初中数学竞赛标准教程及练习整数解

1、初中数学竞赛精品标准教程及练习（54）整数解一、内容提要1. 求方程或不等式的整数解，就是求适合等式或不等式的未知数的整数值，包括判断无整数解.2. 求整数解常用的性质、法则：.数的运.算性质：整数整数整数，整数整数整数，整数×整数整数，整数的自然数次幂整数,整数÷（这个整数的约数）整数.整系数的方程ax2+bx+c=0(a0)只有当b24ac是完全平方数时，才有整数根.有时用韦达定理x1+x2与x1x1 都是整数，来确定整数解，但必须检验（因为它们只是整数解必要条件）.运用二元一次方程求整数解（见第10讲）. .用列举法.3. 判定方程或不等式没有整数解，常用反证法.即设

2、有整数解之后，把整数按某一模m分类，逐一推出矛盾.二、例题例1.求下列方程的正整数解： xy+x+y=5； x2+y21991.解：先写成关于x的方程，（y+1）x=5y. x=.当y+1取6的约数±1,±2,±3,±6时，x的值是整数.10，且x>0, y>0, 1<y+1<6 . y=1或y=2.原方程有正整数解； 或. 又解：把左边写成积的形式：x(y+1)+y+1=5+1, (y+1)(x+1)=6.61×62×3，而正整数y+1>1, x+1>1. 或解得 ；或.要等式成立，x, y必须是

3、一奇一偶，设x=2a, y=2b1 (a,b都是正整数).左边x2+y2（2a）2+(2b1)2=4(a2+a+b2b)+1. a, b不论取什么整数值，左边的数都是除以4余1，而右边1991是除以4余3.等式永远不能成立. 原方程没有正整数解.例2. 一个正整数加上38或129都是完全平方数，求这个正整数. 若把正整数改为整数呢？解：设这个正整数为x，根据题意，得 (a,b 都是正整数).(2)(1)：b2a2=91 . (b+a)(ba)=91， 91=1×91=7×13 且b+a>ba. 或 解得，； 或.由方程(1)知 a>, 由方程(2)知 b>

4、.只有适合. x=a238=1987. 答(略).如果改为整数 ，则两组的解都适合. 另一个解是：x=a238=938=29.例3. 一个自然数与3的和是5的倍数，与3的差是6的倍数，则这个自然数的最小值是多少？ 解法一：用列举法 与3的和是5的倍数的自然数有：2，7，12，17，22，27，与3的差是6的倍数的自然数有：3，9， 15，22，27， 符合条件的 最小自然数是27.解法二：设所求自然数为x,那么 (a,b都是自然数). x= 5a3=6b+3, a= , a, b都是自然数， b+1是5的倍数， 其最小值是b=4. x=6b+3=27. 例4. m取什么整数值时，方程 mx2+

5、(m22)x(m+2)=0有整数解？解：设方程两个整数根为x1, x2. 那么它们的和、积都是整数.根据韦达定理： x1和 x2都是整数，m是2的约数， 即m=±1，±2.这只是整数解的必要条件，而不是充分条件，故要代入检验.当m=1时，原方程为x2x3=0, 没有整数解；当m=1 时，原方程为x2x1=0, 没有实数根；当m=2 或m=2 时，方程有整数解. 答：当m=2或 m=2时，方程 mx2+(m22)x(m+2)=0有整数解.例5.已知：n是正整数，且9n2+5n+26的值是两个相邻正整数的积.求：n的值.解：设9n2+5n+26m(m+1)， m为正整数.m2+

6、m(9n2+5n)=26. （ 把左边化为积的形式，先配方再分解因式）（m+）2(3n+)2=26+, (m+3n+)( m+3n)=25，去分母并整理得：（3m+9n+4）(3m9n1)=230. 2301×2302×1155×4610×23，且3m+9n3m9n.；或；或；或.解方程组，正整数的值只有n=2或n=6.例6.已知：方程x22(m+1)x+m2=0有两个整数根，且12m<60.求：m的整数值.解：要使一元二次方程有整数解，必须为完全平方数.2（m+1）24m2=8m+4=4(2m+1).即当2m+1 是完全平方数时，方程有整数解.1

7、2<m<60, 25<2m+1<121，完全平方数.2m+1=36,49,64,81,100. 则2m=35,48,63,80,99. m 的整数值，只有24，40.检验：当m=24 时，有整数解32，18； 当m=40时，有整数解50，32.答：当m=24或 m=40时，方程x22(m+1)x+m2=0有两个整数根.三、练习541. 已知x2y2=1991,则x,y的正整数解是.2. 方程x2+(y+1)2=5的整数解有.3. 已知x1,x2,x3,x2000都是正整数，写出下列方程的一组整数解：x1+x2=x1x2 的一组解为：. x1+x2+x3=x1x2x3 的

8、一组解为：.x1+x2+x3+x4=x1x2x3x4 的一组解为：.x1+x2+x3+x2000=x1x2x3x2000 的一组解为：.4. 已知100x(x+1) 150，则整数x=_.5. 已知x200<2300, 则正整数x=_.6. 如果x,y都是正整数，且0<x<10，0y9，那么 它们的和、差的范围是：0<x+y<_, _<xy<_.7. 已知 且A+B+C+D=100，则x=.8. 已知被除数是100以内的自然数，在和( )填上适当的数，使如下带余除法的运算成立：÷9. 已知a+2=b2=c×2=d÷2 且a

9、+b+c+d=1989. 则a=_，b=_，c=_，d=_.10. 若a,b,c,d是互不相等的整数，且 abcd=4. 则a+b+c+d=_.11. 求下列方程的整数解： 2x+2y=xy ； 2x+10y=1991.12. m取什么整数值时，下列方程有正整数解？ (x1)=4x ； m2x218mx+72=x26x.13. 已知长方形的长和宽都是整数值，且周长与面积的数值相同，求这个长方形的长和宽.14. 方程(xa)(x8)1=0有两个整数根，求a的值.15. 已知a,b是自然数且互质，试问关于x的方程：x2abx+(a+b)=0 是否有自然数解(两解都是自然数)如果有，把它求出来，如果没有请给予证明.16. 两个自然数的和比积小1000，其中一个是完全平方数，求这两个自然数.练习54参考答案：1.x=994,y=993 2.有8个解. 32，2 1，2，31，1，2，4 x1=x2=x3= x1998=1， x1999=2，x2000=20004. 10 11，11，12 5. 1，2 6. 0<x+y<19 ,