人口增长模型的确定

1、数学建模论文第 1 套 论文题目：人口增长模型的确定 组 别： 姓 名：提交日期： 题目：人口增长模型的确定摘 要 针对问题一，本文建立了Malthus人口指数增长模型。由于人口数量较少时，人口的增长率可以看成常数，所以在预测人口数量较少时，Malthus人口指数增长模型能够比较准确的预测人口数量。由预测结果可以看出，Malthus模型在人口数量不是很大的1800年到1960年预测与实际相近，但在1960年以后预测结果与实际人口相差很大，这说明Malthus模型并不能准确的预测美国人口，因此在问题二种对该模型进行了改进。 针对问题二，本文建立了logistic人口增长模型。由于受到自然资源和生

2、态环境的限制，人口的增长不能超过环境所能容纳的最大人口数量，所以当人口数量到达环境容纳量时，增长率应为0。从预测结果来看，从1790年到1980年Logistic模型的预测数据和实际数据基本吻合。从1990年的预测结果来看，其与实际结果非常相近，更加趋近于实际数据。在一定程度上，Logistic模型从一定程度上克服了指数增长的不足，更能准确地预测美国人口的增长。但随着时间的推移，Logistic模型的预测结果与实际结果的差距越来越大，因此这种模型也只适用于对最近几个十年的人口进行预测。 针对问题三，本文应用问题一和问题二的模型。用这两种模型分析中国同时期的人口数量。由预测结果来看，Malthu

3、s模型预测1790年到1980年之间的中国人口数量，与实际数据相差甚大，在1840-1940年之间，实际人口增长明显下降，而Logistic模型更加拟合实际人口数量。在2010年，Logistic模型预测的人口数量为16亿，这与实际的人口数量13.4亿相差较大，这种差距是由中国在90年代实行的计划生育政策造成的。 综上所述，Logistic模型能够比较准确的对人口进行预测，但是任何一种模型都有其适用范围，也只能最近几年的人口，如果要预测更远的未来的人口，还需要考虑更多的不确定因素。关键词：人口增长模型，Malthus模型，logistic模型，人口预测一、问题重述1790-1980年间美国每隔

4、10年的人口记录如下表所示。表1 人口记录表年份1790180018101820183018401850186018701880人口(´106)3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.2年份1890190019101920193019401950196019701980人口(´106)62.976.092.0106.5123.2131.7150.7179.3204.0226.51.试用以上数据建立马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型，并对接下来的每隔十年预测五次人口数量，并查阅实际数据进行比对分析。2.如果数据不相符，再对以上模型进行改进

5、，寻找更为合适的模型进行预测，并对两次预测结果进行对比分析。3.查阅资料找出中国人口与表1同时期的人口数量，用以上建立的两个模型进行人口预测与分析。2、 问题分析针对问题一，题目中已经给出了1790-1980年间美国每隔10年的人口记录，现需建立Malthus人口指数增长模型，拟合实际人口数量。再根据已建立的模型对接下来的每隔十年预测五次人口数量，最后可以查找1990年、2000年和2010年的实际人口与预测的结果进行比较，对模型进行检验。针对问题二，由于人口的变化受到多方面因素的影响，所以实际人口往往不是以指数形式增长的，而更可能是增长到一定程度后逐渐趋于平稳的，为此我们可以采用Logist

6、ic阻滞增长模型对人口进行预测和分析。针对问题三，可以查阅到与表1同时期的中国人口数据，然后用再用Malthus模型和Logistic模型对中国人口进行预测，并与实际人口数据进行对比，寻找一种更适合中国人口预测的模型。三、问题假设1、假设不会发生大的灾难或疾病使人口数量急剧减少；2、假设政策对生育率不进行干预；3、假设人口数量的变化是封闭的，即人口数量的增加与减少只取决于人口中个体的生育与死亡，且每个个体具有同样的生育能力与死亡率；4、假设人口数量仅受自然资源与环境条件所限制。四、变量说明 x(t)t时刻的人口数量x0初始时刻的人口数量r人口增长率xm自然资源与环境条件所能容纳的最大人口数量

7、五、模型建立与求解5.1 模型一的建立与求解假设x(t)表示t时刻的人口的人口数，且x(t)连续可微。在Malthus模型中人口的增长率为常数。人口数量的变化是封闭的，即人口的增长与减少只取决于人口中个体的生育与死亡，且每个个体具有同样的生育率与死亡率。由假设，由t到时刻的人口增量为：于是得其解为5.2 模型二的建立与求解 由于地球上的资源是有限的，它只能提供一定数量生命生存所需的条件。随着人口的增加，自然资源、环境等条件对人口再增长的限制作用越来越明显。如果在人口较小时，可以把增长率r看成常数，当人口增加到一定数量之后，就应该把r看成随着人口增加而减小的量。即将增长率r表示为人口x(t)的函

8、数r(x)，且r(x)为x的减函数，由此建立logistic模型。假设r(x)为x的线性函数，即自然资源与环境所能容纳的最大人口数量为xm，即当时，人口的增长率为0。由假设可得则有，式（）是一个可分离变量的方程，其解为六、结果分析6.1 问题一采用Malthus模型对问题一求解，所得预测结果如图1和表2所示：图1 Malthus模型预测结果 表2 Malthus模型预测结果年份19902000201020202030Malthus预测人口（106）405.53502.40622.41771.08955.26实际人口（106）248.71281.42308.74 由图1可知，在1930年之前，美

