JumpEGARCH模型基础上检验跳跃现象

1、 第1组计量经济学理论与方法Jump-EGARCH模型基础上检验跳跃现象一文献综述自回归条件异方差模型（ARCH模型）自恩格尔(1982)提议以来，因为能够拟合随时间而变得波动，在金融领域得到广泛地应用。但是ARCH模型不仅要求其参数具备非负性，而且还不能反映波动的非对称性，为此内尔松(1991)提议指数自回归条件异方差模型（EGARCH模型）克服ARCH模型的弱点。虽然EGARCH模型容易估计，且具有很好的统计性质，但是大量的实证分析证明EGARCH模型还不能充分地描述金融资产普遍存在的“尖峰肥尾”和“杠杆效应”等现象。现在一种比较有效的方法，如乔瑞（1989），达斯（2000），贝内（20

2、03）以及约翰斯（2004）等，在ARCH模型的基础上，增加跳跃因素，即Jump-ARCH模型，ARCH部分用来模拟正常的波动，跳跃部分用来反映给金融资产的收益带来很大影响的突发事件。Jump-ARCH模型不仅能够更好地描述金融资产具有的“肥尾”现象，还由于得到正常的波动部分和“跳跃”因素两方面的贡献，更好地拟合金融资产收益上的“尖峰”现象。虽然Jump-ARCH模型广泛地用于资产定价和金融风险等领域，遗憾的是，现存的Jump-ARCH文献中都几乎没有进行模型的检验，即跳跃现象的检验。计量经济学上，模型的检验与估计同等重要。因为经济研究都是在一定的前提条件下进行，即任何经济理论和经济原理都是有

3、条件的，理解和检验这些条件很重要，计量经济学就是通过模型的检验来理解和验证这些条件。乔瑞(1989), 潘(2002)和哈拉夫(2003)等仅有的几篇文献进行模型的检验，可惜是用似然比检验法检验跳跃现象。如安德鲁(2001)和 哈拉夫(2003)所述，用似然比检验法检验跳跃现象时，面临不可定义参数(nuisance parameter)的检验问题，于是无法保证似然比检验统计量渐进地服从正态分布或者分布。本文尝试借用迪拉克·德鲁塔（Diracs delta）函数的思想，很幸运地提出规避不可定义参数的检验跳跃现象的拉格朗日乘数检验统计量。本文安排如下：第二章讨论使用的跳跃模型和提议拉格朗

4、日检验统计量；第三章进行了蒙特卡罗计算机仿真实验，验证提议的拉格朗日检验统计量所具备的检验效率；最后进行了简单的总结。二模型和拉格朗日检验统计量为了提议的拉格朗日成数检验统计量能够广泛地应用，延承文献，本文对跳跃部分进行具有一般性的假设。具体伴随着跳跃现象的EGARCH模型，即Jump-EGARCH模型如下： (1) ,， , ， , , .其中，和 分别代表经过均值调整过的金融资产的收益和误差项的条件方差； 代表期间内观察到的跳跃现象给带来的影响；代表期间内观察到的第s次跳跃现象给带来的影响，并假设每次跳跃给带来的影响服从均值为，方差为的正态分布，即。自然，通过检验均值和方差是否同时为0，即

5、，来判断是否出现了可以观察到的跳跃现象；代表期间内出现可以观察到的跳跃的次数，并假设跳跃出现的次数服从参数为的泊松分布，即。如果，则意味着期间内没有出现可以观察到的跳跃现象；如果对于任意的t而言， 则意味着在整个样本区间内没有出现能够观察到的跳跃现象。虽然逻辑上可以通过检验与否来判断样本区间内出现能够观察到的跳跃现象，不幸，统计学上无法检验。此外，还假设跳跃出现次数与跳跃出现的频率无关；跳跃出现与否，以及跳跃带来的影响都与传统的EGARCH波动无关。为了计算方便，假设单位时间为一天。显然，对于任意单位时间内，如果，方程（1）所定义的Jump-EGARCH过程实际上是一个EGARCH模型。把EG

