysin x，ycos x的上确界，1叫做ysin x，ycos x的下确界.(2)形式复杂的函数应化为yAsin(x)k的形式逐步分析x的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响.(3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题利用换元法求三角函

5、数最值时注意三角函数有界性，如：ysin2x4sin x5，令tsin x(|t|1)，则y(t2)211，解法错误.5.求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成形如yAsin(x) (>0)的形式，再根据基本三角函数的单调区间，求出x所在的区间.应特别注意，应在函数的定义域内考虑.注意区分下列两题的单调增区间不同;利用换元法求复合函数的单调区间(要注意x系数的正负号) (1)ysin；(2)ysin.专题1：三角函数的单调性与周期性函数yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期为 ，ytan(x)的最小正周期为 .例1变式练习1(2011·南平月考)(1)求函数ysin，

6、x，的单调递减区间；(2)求函数y3tan的周期及单调区间解(1)由ysin，得ysin，由2k2x2k，得kxk，kZ，又x，x，x，x.函数ysin，x，的单调递减区间为，.(2)函数y3tan的周期T4.由y3tan得y3tan，由k<<k得4k<x<4k，kZ，函数y3tan的单调递减区间为 (kZ)专题2：与三角函数有关的函数定义域问题例2求下列函数的定义域：(1)ylgsin(cos x)； (2)y.解(1)要使函数有意义，必须使sin(cos x)>0.1cos x1，0<cos x1.利用单位圆中的余弦线OM，依题意知0<OM1，OM

7、只能在x轴的正半轴上，其定义域为 x|2k<x<2k，kZ.(2)要使函数有意义，必须使sin xcos x0.利用图象.在同一坐标系中画出0,2上ysin x和ycos x的图象，如图所示.在0,2内，满足sin xcos x的x为，再结合正弦、余弦函数的周期是2，所以定义域为.变式训练2(1)求函数的定义域.要使函数有意义则利用数轴可得图图函数的定义域是x|0<x<或x4.专题3：三角函数的图像及变换例3已知函数y2sin.(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明y2sin的图象可由ysin x的图象经过怎样的变换而得到解

8、题导引(1)作三角函数图象的基本方法就是五点法，此法注意在作出一个周期上的简图后，应向两边伸展一下，以示整个定义域上的图象；(2)变换法作图象的关键是看x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用x来确定平移单位解(1)y2sin的振幅A2，周期T，初相.(2)令X2x，则y2sin2sin X.列表：XX02ysin X01010y2sin02020描点连线，得图象如图所示：(3)将ysin x的图象上每一点的横坐标x缩短为原来的倍(纵坐标不变)，得到ysin 2x的图象；再将ysin 2x的图象向左平移个单位，得到ysin 2sin的图象；再将ysin的图象上每一点的横坐标保持不变

9、，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y2sin的图象变式练习3设f(x)cos2xsin xcos xsin2x (xR)(1)画出f(x)在上的图象；(2)求函数的单调增减区间；(3)如何由ysin x的图象变换得到f(x)的图象？解y·sin 2x·1sin 2xcos 2x1sin.(1)(五点法)设X2x，则xX，令X0，2，于是五点分别为，描点连线即可得图象，如下图(2)由2k2x2k，kZ，得单调增区间为，kZ.由2k2x2k，kZ，得单调减区间为，kZ.(3)把ysin x的图象向右平移个单位；再把横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)；最后把所得图象向上平移1个单位即

10、得ysin1的图象4、 强化练习一、 选择题 1(2010·十堰月考)函数yAsin(x) (A，为常数，A>0，>0)在闭区间，0上的图象如图所示，则为 ()A1B2C3D42函数ysin图象的对称轴方程可能是 ()AxBxCxDx3(2010·湖北)函数f(x)sin，xR的最小正周期为 ()A.BC2D44(2010·北京海淀高三上学期期中考试)函数f(x)(sin xcos x)2cos 2x的最小正周期为 ()A4B3C2D5如果函数y3cos(2x)的图象关于点中心对称，那么|的最小值为 ()A.B.C.D.1C2.D3.D4.D5.A五、

