曲线积分与曲面积分期末复习题高等数学下册(上海电机学院)

1、精品感谢下载载、选择题1.曲线积分数，且f(0)2.3.4.5.6.7.8.9.第十章曲线积分与曲面积分答案lf(x)exsinydxf(x)cosydy与路径无关，其中f(x)有一阶连续偏导0,A.1(e2闭曲线c为xA.0则f(x)BXe)B.2闭曲线C为4x2A.2B.为YOZ平面上A.0B.A.2a2设为球面A.4B.B.B.1(ex21的正向，则C.4xe)C.ydxxdy|yD.61的正向，则？Cydxxdy4x2-(exe2D.0C.0(x2D.2y)dsC.D.22?(xy)dsCa2C.D.1,则曲面积分dS1、x2y2z2的值为BC.D.设L是从O(0,0)到B(1,1)的

2、直线段，则曲线积分ydsCA.设i=I=DA.Lyds5.56如果简单闭曲线A.其中B.C.22D.L是抛物线5.512C.2.x2上点(0,05.51D6.所围区域的面积为与点(1,1)之间的一段弧，55112ydy；B.C.12°lydxxdy;D.ydx。10.设S：x2y2z2R2(z0),S1为S在第一卦限中部分，则有A.xds4xdsB.SSiC.zds4zdsD.SS1yds4ydsSS1xyzds4xyzdsSS1二、填空题1.设L是以(0,0),(1,0),(1,1),(0,1)2-Lydx(eyx)dy-2为顶点的正方形边界正向一周，则曲线积分2.S为球面x2y2

3、z2a2的外侧，则(yz)dydz(zx)dzdx(xy)dxdy03.0ydxxdy=222x2y21xy4 .曲线积分？(x2y2)ds,其中C是圆心在原点，半径为a的圆周，则积分值为2a35 .设2为上半球面zJ4xy-z0,则曲面积分x?yzds=32兀(x y)ds 1+：/2C6 .设曲线C为圆周x2y21,则曲线积分？x2y23xds2.7 .设C是以O(0,0),A(1,0),B(0,1)为顶点的三角形边界，则曲线积分8 .设为上半球面zJ4x2y2,则曲面积分,ds=的值为-222Q1-xyz39 .光滑曲面z=f(x,y)在xoy平面上的投影区域为D,则曲面z=f(x,y)

4、的面积是SDj(?中2d310.设L是抛物线yx上从点(2,8)到点(0,0)的一段弧，则曲线积分(2x4y)dxL1211、设为螺旋线xcost,ysint,zV3t上相应于t从0到的一段弧，则曲线积分I(x2y2z2)ds_212。222xdyydx12、设L为xya的正向，则?-2r22。Lxy三、计算题1.ekds,其中L为圆周X2L2y 1,直线y x及x轴在第一象限所围图形的边界。2xcos解：记线段OA万程yX,0X圆弧AB方程,0一2ysin4线段OB方程y0,0x1。.2/、一2、一2二一一一1.则原式=eJyds+e"yds+e，yds=2e&dx+4ed

5、+edx000OAABOB=2(e1)e#2.&，dxyxyln(x收y7)dy,其中L为曲线ysinx,0x与直线L段y0,0x所围闭区域D的正向边界。解：利用格林公式,P&_y2,Qyxyln(xJx2y2),则Py_Q、/yvL2"?丫yf"22yxy Rcost,t从0变化到 y Rsint故原式=o R2sin21( Rsin t) R2 cos2 t(Rcost)dt=R3 0 (1 cos21)( sin t) (1 sin2t)cos tdt = 4 R3#4.求抛物面z x2y2被平面z 1所割下的有界部分的面积。解：曲面 的方程为z x2

6、 y2,(x,y)D,这里D为 在XOY平面的投影区域(x, y) x2y2 1。故所求面积=1 z2 z2 dxdy. 1 4( x2 y2)dxdyxy故原式=()dxdyd x yy2dxdyDsin x 2dx y dy003-y2dx x2dy,其中LL为圆周R2的上半部分,L的方向为逆时针。解：L的参数方程为2125,51.dJi4rrdr#0065、计算(exsinymy)dx(excosym)dy,其中L为圆(xa)2y2a2(a0)的上L半圆周，方向为从点A(2a,0)沿L到原点Q解：添加从原点到点P(ex sin yA的直线段后，闭曲线所围区域记为D,利用格林公式Xe co

7、s y、exPxQ(ex sin yLmy),Qecosym,ecosym,yxmy)dx(excosym)dy+(exsinymy)dx(excosym)dyOAmdxdyD而OAx _(e sin ymy)dxx2a(e cosy m)dy = o 0dx 0 0,于是便有2(eLxmamy)dx(ecosym)dy=-6. (y2z2)dx(z2x2)dy(x2y2)dz,其中L为球面x2y2z21在第L卦限部分的边界，当从球面外看时为顺时针。解：曲线由三段圆弧组成，设在YOZ平面内的圆弧AB的参数方程x0ycost,t从一变化到0。2zsint于是(y2z2)dx(z2x2)dy(x2