6、ARCH模型理解为退化的跳跃过程和EGARCH波动复合而成的模型。自然，可以通过检验跳跃的影响是否服从均值和方差同时为0的正态分布，来判断样本是否出现了可以观察到的跳跃现象，进而判别应该使用EGARCH模型，还是使用Jump-EGARCH模型拟合该金融资产的收益。原假设和备择假设分别定义为： ；. 原假设，表示没有出现跳跃现象，即EGARCH模型； 备择假设，意味着出现跳跃现象，即Jump-EGARCH模型。传统上，有沃尔德检验法，似然比检验法，和拉格朗日乘数检验法三种检验方法。前两种检验法都需要借用备择假设的信息进行检验。检验跳跃过程时，存在不可定义参数，从而无法保证这两种检验统计量渐进地服

7、从分布。LM统计量只需借助原假设的信息计算而得，一定程度上能够规避不可定义参数的检验问题。假设跳跃过程与EGARCH模型无关，于是先考虑跳跃部分密度函数的计算。若某一单位时间内没有出现跳跃现象，认为此时出现了退化的跳跃现象，即没有影响的跳跃。自然可以认为退化的跳跃带来的影响服从均值和方差都为0正态分布。虽然无法直接计算方差为0的正态密度函数的导数，但是把退化的跳跃理解成中心为0的迪拉克·德鲁塔函数，不仅可以计算似然函数，而且还能简化一阶导数的计算。t时刻的跳跃部分的密度函数分成两部分：权重为的跳跃部分，和权重为的退化跳跃的部分。密度函数 , (2)其中，迪拉克·德鲁塔函数代

8、表退化的跳跃现象；代表标准正态分布的密度函数；和分别代表单位时间t内出现跳跃现象和没出现跳跃现象的概率。 此外，迪拉克·德鲁塔函数还能够简化一阶导数的计算。对于迪拉克·德鲁塔函数，任意的函数和自然数k，存在， 。 (3) 联合密度函数通过对变量进行积分得到单位时间t的密度函数， 。 (4)于是，对数似然函数 。(5)样本的对数似然函数 。 经过计算，本文提议的LM检验统计量S表示为,其中，, , 代表对数似然函数，具体, ，代表一个由费歇尔情报矩阵(Fisher Information Matrix）I的逆矩阵中的前两行和前两列的元素构成2行2列的对称矩阵。具体I为 虽然，

9、和中存在不可定义参数，但是通过对和的分别乘上和， 可以得到与参数无关的 和 ，从而保证了LM统计量S与无关，规避了不可定义参数的检验问题。当样本很大时，提议的检验统计量S渐进地服从分布，即。三 计算机仿真和实证分析由于不能通过解析的方法证明本文提议的LM检验统计量是否渐进地服从分布，即证明，于是使用蒙特卡罗仿真技术进行计算机仿真实验来验证LM检验统计量S是否真的渐进地服从分布。LM检验统计量是在没有跳跃出现原假设的基础上计算得到的，即在一个EGARCH模型的基础上估计得到。于是，本文制作服从EGARCH分布的随机数据，计算提议的LM检验统计量S。如果S渐进地服从于自由度为2的分布，说明所提议的

10、LM检验统计量S是有效的，否则为无效。具体，用TSP（Time Series Procedure）软件，制作了2100个服从于EGARCH分布的随机数据。为了规避初始值的影响，删掉样本中的前100个数据。虽然已经对所有参数的方差和协方差进行了解析计算，但是除非知道全部方差和协方差具体数值，否则无法计算费歇情报矩阵。一般情况下，用一阶导数的积来估计费歇情报矩阵I，这种方法又简称为BHHH法。具体秉承惯例，本文也用BHHH方法估计费歇情报矩阵I。分别对由1985年10月17日到1989年9月29日和1989年10月2日到1993年9月14日1000个标准普尔500指数构成的样本进行跳跃的检验，结果

