函数的周期性与函数的图象总结VIP

1、函数的周期性 主要知识：周期函数的定义：对于定义域内的每一个，都存在非零常数，使得恒成立，则称函数具有周期性，叫做的一个周期，则（）也是的周期，所有周期中的最小正数叫的最小正周期.几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：函数满足对定义域内任一实数（其中为常数）, ，则是以为周期的周期函数； ，则是以为周期的周期函数；，则是以为周期的周期函数； ，则是以为周期的周期函数； ，则是以为周期的周其函数；，则是以为周期的周期函数；，则是以为周期的周期函数.函数满足（） 若为奇函数，则其周期为， 若为偶函数，则其周期为.函数的图象关于直线和都对称，则函数是以为周期的周期函数；函数的图象关于两点、都对称

2、，则函数是以为周期的周期函数；函数的图象关于和直线都对称，则函数是以为周期的周期函数；图象的对称性一个函数的对称性：1、函数的图象关于点对称特殊的有： 函数的图象关于点对称。 函数的图象关于原点对称（奇函数）。 函数是奇函数关于点 对称。 ，函数关于点 对称2、两个函数的对称性：与关于X轴对称。与关于Y轴对称。与关于直线对称。函数与函数的图象关于直线对称.函数与函数关于直线对称。特殊地: 与函数的图象关于直线对称 与关于直线对称。 关于点(a,b)对称。 关于直线对称例1 定义在R上的非常数函数满足：为偶函数，且，则一定是（ ）A. 是偶函数，也是周期函数B. 是偶函数，但不是周期函数C. 是

3、奇函数，也是周期函数D. 是奇函数，但不是周期函数解：因为为偶函数，所以。所以有两条对称轴，因此是以10为其一个周期的周期函数，所以x0即y轴也是的对称轴，因此还是一个偶函数。故选（A）。例2 设是定义在R上的偶函数，且，当时，则_解：因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以的对称轴；又因为的对称轴。故是以2为周期的周期函数，所以例3 函数的图像的一条对称轴的方程是（ ）解：函数的图像的所有对称轴的方程是，所以，显然取时的对称轴方程是，故选（A）。例4 设是定义在R上的奇函数，且的图象关于直线，则：_解：函数的图像既关于原点对称，又关于直线对称，所以周期是2，又，图像关于对称，所以，所以例5、函

4、数对于任意实数满足条件，若则_。例6（08湖北卷6）已知在R上是奇函数，且A A.-2 B.2 C.-98 D.98例7（08四川卷）函数满足，若，则( C )（） （） （） （）例8 （2010安徽理数）若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)=1，f(2)=2则的值为（ ）A、 B、1 C、 D、2例9 （09江西卷）已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，则的值为 ( C )A B C D例10 2009广东三校一模）定义在上的函数是奇函数又是以为周期的周期函数,则等于(B)A.-1 B.0 C.1 D.4 例11 （2009全国卷理）函数的定义域为R，若与都是奇函数，则(

5、D) A、2009 B、-2009 C 、-2 D.、2例12 的定义域是，且,若求f(2008)的值。解：周期为8，例13 已知函数f（x）的定义域为R，则下列命题中：若f（x2）是偶函数，则函数f（x）的图象关于直线x2对称；若f（x+2）f（x2），则函数f（x）的图象关于原点对称；函数yf（2+x）与函数yf（2x）的图象关于直线x2对称；函数yf（x2）与函数yf（2x）的图象关于直线x2对称.其中正确的命题序号是 .【解析】 是错误的，由于f（x2）是偶函数得f（x2）f（x2），所以f（x）的图象关于直线x2对称；是错误的，由f（x+2）f（x2）得f（x+4）f（x），进而得f

6、（x+8）f（x），所以f（x）是周期为8的周期函数；是错误的，在第一个函数中，用x代x，y不变，即可得第二个函数，所以这两个函数图象关于y轴对称；是正确的，令x2t，则2xt，函数yf（t）与yf（t）的图象关于直线t0对称，即函数yf（x2）与yf（2x）的图象关于直线x2对称.例14（x）是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f（2）0，则方程f（x）0在区间（0，6）内解的个数的最小值是 ( D )A2 B3 C4 D5【解析】 f（x）为奇函数，f（0）0，又函数f（x）以3为周期，且f（2）0，f（2）0，f（1）0，f（4）0，f（3）0，f（5）0，在区间（0，6）内的解有1，2

7、，3，4，5.故选D.练习12、对函数f（x），当x（，）时，f（2x）f（2+x），f（7x）f（7+x），在闭区间0,7上，只有f（1）f（3）0.（1）试判断函数yf（x）的奇偶性；（2）试求方程f（x）0在闭区间2005，2005上的根的个数，并证明你的结论.【分析】 由已知f（2+x）f（2x），f（7x）f（7+x）知f（x）的图象有两条对称轴x2和x7，从而知f（x）是周期为10的周期函数，又在区间0，7上，只有f（1）f（3）0，画图易知，它是非奇非偶函数，且在一个周期0，10上只有2个根，故易求得方程f（x）0在的根的个数.【解】 （1）由已知得f（0）0，f（x）不是奇函数

8、，又由f（2x）f（2+x），得函数yf（x）的对称轴为x2，f（1）f（5）0，f（1）f（1），f（x）不是偶函数.故函数yf（x）是非奇非偶函数；（2）由 f（4x）f（14x） f（x）f（x+10），从而知yf（x）的周期是10.又f（3）f（1）0，f（11）f（13）f（7）f（9）0，故f（x）在0，10和10，0上均有两个解，从而可知函数yf（x）在0，2005上有402个解，在上2005，0有400个解，所以函数yf（x）在2005，2005上有802个解.函数的图象1描绘函数图象的基本方法有两种：描点法与图象变换法。2描点法：通过 、 、 三步，画出函数的图象，有时可利用

9、函数的性质（如奇偶性、单调性、周期性、对称性）以利于更简便的画出函数的图象。3函数图象变换：.图象变换法(1)平移变换水平平移：y=f(xa)(a0)的图象，可由y=f(x)的图象向左(+)或向右(-)平移a个单位而得到.竖直平移：y=f(x)b(b0)的图象，可由y=f(x)的图象向上(+)或向下(-)平移a个单位而得到.(2)对称变换y=f(-x)与y=f(x)关于y轴对称.y=-f(x)与y=f(x)关于x轴对称.y=-f(-x)与y=f(x)关于原点对称.y=f-1(x)与y=f(x)关于直线y=x对称.y=|f(x)|的图象可将y=f(x)的图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴作y=f(x)的图象的对称部分，其余部分不变.y=f(|x|)的图象可将y=f(x),x0的部分作出，再利