8、y2)dz=sin2t(sint)cot(cost)dt=)AB23由对称性即得(y2z2)dx(z2x2)dy(x2y2)dz3(y2z2)dx(z2x2)dy(x2y2)dz4LAB#7. (x1)dydz(y1)dzdx(z1)dxdy,其中为平面xyz1,x0,y0,z0所围立体的表面的外侧。解：记1为该表面在XO竹面内的部分，2为该表面在YOZ平面内的部分，3为该表面在XOZ平面内的部分，4为该表面在平面xyz1内的部分。i的方程为z0,0y1x,0x1,根据定向，我们有(x 1)dydz (y 1)dzdx (z1同理， (x 1)dydz (y 1)dzdx 2(x 1)dydz

9、 (y 1)dzdx 34的方程为z 1 x y,0 y 1(z 1)dxdy (2 x40 x 10 y 1 x由对称性可得(x 1)dydz (y 1441)dxdy= (z 1)dxdy= dxdy10 x 10 y 1 x1(z 1)dxdy-1 (z 1)dxdy-x,0 x 1,故2 y) dxdy -5)dzdx -,3故 (x1)dydz(y1)dzdx (z 1)dxdy 24，11于是所求积分为2131228.计算曲面积分：(x y z) dydz 2 y sin(z x) dzdx (3z#ex y)dxdy,其中S为曲面x y z 1的外侧。解：利用高斯公式,所求积分等

10、于(1lu Iv w 1八J 12 3)dxdydz = 60% =89.计算I=xydydzyzdzdxxzdxdy,其中S为x+y+z=1,x=0,y=0,z=0所围立s体的表面外侧解：设V是x+y+z=1,x=0,y=0,z=0所围的立体由Gass公式得：(xV1.1cdx600yz)dxdydzx1xydy0(xyz)dz10.计算I=32.2xdx3zydyxydz,其中是从点A(3,2,1)到点B(0,0,0)的直线段AB解：直线段AB的方程是-y32x=3t,y=2t,z=t,tz.'化为参数方程得:从1变到0,所以:32.2.xdx3zydyxydz03220.3.87

11、=(3t)333t(2t)22(3t)22tdt=87t3dt#11411.计算曲线积分I=AMO(exsiny2y)dx(excosy2)dy,其中AMO是由点A(a,0)至点O(0,0)的上半圆周x2y2ax解：在x轴上连接点O(0,0),A(a,0)将AMO扩充成封闭的半圆形AMOA在线段OA±,(exsiny2y)dx(excosy2)dy0OA从而JAMOAMOOAAMOA又由Green公式得：xxAMOA(esiny2y)dx(ecosy2)dy2dxdy22xyaxa212.计算曲线积分口Lz3dxx3dyy3dz其中L是z=2(x2222一、y2)与z=3x2y2的交

12、线沿着曲线的正向看是逆时针方向解：将L写成参数方程：x=cost,y=sint,z=2t:02于是：Lz3dxx3dyy3dz=：8sintdt:cos4tdt另证：由斯托克斯公式得Lz3dxx3dyy3dz=(3y2220)dydz(3z0)dxdz(3x0)dxdy:z2,x2y21上侧，则:?z3dxx3dyy3dz23xdxdyx2y21cos2dr13.设曲面S为平面x+y+z=1在第一卦限部分，计算曲面S的面积I解：S在xoy平面的投影区域为：Dxy(x,y)0y1x,0x11dS=<r3dxdy=0dxSDxyxV3dy=I"13x)dx214.计算曲线积分(xy

13、)dx(xL22xyydy其中L是沿着圆（x1）2（y1)21从点A(0,1)到点B(2,1)的上半单位圆弧解：设P(x,y)Q(x,y)xy"-22xy当x2y20时，y2y(x22x2xy2、2y)故:所求曲线积分在不包围原点的区域内与路径无关则:(xy)dx(xy)dy_(xy)dx(xy)dyAB15.关。解:20(、，1,L，C-)dx=ln5-arctan212确定的值，使曲线积分x2C4xydx6x1y22ydy在XoY平面上与路径无当起点为0,0,终点为3,1时，求此曲线积分的值。由已知，P2x4xy,Q6x12y2y；由条件得3,3,10,04xy3dx226xy2

