必修四第一章三角函数1.6 三角函数的周期性 （习题+解析）

1、.高中数学三角函数的周期性一、考点打破知识点课标要求题型说明三角函数的周期性1. 理解周期函数的定义；2. 知道正弦函数、余弦函数的最小正周期；3. 会求函数ysinx和ycosx的周期。填空解答高考必考周期性是三角型函数的重要性质，也是我们在所学的根本初等函数中唯一具备这一特性的函数。在解答题中往往出如今第1步，较为简单。客观题往往与图象等结合考查。二、重难点提示重点：求函数的周期、利用周期求函数值。难点：对定义的理解及定义的简单应用。一、周期函数的定义一般地，对于函数fx，假如存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足fxTfx，那么函数fx就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函

2、数的周期。【要点诠释】函数周期性的理解：定义应对定义域中的每一个值来说，只有个别的值满足fxTfx或不满足，都不能说T是fx的周期。从fxTfx来看，应强调是自变量x本身加的常数才是周期，如f2xTf2x中，T不是周期，而应写成，那么是fx的周期。对于一个周期函数，假如在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做的最小正周期。今后提到的三角函数的周期，如未特别指明，一般都是它的最小正周期。并不是所有的周期函数都存在最小正周期。例如常数函数为常数，其周期是任意实数，没有最小正数。周期函数的周期不是唯一的，假如T是函数fx的周期，那么kTkZ，k0也一定是函数的周期。【核心归纳】如

3、何利用定义判断函数是不是周期函数？1首先看定义域假设是定义域D内的一个值，那么也一定属于定义域D，因此周期函数的定义域D一定是无限集，而且定义域D一定无上界且无下界。2其次看恒等式是否成立对于定义域D内任意一个，是否有恒成立。假如成立，那么是周期函数。否那么，不是周期函数。二、的周期一般地，函数yAsinx和yAcosx其中A，为常数，且A0，0的周期T。【规律总结】求三角函数的周期，通常有三种方法。1定义法；2公式法，对yAsinx或yAcosxA，是常数，且A0，0，T；3图象法。三种方法各有所长，要根据函数式的构造特征，选择适当方法求解，为了防止出现错误，求周期之前要尽可能将函数化为同名

4、同角的三角函数，且函数的次数为1。例如：函数的周期为3，那么 。思路分析：利用yAsinxA，是常数，且A0，0的最小正周期为T这一结论解决。答案：由题得，那么技巧点拨：在运用公式法求周期时不要忽略绝对值。例题1 求三角函数的周期求以下函数的周期：1y3sinx；2y2cos；3y|sin x|。思路分析：利用公式法或定义法求解即可。假设0，那么先用诱导公式转化为正值，再用公式求周期。答案：1T4。2y2cos2cos，T4。3由ysin x的周期为2，可猜测y|sin x|的周期应为。验证：|sinx|sin x|sin x|，由周期函数的定义知y|sin x|的周期是。例题2 函数周期性的

5、判断设函数yfx，xR，假设函数yfx为偶函数并且图象关于直线xaa0对称，求证：函数yfx为周期函数。思路分析：要证函数yfx是周期函数，就是要找到一个常数TT0，使得对于任意实数x，都有fxTfx，可根据yfx的奇偶性与对称性推导证明。答案：由yfx的图象关于xa对称得f2axfx，f2axfx，fx为偶函数，fxfx，f2axfx，fx是以2a为周期的函数。【重要提示】1. 断定或证明一个函数是周期函数，就是找出一个详细的非零常数T满足fxTfx对定义域中一切x都成立。2. 假设函数fx对定义域内的一实在数x满足fxafx或fxa或fxa，那么fx都是周期函数，且2a为它的一个周期，这里

6、a为非零常数。函数周期性概念理解不透彻致误【总分值训练】判断函数ycos 4x，x，是否为最小正周期为的周期函数，假设不是，请说明理由。【错解】记fxcos 4x，设T为fx的周期，那么fxTfx，即cos 4xcos 4xT对任意实数x都成立，也就是cos4Tcos 对任意实数都成立，其中4x，由于ycos 的最小正周期为2，令4T2，得T，故函数ycos 4x，x，是最小正周期为的周期函数。【错因分析】导致错误的原因在于没有注意条件x，的限制，x时，xT，不符合周期函数的定义，即忽略了fxfxT对任意x都成立。【防范措施】要判断一个函数是否为周期函数，要看定义域I，对任意xI，有xTI；对任意xI，有fxfxT。要说明一个函数不是周期函数或者不是以T为周期的周期函数，只需要举一反例即可。【正解】由周期函数的定义可知，对定义域内的每一个x值，有fxTfx，故xT也应在定义域内，但是当x时，x，故函数ycos 4x，x，不是周期函数。利用周期解决多个值的和假设函数fnsinnZ，求f97f98f99f102的值。思路分析：直接求和较难，可以判断fn的周期性，利用周期函数在一个周期内函数值的变化情况求解。答案：由题意得sinsin2sinnZ，fnfn12，9712×81，9812×82，10212