11、训练辅导专题4：求yAsin(x)的解析式例4已知函数f(x)Asin(x) (A>0，>0，|<，xR)的图象的一部分如图所示求函数f(x)的解析式解题导引确定yAsin(x)b的解析式的步骤：(1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A，b.(2)求.确定函数的周期T，则.(3)求参数是本题的关键，由特殊点求时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点解由图象可知A2，T8.方法一由图象过点(1,2)，得2sin2，sin1.|<，f(x)2sin.方法二点(1,2)对应“五点”中的第二个点×1，f(x)2sin.变式练习4(2011·宁波模

12、拟)已知函数f(x)Asin(x) (A>0，>0，|<)的图象与y轴的交点为(0,1)，它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x02，2)(1)求f(x)的解析式及x0的值；(2)若锐角满足cos ，求f(4)的值解(1)由题意可得：A2，2，即4，f(x)2sin，f(0)2sin 1，由|<，.f(x)2sin(x)f(x0)2sin2，所以x02k，x04k (kZ)，又x0是最小的正数，x0.(2)f(4)2sinsin 2cos 2，cos ，sin ，cos 22cos21，sin 22sin cos ，f(4)×.

13、六、家庭作业布置： 家长签字：_ （请您先检查确认孩子的作业完成后再签字）附件：堂堂清落地训练 （坚持堂堂清，学习很爽心） 1. 1函数y 的定义域为()A.B.，kZC.，kZDR2已知函数f(x)sin(xR)，下面结论错误的是()A函数f(x)的最小正周期为2B函数f(x)在区间上是增函数C函数f(x)的图象关于直线x0对称D函数f(x)是奇函数3(2013·广州综合测试)如果函数f(x)sin(>0)的两个相邻零点之间的距离为，则的值为()A3B6C12 D244(2012·山东高考)函数y2sin(0x9)的最大值与最小值之和为()A2 B0C1 D15已知

14、函数f(x)2sin(2x)(|<)，若f2，则f(x)的一个单调递减区间是()A. B.C. D.6已知函数f(x)2sin x(>0)在区间上的最小值是2，则的最小值等于()A. B.C2 D37函数ycos的单调减区间为_8(2012·广州联考)定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是，且当x时，f(x)sin x，则f的值为_9如果函数y3cos(2x)的图象关于点中心对称，那么|的最小值为_10设f(x).(1)求f(x)的定义域；(2)求f(x)的值域及取最大值时x的值11(2012·佛山期中)已知函数f(x)2sin

15、(x)cos x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值12(2012·北京高考)已知函数f(x).(1)求f(x)的定义域及最小正周期；(2)求f(x)的单调递增区间1选Ccosx0，得cos x，2kx2k，kZ.2选Dysincos x，T2，在上是增函数，图象关于y轴对称，为偶函数3选C由正弦函数的性质可知，两个相邻零点之间的距离为周期的一半，即该函数的周期T2×，故T，解得12.4选A当0x9时，sin 1，所以函数的最大值为2，最小值为，其和为2.5选C由f2，得f2sin2sin2，所以sin1.因为|<，所以.由2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ.6选Bx，则x，要使函数f(x)在上取得最小值2，则或，得，故的最小值为.7解析：由ycoscos2x得2k2x2k(kZ)，故kxk(kZ)所以函数的单调减区间为(kZ)答案：(kZ)8解析：fffsin.答案：9解析：ycos x的对称中心为(kZ)，由2×k(kZ)，得k(kZ)当k2时，|min.答案：10解：(1)由12sin x0，根据正弦函数图象知：定义域为xx2k，kZ.(2)1sin x1，112sin x3，12sin x0，012sin x3，f(x)的值域为0，当x2k，kZ时，f(x)取得最大值11解：(1)f(x