9、国的人口可以认为是以指数模型增长的；而在1930年到1940年之间，人口增长缓慢，这可能是第二次世界大战对美国人口产生了影响；1940年之后，人口增长逐渐趋于缓慢，不再以指数模型进行增长，这与美国人口的生活观念和生活方式的转变有一定的关系。由表2可知，Malthus模型的预测结果与实际人口相差很大，这说明Malthus模型并不能用于预测美国人口，因此该模型还需要进一步改进。6.2 问题二采用Logistic模型对问题二求解，所得预测结果如图2和表3所示：图1 Logistic模型预测结果 表3 Logistic模型预测结果年份19902000201020202030Logistic预测人口（1

10、06）230.91242.51252.01259.66265.72实际人口（106）248.71281.42308.74 由图2可知，从1790年到1980年Logistic模型的预测数据和实际数据基本吻合。从1990年的预测结果来看，其与实际结果非常相近，只有7.7%的误差。这说明Logistic模型从一定程度上克服了指数增长的不足，更加符合实际人口增长的速度。但随着时间的推移，Logistic模型的预测结果与实际结果的差距越来越大，因此这种模型也只适用于对最近几个十年的人口进行预测，如果用来预测更远的未来的人口，还需要考虑更多的不确定因素。6.3 问题三查阅同时期中国人口数量如下表4所示：

11、 表4 中国人口记录表年份1790180018101820183018401850186018701880人口（）323.45341.6360.7381409412412377358368年份1890190019101920193019401950196019701980人口（）380400423472489518.77551.67662.07825.4987.0分别用模型一和模型二的求解，所得预测结果如图3和表5所示：年份19902000201020202030Malthus预测人口（106）702.16732.44764.20796.96831.33Logistic预测人口（106）113

12、7.031352.091606.621900.12228.6实际人口（106）1135.181264.101341 由图3发现，由Malthus模型预测1790年-1980年之间的中国人口数量，与实际数据相差很大，在1840-1940年之间，人口增长明显下降，而Logistic模型更加拟合实际人口数量。在2010年，Logistic模型预测的人口数量为16亿，这与实际的人口数量13.4亿相差较大，这种差距是由中国在90年代实行的计划生育政策造成的。八、参考文献1 张志涌，杨祖樱. MATLAB教程M. 北京：北京航空航天大学出版社, 2011.2 姜启源，谢金星，叶俊.数学建模(第三版)习题参

13、考解答M,北京，高等教育出版社，2002.3 齐欢.数学模型方法M.武汉：华中理工大学出版社，2005.4 谢金星，薛毅.优化建模与LINDO/LINGO软件M.北京，清华大学出版社，20055 李工农，阮晓，青徐晨.经济预测与决策及其MATLAB实现M.北京：清华大学出版社，2007.九、附录程序1clearclct=1790:10:1980;x(t)=3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 ;y=log(x(t);a=poly

14、fit(t,y,1)r=a(1),x0=exp(a(2)t1=1790:10:2030;x1=x0.*exp(r.*t1);plot(t,x(t),'r',t1,x1,'b');axis(1790 2010 0 700);程序2clearclc% 定义向量（数组）x=1790:10:1980;y=3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76 . 92 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204 226.5;plot(x,y,'*',x,y); % 画点，并且画一

15、直线把各点连起来hold on; a0=0.001,1; % 初值% 最重要的函数，第1个参数是函数名（一个同名的m文件定义），第2个参数是初值，第3、4个参数是已知数据点a=lsqcurvefit('curvefit_fun2',a0,x,y); disp('a=' num2str(a); % 显示结果% 画图检验结果xi=1790:10:2010;yi=curvefit_fun2(a,xi);plot(xi,yi,'r');% 预测1990年的数据x1=1990;y1=curvefit_fun2(a,x1)% 预测2000年的数据x2=200

16、0;y2=curvefit_fun2(a,x2)% 预测2010年的数据x3=2010;y3=curvefit_fun2(a,x3)% 预测2020年的数据x4=2020;y4=curvefit_fun2(a,x4)% 预测2030年的数据x5=2030;y5=curvefit_fun2(a,x5)hold off美国人口预测年份实际LogisticMalthus相对误差(Malthus)相对误差（Logistic)17903.93.95.59167-43.37615385018005.35.166916.92733-30.704339622.51113207518107.26.83548.5

17、8203-19.194861115.06388888918209.69.0253410.63198-10.749791675.986041667183012.911.8870313.17159-2.1053488377.85248062184017.115.6049416.317834.5740935678.743040936185023.220.3991220.215612.863793112.07275862186031.426.5216625.0444220.2407006415.53611465187038.634.2447731.0266719.6200259111.28297927

18、188050.243.8367638.4378723.4305378512.67577689189062.955.5226947.6193624.2935453111.7286327519007669.4302758.9939922.376328958.64438157919109285.5281473.0856220.55910877.0346304351920106.5103.5725590.5432614.982854462.7487793431930123.2123.08527112.170948.9521590910.0931251940131.7143.38309138.96472

19、-5.516112377-8.8709870921950150.7163.66332172.15862-14.23929662-8.6020703381960179.3183.12602213.28139-18.95225321-2.1338650311970204201.09536264.22698-29.523029411.4238431371980226.5217.10295327.34173-44.52173514.1488079471990-230.91488405.532422000-242.50778502.400172010-252.01481622.40632020259.6

20、639771.077782030265.7242955.26175中国人口预测年份中国MalthusLogistic相对误差(Malthus)相对误差（Logistic）1790323.45301.81471303.96.6889132796.0442108521800341.6314.8293305.142587.83685597210.672546841810360.75328.40509306.780568.96601801814.960343731820381342.56629308.939410.0875879318.913543311830409357.33813311.7840812.6312640623.769173591840412372.74695315.53149.5274393223.414708741850412388.82021320.465845.62616262122.217029131860377405.58657326.96015-7.58264456213.27