数学建模零件参数的优化设计

1、数学建模-零件参数的优化设计（共19页）-本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可-内页可以根据需求调整合适字体及大小-零件参数的优化设计摘要本文建立了一个非线性多变量优化模型。已知粒子分离器的参数y由零件参数Xi（i1,27）决定，参数Xi的容差等级决定了产品的成本。总费用就包括y偏离yo造成的损失和零件成本。问题是要寻找零件的标定值和容差等级的最佳搭配，使得批量生产中总费用最小。我们将问题的解决分成了两个步骤：1.预先给定容差等级组合，在确定容差等级的情况下，寻找最佳标定值。2.采用穷举法遍历所有容差等级组合，寻找最佳组合，使得在某个标定值下，总费用最小。在第二步中，由于容差等级组合固定为

2、108种，所以只要在第一步的基础上，遍历所有容差等级组合即可。但是，这就要求，在第一步的求解中，需要一个最佳的模型使得求解效率尽可能的要高，只有这样才能尽量节省计算时间。经过对模型以及matlab代码的综合优化，最终程序运行时间仅为秒。最终计算出的各个零件的标定值为：Xi=,等级为：dB,B,B,C,C,B,B一台粒子分离器的总费用为：元与原结果相比较，总费用由（元/个）降低到（元/个），降幅为%，结果是令人满意的。为了检验结果的正确性，我们用计算机产生随机数的方式对模型的最优解进行模拟检验，模拟结果与模型求解的结果基本吻合。最后，我们还对模型进行了误差分析，给出了改进方向，使得模型更容易推广

3、。关键字：零件参数非线性规划期望方差一、问题重述一件产品由若干零件组装而成，标志产品性能的某个参数取决于这些零件的参数。零件参数包括标定值和容差两部分。进行成批生产时，标定值表示一批零件该参数的平均值，容差则给出了参数偏离其标定值的容许范围。若将零件参数视为随机变量，则标定值代表期望值，在生产部门无特殊要求时，容差通常规定为均方差的3倍。进行零件参数设计，就是要确定其标定值和容差。这时要考虑两方面因素：一是当各零件组装成产品时，如果产品参数偏离预先设定的目标值，就会造成质量损失，偏离越大，损失越大；二是零件容差的大小决定了其制造成本，容差设计得越小，成本越高。试通过如下的具体问题给出一般的零件

4、参数设计方法。粒子分离器某参数（记作y）由7个零件的参数（记作X1,X2，,X7）决定，经验公式为:Y 174.42x1X5X2Xi10.56 321.1612.62 1c ccX4X40.36 X2X2X6X70.85X3y的目标值（记作yo）为。当y偏离yo+时，产品为次品，质量损失为1,000元；当y偏离y0+时，产品为废品，损失为9,000元。零件参数的标定值有一定的容许范围；容差分为A、B、C三个等级，用与标定值的相对值表示，A等为+1%,B等为+5%,C等为+10%o7个零件参数标定值的容许范围，及不同容差等级零件的成本（元）如下表（符号/表示无此等级零件）：标定值容许范围C等B等

5、A等X1P，r/25/X2，2050/X3r,2050200X4,50100500X5,50/X612,20一1025100X7,/25100现进行成批生产，每批产量1,000个。在原设计中，7个零件参数的标定值为：X1=,X2=,x3=,X4=,X5=,X6=16,X7=；容差均取最便宜的等级。请你综合考虑y偏离y0造成的损失和零件成本，重新设计零件参数（包括标定值和容差），并与原设计比较，总费用降低了多少？二、模型假设1、将各零件参数视为随机变量，且各自服从正态分布；2、假设组成离子分离器的各零件互不影响，即各零件参数互相独立；3、假设小概率事件不可能发生，即认为各零件参数只可能出现在容许

6、范围I4、在大批量生产过程中，整批零件都处于同一等级，。本题可认为1000各零件都为A等、B等或C等；5、生产过程中出质量损失外无其他形式的损失；6、在质量损失计算过程中，认为所有函数都是连续可导的。三、符号说明Xi：第i类零件参数的标定值（i=1,27）;Xi：第i类零件参数的实际值相对目标值的偏差（i=1,27）；第i类零件参数的容差（i=1,2,7）；i：第i类零件参数的方差（i=1,2,7）；ai,bi:标定值xi的上、下限；V：离子分离器某参数的实际值；y：离子分离器该参数的目标值；V：离子分离器某参数的均值；y:离子分离器某参数的实际值y相对平均值y的偏差；y：离子分离器某参数的方