14、ydy1x3223y2xy3,10,02616.设曲面S为球面x24被平面z=1截出的顶部，计算-dSz解：S的方程为：z寸4S在xoy平面的投影区域为:Dxy(x,y)y232d4x2xydxdy=y2r2dr=4ln2r17.计算I=yzdydz22xzdzdx(xyz)dxdy,其中是x2y(za)2a2,za,取下侧解:作辅助曲面1:z=a(x2y2a2)取上侧(za)22a,za所围闭区域Dxy为平面区域)yzdydz1xzdxdz(xyz)dxdydxdydz(xDxy、一23ya)dxdy=a3adxdyDxy(xy)dxdy0)Dxyacost,取顺时针方向,x18.L为上半椭

15、圆圆周Lydxydzdx所围的整个曲面的外侧。解：bsintxdy(z2由高斯公式，可得(112z2)dvLydxxdy.zdv0bsint0abdtab2z)dxdy,asint)acost(bcost)dt其中为锥面zy2与z11zdz20.计算曲线积分?L(yex)dx(3x2xey)dy,其中L是椭圆fa2yb21的正向。解：令Pyex,Q3xey,则设L所围成的闭区域为D,则其面积ab。从而由格林公式可得ex)dx(3xey)dy2dxdy2dxdy2ab.D21.设为柱面x2在使得x00的两个卦限内被平面y0及yh所截卜部分的外侧，试计算Ixyzdxdy。解：将分成1与2,其中22

16、1：z<ax（取上侧），2：z<a2x2（取下侧），i与2在xoy面上的投影为Dxy:0xa,022.dSDyz23.解:xyzdxdyxyzdxdyxyzdxdy12xya2x2dxdyDxy2xy.a2x2dxdyDxy13,2ah.3xy(Dxy计算曲面积分Iz2dS,其中是柱面x设i为在第一卦限的部分曲面。2xdydzz2dydz4y2:0y2,02z2dS4计算曲面积分z2dSI(za2x2)dxdy.h-122dx0xaxy24介于0,4-xy,一yyozydyz6的部分。2z24-2dydzDyz.4yc1.8.dy04y2y6z2dz02882x)dydz0及z2之

17、间部分的下侧。利用高斯公式，取1:z2且x2围的闭域为，21对应的Dxy为：xizdxdy,其中是旋转抛物面z-（22、.xy)介于2y4。取上侧，与1构成封闭的外侧曲面，所22(zx)dydzzdxdy(zx)dydzzdxdy1(z21x)dydzzdxdy24.计算曲线积分Icosx到点B解：px2xy2,Qy取小圆周(11)dv2dxdy1dv2dxdy,1/IT?(yCx)dx25.用高斯公式计算z0,z解：p原式=yxdx2x2,1的曲线段。(yDxy2dr00.22rdz129dy22其中C是自点A2,1沿曲线x22xy充分小，取逆时针方向x)dy3围成封闭曲面的外侧。，则由zx

18、,Q0,Rx0,-R0zdv1rdr0sinrsinrsin3r2sinGreen公式可得：21x,zdx221x22arctan2dxdyyzxdydz,其中：柱面x2zrdrddzzdzdr2y1及平面26.计算曲面积分Ix8z1dydz4yzdzdxy2z2dxdy,其中是曲面z1x2y2被平面z3所截下的部分，取下但U。22q解：补1:xy2,取上侧，Iz3dv3dz1dxdy3-o o1 (z 1)dz 2 ，其中 D(z):x y z 1(y18)dxdy18dxdy36,I381DxyDxy27.计算曲线积分(x3xy)dx(x2y2)dy,其中L是区域0<x<1,0

19、<y<1的边界正向。解：利用Green公式1-2 . .1而 z dxdy ，故 I121322(xxy)dx(xy)dy=xdxdyxdydx一D00228、计算曲面积分22 ,x dydz y dxdzz2dxdy ,其中汇为平面方程x+y+z=1在第一卦限的上侧。解：x2dydz y2dxdz2z dxdy =222x y (1 x y) dxdy或由对称性：x2dydzy2dzdxz2dxdy,或.13dSdxdydydzdzdx可知。29.计管Lxcosydxysinxdy其中L是由点A(0,0)至IJB(兀，2兀)的直线段。解:AB勺方程y2xx0,dy2dxxcosydxysinxdyxcos2x4xsinxdx4030、设f(x)可微，f(0)1且曲线积分)2f(x)e2xydxf(x)dy与路径无关。求f(x)。p解：一2fx2xQe,一x因该项积分与路径无关，所以xe2xfx。令yf(x),得微分方程y2ye2x,解得y2xexc,（2分）代入条件f(0)1得C=1从而有ye2x31、计算对面积的曲面积分y2z2ds,:zx2y2,其中1解:Zx匕，曲面在XOY平面上的投影为32、侧。解:四、原式=Z2ZyDxy计算曲面积分4sin22x补充曲面1:z2xzdydz3dxdydz综合题y242y2y、2dxdy=、-20d12r5sin2