利用向量法求空间角

1、§3.2.3立体几何中的向量方法利用空间向量求空间角教学目标1.使学生学会求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的向量方法；2.使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题；3.使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高.教学重点求解二面角的向量方法教学难点 二面角的大小与两平面法向量夹角的大小的关系教学过程一、复习引入1用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向

2、量运算）（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形）2向量的有关知识：（1）两向量数量积的定义：abO（2）两向量夹角公式：（3）平面的法向量：与平面垂直的向量二、知识讲解与典例分析知识点1：面直线所成的角（范围：）（1）定义：过空间任意一点o分别作异面直线a与b的平行线a´与b´，那么直线a´与b´ 所成的锐角或直角，叫做异面直线a与b 所成的角.（2）用向量法求异面直线所成角设两异面直线a、b的方向向量分别为和，问题1： 当与的夹角不大于90°时，异面直线a、b 所成的角与 和 的夹角的关系？ 问题 2：与的夹角大于90&#

3、176;时，异面直线a、b 所成的角与 和的夹角的关系？ 结论：异面直线a、b所成的角的余弦值为思考：在正方体中，若与分别为、的四等分点，求异面直线与的夹角余弦值？（1）方法总结：几何法；向量法（2）与相等吗？（3）空间向量的夹角与异面直线的夹角有什么区别？ABCA1B1C1xyZD例1如图，正三棱柱的底面边长为,侧棱长为，求和所成的角.解法步骤：1.写出异面直线的方向向量的坐标。 2.利用空间两个向量的夹角公式求出夹角。解：如图建立空间直角坐标系，则 ， 即和所成的角为练习1：在RtAOB中，AOB=90°，现将AOB沿着平面AOB的法向量方向平移到A1O1B1的位置，已知OA=O

4、B=OO1，取A1B1 、A1O1的中点D1 、F1，求异面直线BD1与AF1所成的角的余弦值。解：以点O为坐标原点建立空间直角坐标系，并设OA=1,则A(1,0,0) ，B(0,1,0) ，F1( ,0,1) ，D1( , ,1)所以，异面直线BD1与AF1所成的角的余弦值为知识点2、直线与平面所成的角（范围：）（图1）思考：设平面的法向量为，则与的关系？（图2）据图分析可得：结论：例2、如图，正三棱柱的底面边长为,侧棱长为，求和所成角的正弦值.分析：直线与平面所成的角步骤： 1. 求出平面的法向量2. 求出直线的方向向量3. 求以上两个向量的夹角，(锐角)其余角为所求角解：如图建立空间直角

5、坐标系，则ABCA1B1C1xyZD 设平面的法向量为 由取，和所成角的正弦值.练习：正方体的棱长为1，点、分别为、的中点.求直线与平面所成的角的正弦值.知识点3：二面角（范围：）DCBAl方向向量法：将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。如图，设二面角的大小为，其中.结论：例3 、 如图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处.从A，B到直线 （库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为 a 和 b ,CD的长为c , AB的长为d .求库底与水坝所成二面角的余弦值. 解：如图根据向量的加法法则, 于是，得设向量与 的夹角为，就是库与水坝所成的二面角.因此 所以 库底与水坝所成二面角的余弦值是法向量法ll结论： 或归纳：法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角.例4、如图，是一直角梯形，面，求面与面所成二面角的余弦值.解：如图建立空间直角坐标系，则 易知面的法向量为 设面的法向量为，则有 ，取，得， 又方向朝面内，方向朝面外，属于“一进一出”的情况，二面角等于法向量夹角 即所求二面角的余弦值为.练习：正方体的棱长为1，点、分别为、的中点.求二面角的余弦值。解：由题意知，则