7、差；P:一批产品中正品的概率；F2：一批产品中次品的概率；鸟：一批产品中废品的概率；W：一批产品的总费用（包括损失和成本费）；Cj：第i类零件对应容差等级为j的成本（j=A,B,C）单位：元/个四、问题分析该问题是一定约束条件下的最优化问题，经分析题意，拟建立以总费用为目标函数的非线性规划模型。总费用由损失费和成本费两部分组成，零件成本由简单的线性代数式决定，而损失费涉及概率分布的非线性函数。要求出损失费，就必须知道一批产品的次品率和废品率，结合各类零件都服从NJ,；）,可假设y也服从正态分布，联想正态分布的性质一一当各变量均服从正态分布时，其线性组合也服从正态分布。题中所给经验公式为一复杂的

8、非线性的公式，无法直接对其分析处理，所以需借助泰勒公式将其展开并作相应处理使其线性化。而对于零件成本，需先确定容差等级才能求得成本费。由容差等级和各类零件的标定值为便可知道给类零件的容差。最后，便将问题转化为为、h关于总目标函数的最优解的问题上。在进行零件参数设计时，如果零件设计不妥，造成产品参数偏离预先设定值，就会造成质量损失，且偏差越大，损失也越大；零件容差的大小决定了其制造成本，容差设计得越小(即精度越高)零件成本越高。合理的设计方案应既省费用又能满足产品的预先设定值，设计方向应该如下：(1)设计的零件参数，要保证由零件组装成的产品参数符合该产品的预先设定值，即使有偏离也应是在满足设计最

9、优下的容许范围。(2)零件参数(包括标定值和容差等级)的设计应使总费用最小为优。此外分析零件的成本及产品的质量损失不难发现，质量损失对费用的影响远大于零件成本对费用的影响，因而设计零件参数时，主要考虑提高产品质量来达到减少费用的目的。五、模型建立为了确定原设计中标定值(的期望值)及已给的容差对产品性能参数影响而导致的总损失W,即确定偏离目标值所造成的损失和零件成本，先列出总损失的数学模型表达如下：7W1000(Cj1000P29000P3)i1当然，为了确定总损失W,必须知道P、P2、P3(即正品、次品及废品的概率)。为此，将经验公式用泰勒公式在Xx(i1,27)处展开并略去二次以上高次项后来

10、研究y的概率分布，设f(x)y,则7ff(X)yf(Xi)xi1Xi将标定值Xi(i1,27)带入经验公式即得yf(x)所以i1Xi由于在加工零件时，在标定值知道的情况下，加工误差服从正态分布，即，一2、XN(0,i)且为相互独立，由正态分布性质可知yN(Qy2)2yN(y,y)由误差传递公式得fXii)27 / f 2 i 2(一x)(一)i 1 Xi Xi(1)由于容差为均方差的3倍，容差与标定值的比值为容差等级，则i0.010.050.1Xi3,3,3y的分布密度函数为2yy(y)y偏离y0.1的概率，即次品的概率为1.41.8P212(y)d(y)16(y)d(y)(2)1.21.6y

11、偏离y0.3的概率，即废品的概率为1.2P3(y)d(y)18(y)d(y)I.8由于y偏离y。越远，损失越大，所以在y固定时，调整y使之等于目标值y。可降低损失。取yyy0即yyO,则P2(以)P3(堡)yy为标准正态分布函数。综合考虑y偏离/造成的损失和零件成本，设计最优零件参数的模型建立如下：目标函数7minW1000(Cj1000P29000P3)i1b；Xai(i1,27)y。”为)(i1,27)六、模型求解初略分析对于原给定的设计方案，利用matlab编程计算(见附录)，计算结果如下:正品率次品率废品率成本费损失费总费用200由于按原设计方案设计的产品正品率过低，损失费过高，显然设

12、计不够合理。进一步分析发现，参数均值Q=偏离目标值y=太远，致使损失过大。尽管原设计方案保证了正本最低，但由于零件参数的精度过低，导致正品率也过低。所以我们应综合考虑成本费和损失费。模型的实现过程:9本模型通过matlab进行求解，我们通过理论模型求解和随机模拟的求解过程如下：在给定容差等级的情况下，利用matlab中求解非线性规划的函数fmincon,通过多次迭代求解，最终求得一组最优解。最初，我们设定的fmincon函数的目标函数就是总费用，约束条件为各个标定值的容许范围，以及各零件标定值带入产品参数表达式应为外,即。然而，在迭代过程中我们发现，求解过程十分慢，在给定容差等级的确定的情况下

13、，计算最优标定值需要将近400秒，如果在此基础上对108种容错等级进行穷举查找最优组合，将需要大概12小时。显然这是不合理的。因此，我们在仔细对matlab实现代码研究发现，求解过程之所以慢，是因为代码中存在多次调用求偏导和积分的函数，在fmincon的多次迭代中，耗费大量时间。所以，为了提高求解速度，我们首先利用matlab中diff函数对产品参数中的各个表达式进行求偏导，然后得到多个带参表达式，利用int函数对y的概率密度函数进行积分，分别得到出现次品和废品概率的表达式，然后将这些表达式写进程序里，这样在求解过程中就不需要在每一次迭代中都要求偏导和积分了，修改后的程序运行时间大大减少。程序

14、流程图初始化最小费用Wmin为JNF确定一组容差等级利用fmincon寻还有容差N算法等级未计算结束WWmin丫N程序见附录，求解结果如下:零件种类1234567零件参数容差等级BBBCCBB正品率次品率废品率成本费损失费总费用275运行总时间:离子分离器参数均值y=离子分离器参数方差y=模型检验对设计方案进行动态模拟，由于每种零件参数均服从正态分布，用正态分布随机数发生器在每种零件参数允许范围内产生1000个随机数参与真实值Xi的计算随机模拟N次后结果如下：正品率次品率废品率成本费损失费总费用275143418根据最优解的亍=，丫=画出y的概率分布图，再对x随机取样画出y的概率分布图（见图）

15、，由图可知：两组数据所画概率分布图的拟合度相当高，进一步确保了模型的正确性。对照图6 5 4 3 2 10 躯国科建SA图概率分布图对比图通过以上数据，与原设计方案所彳#结果相比较，总费用由（元/个）降低到（元/个），降幅为%结果是令人满意的。七、误差分析1、 在建模过程中，通过泰勒公式将yf（X）展开并略去二次及以上项使线性化，不可避免地产生了截断误差，所以展开后的式子只是原经验公式的近似关系式。但在一般情况下，线性化和求总和在实用上具有足够的精度，所以由于函数线性化而略去的高次项可以忽略不计。在函数关系式较复杂的情况下，将其线性化更具有明显的优势。2、本模型忽略了小概率事件发生的可能，认为

16、零件的参数只可能出现在允范围内，即xi3i,xi3i。现实中，小概率事件仍有发生的可能性，但在大批量生产中，小概率事件的发生对最终结果没有影响，所以可以忽略。3、该模型对于质量损失的计算，将所有函数都看作连续函数，而这对于每个零件参数而言是不可能的，所以其中也会产生误差。八、模型的评价及推广1 .优点（1）建模过程中，采用泰勒公式将经验公式简化，并假设各零件参数都服从满足大量数据的正态分布，使得整个模型的建立及求解得到大大简化。（2）本模型运用概率统计与优化知识对零件参数进行优化设计。通过建立一个反映设计要求的数学模型，利用MATLAB软件，经过编程来实现对设计方案参数的调整，将总费用由（元/

17、个）降低到（元/个），降幅达到%，结果还是令人十分满意的。3）本模型在程序运算的过程中，做了适当处理，将每次循环本该由计算机求偏导和积分的提前人为处理，将求偏导和积分后的算式写入程序中，这样大大节约了运算时间，将运行时间由几个小时缩短为。2 .缺点（1）本模型在模型的求解过程中，对一些可接受范围内的误差直接进行了忽略，因而对于结果的精确性还是会有一定的影响。（2）本模型是建立在一些假设中的，所有实用性受到了限制，在实际生产中，如果可以把更多的一些因素考虑进去应该会更好。在已假定的条件下，本模型的优化结果是好的。3 推广此模型有较强的应用价值。工程中往往因为某个零件的选取不当，而影响产品的参数，

18、使可靠性降低，造成了极大的经济损失。所以需综合考虑零件成本和质量，以求获得最大的经济效益。本模型具有广泛的适用性，很容易加以推广。模型中的设计变量可以推广到个的情形，即设计变量，其中设计空间是一个维空间。本模不仅适用于粒子分离器参数的设计，而且也可用于类似的机构、零部件、工艺设备等的基本参数的设计问题；容差等级同样可推广应用。参考文献【1】韩之俊,姚平中,概率与统计,国防工业出版社,1985【2】陈宝林,最优化理论与算法,清华大学出版社,1989【3】裘宗燕,数学软件系统的应用及程序设计,北京大学出版社,1994【4】许波，Matlab工程数学应用，清华大学出版社，2001附录：matlab代

19、码:functionf=result%穷举108种容错等级组合求解全局最优解fval=inf;tic%Bmin=2333332;%XminB(1)=2;B(5)=3;fori=2:3B(2)=i;forj=1:3B(3)=j;fort=1:3B(4)=t;forg=1:3B(6)=g;form=1:2B(7)=m;fv,x=getcost(B);iffvfvalXmin=x;Bmin=B;fval=fv;end;end;end;end;end;end;f=fval,Xmin,Bmin,p=getP(Xmin,Bmin)tocsimulation(Xmin,Bmin);%用随机法和计算的结果进行

20、模拟比较functionf=simulation(MU,B)%用随机法和计算的结果进行模拟比较fori=1:10000y(i)=Yfun(getparaX(MU,B);end;f,xi=ksdensity(y);plot(xi,f);%画经验概率密度曲线holdon;y0=Yfun(MU);fc=getfcY(MU,B);%x=normrnd(y0,fc,1,10000);f1,xj=ksdensity(x);plot(xj,f1,r);%x0=min(y):max(y);y=(2*pi)A*fc)A(-1)*exp(-(x0-y0).A2/2/fcA2);plot(x0,y,r);%x=mi

21、n(y):max(y);yg=gaussmf(x,fc,y0);plot(x,yg,r);%title(对照图)；gtext(注：蓝线为对x随机取样求得的y分布);gtext(红线为根据模型计算出的y分布)；xlabel(y);ylabel(y的概率密度);holdoff;functionf,x=getcost(B)%在给定容差等级的情况下求最优的标定值，使得Y勺均彳t为y0的情况下，方差最小MU=16;燔定初始的标定值options=optimset(LargeScale,off,Display,off);%,Tolx,;x,fval=fmincon(getfcY,MU,口口口口口口myco

22、n,options,B);x,B,f=cost(x,B)functionc,ceq=mycon(MU,B)%求最优标定值时的约束条件%防不等式约束%ceg等式约束c(1)=MU(1);c(2)=(1);c(3)=MU(2);c(4)=(2);c(5)=MU(3);c(6)=(3);c(7)=MU(4);c(8)=(4);c(9)=MU(5);c(10)=(5);c(11)=MU(6)-20;c(12)=12-MU(6);c(13)=MU(7);c(14)=(7);ceq(1)=Yfun(MU);functionf=cost(MU,B)%当标定值为MU容差等级为B时，求费用f=25;p=getP

23、(MU,B);%求正品、次品、废品的概率if(B(2)=2)f=f+50;elsef=f+20;end;switch(B(3)case1f=f+200;case2f=f+50;case3f=f+20;end;switch(B(4)case1f=f+500;case2f=f+100;case3f=f+50;end;f=f+50;switch(B(6)case1f=f+100;case2f=f+25;case3f=f+10;end;if(B(7)=1)f=f+100;elsef=f+25;end;f=f+p(2)*1000+p(3)*9000;functionf=getfcY(MU,B)%寸于所给

24、的标定值和容差求丫的方差f=0；B=int32(B);fori=1:7ifB(i)=1sigma(i)=MU(i)*3;end;ifB(i)=2sigma(i)=MU(i)*3;end;ifB(i)=3sigma(i)=MU(i)*3;end;end;x1=MU(1);x2=MU(2);x3=MU(3);x4=MU(4);x5=MU(5);x6=MU(6);x7=MU(7);渔Y对各变量的偏导的评分与对应的方差乘积之和f=(pd1(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)*sigma(1)A2;f=f+(pd2(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)*sigma(2)2;f=f+(pd3

25、(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)*sigma(3)2;f=f+(pd4(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)*sigma(4)A2;f=f+(pd5(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)*sigma(5)2;f=f+(pd6(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)*sigma(6)A2;f=f+(pd7(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)*sigma(7)F2;f=abs(fA;functionf=pd1(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)%Ytx1的偏导f=8721/50/x5*(x3/(x2-x1)A(17/20)*(1-131/50*(1-9/

26、25/.(x4/x2)A(14/25)A(3/2)*(x4/x2)A(29/25)/x6/x7)A(1/2)+.148257/1000*x1/x5/(x3/(x2-x1)A(3/20)*(1-131/50*(1-9/25/(x4/x2)A(14/25)A(3/2)*(x4/x2)A(29/25)/x6/x7)A(1/2)*x3/(x2-x1)A2;functionf=pd2(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)%Ytx2的偏导f=-148257/1000*x1/x5/(x3/(x2-x1)A.(3/20)*(1-131/50*(1-9/25/(x4/x2)A(14/25)A(.3/2)*

27、(x4/x2)A(29/25)/x6/x7)A(1/2)*x3/(x2-x1)A.2+8721/100*x1/x5*(x3/(x2-x1)A(17/20)/(1-131/50*(1-9/25/(x4/x2)A(14/25)A(3/2)*(x4/x2F(29/25)/x6/x7)A(1/2)*(24759/31250*(1-9/25/(x4/x2)A(14/25)A(1/2)/(x4/x2)A(2/5)*x4/x2A2+3799/1250*(1-9/25/(x4/x2)A(14/25)A(3/2)*(x4/x2)A(4/25)*x4/x2A2)/x6/x7;functionf=pd3(x1,x2

28、,x3,x4,x5,x6,x7)%Ytx3的偏导f=148257/1000*x1/x5/(x3/(x2-x1)A(3/20)*(1-131/50*.(1-9/25/(x4/x2)A(14/25)A(3/2)*(x4/x2)A(29/25)/x6/x7)A(1/2)/(x2-x1);functionf=pd4(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)%Ytx4的偏导f=8721/100*x1/x5*(x3/(x2-x1)A(17/20)/(1-131/50*(1-9/25/(x4/x2)A(14/25)A(3/2)*(x4/x2)A(29/25)/x6/x7)A(1/2)*(-24759/31

29、250*(1-9/25/(x4/x2)A(14/25)A(1/2)/(x4/x2)A(2/5)/x2-3799/1250*(1-9/25/(x4/x2)A(14/25)A(3/2)*(x4/x2)A(4/25)/x2)/x6/x7;functionf=pd5(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)%Ytx5的偏导f=-8721/50*x1/x5A2*(x3/(x2-x1)A(17/20)*(1-131/50*(1-9/25/(x4/x2)A(14/25)A(3/2)*(x4/x2)A(29/25)/x6/x7)A(1/2);functionf=pd6(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x

30、7)%Ytx6的偏导f=-8721/100*x1/x5*(x3/(x2-x1)A(17/20)/(1-131/50*(1-9/25/(x4/x2)A(14/25)A(3/2)*(x4/x2)A(29/25)/x6/x7)A(1/2)*(1-131/50*(1-9/25/(x4/x2)A(14/25)A(3/2)*(x4/x2)A(29/25)/x6A2/x7;functionf=pd7(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)%Ytx7的偏导f=-8721/100*x1/x5*(x3/(x2-x1)A(17/20)/(1-131/50*(1-9/25/.(x4/x2)A(14/25)A(3/

31、2)*(x4/x2)A(29/25)/x6/x7)A(1/2)*.(1-131/50*(1-9/25/(x4/x2)A(14/25)A(3/2)*(x4/x2)A(29/25)/x6/x7A2;functionf=getP(MU,B)%当标定值为MU容差等级为B时，求正品、次品、废品的概率yb=Yfun(MU);fc=getfcY(MU,B);%symsx0ua0;yy=subs(2*pi)A*a0)A(-i)*exp(-(x0-u)A2/2/a0A2),u,yb);%yy=subs(yy,a0,fc);%y0=;f(2)=jf1(yb,fc);f(3)=jf2(yb,fc);%甲)=0;%f(2)=(cdf(normal,y0+,yb,fc)-cdf(normal,y0+,yb,fc)*2;%f(3)=2*cdf(normal,yb,fc);f(1)=1-f(2)-f(3);f=double(f);functionf=jf1(u,a0)%S过积分求出现次品的概率f=-624/*.erf(