11、含有1987年10月19日黑色星期一的第一个样本的拉格朗日乘数检验统计量为9.23，拒绝没有跳跃现象的原假设；第二个样本的拉格朗日乘数检验统计量为2.59，无法拒绝没出现跳跃现象的原假设。这些结果有力地支持EGARCH模型可以拟合金融资产收益的正常波动，跳跃过程只能模拟给金融资产带来很大影响的突发事件，例如1989年10月19的黑色星期一。四 结论虽然Jump-EGARCH模型比EGARCH模型能够更好地拟和金融数据的“尖峰肥尾”和“杠杆效应”。但是跳跃模型很难估计，如果能够准确地区分EGARCH模型和Jump-EGARCH过程，即弄清楚Jump-EGARCH过程的“来龙”，既可以进行准确的分

12、析，而且也有助于EGARCH模型和Jump-EGARCH模型的推广应用。可是，由于在进行在Jump-EGARCH模型的基础上检验跳跃现象出现与否时常常遇到不可定义参数的检验问题。存在不可定义参数，即使是大样本，传统的渐进理论和标准的检验方法也无能为力。为此，首次提议成功规避不可定义参数检验拉格朗日乘数检验统计量。并通过蒙特卡罗仿真实验和实证分析证实该检验统计量的效率。参考文献1 Ball C.A. and W.N. Torous, 1985. On Jumps in Common Stock Prices and Their Impact on Call Pricing. Journal of

13、 Finance 40, 155-173.2 Bates D.S., 1996. Jumps and Stochastic Volatility: Exchange Rate Processes Implicit in Deutschemark Options. Review of Financial Studies 9, 69-107.3 Bates D.S., 2000. Post-87 Crash Fears in the S$P 500 Futures Option Market. Journal of Econometrics 94, 181-238.4 Beine M and S.

14、 Laurent, 2003. Central Bank Interventions and Jumps in Double Long Memory Models of Daily Exchange Rates. Journal of Empirical Finance 10, 641-660.5 Chernov M., A. R. Gallant, E. Ghysels and G. Tauchen,. 2003. Alternative models for stock price dynamics. Journal of Econometrics 116, 225-257.6 Consi

15、gli G., 2002. Tail Estimation and Mean-VaR Portfolio Selection in Markets Subject to Financial Instability. Journal of Banking & Finance 26, 1355-1382.7 Das S.R., 1999. A Direct Discrete-time Approach to Poisson-Gaussian Bond Option Pricing in the Healt-Jarrow-Morton Model. Journal of Economic D

16、ynamics and Control 23, 333-369.8 Das S.R., 2002. The Surprise Element: Jumps in Interest Rates. Journal of Econometrics 106, 27-65.9 Davies R.B., 1977, Hypothesis testing when a nuisance parameter is present only under the alternative, Biometrika 64 247-254.10 Drost F. and Werker B., 1996. Closing

17、the GARCH Gap Continuous Time GARCH Modeling. Journal of Econometrics 74, 31-57.11 Duffie D. and J. Pan, 2001. Analytical Value at Risk with Jumps and Credit Risk. Finance and Stochastics 5, 155-180.12 Jarrow R.A. and D. Madan , 1995. Option Pricing Using the Term Structure of Interest Rates to Hedg

18、e Systematic Discontinuities in Asset Returns. Mathematical Finance 5, 311-336.13 Johannes M., 2004. The Statistical and Economic Role of Jumps in Continuous-Time Rate Models. Journal of Finance 59, 227-260.14 Jorion P., 1989. On Jump Processes in the Foreign Exchange and Stock Markets. Review of Fi

19、nancial Studies 1, 427-445.15 Khalaf L., J. Saphores and J. Bilodeau, 2003. Simulation-based Exact Jump Tests in Models with Conditional Heteroskedasticity. Journal of Economic Dynamics & Control 28, 531-553.16 Kijima M. and T. Suzuki, 2001. A Jump-Diffusion Model for Pricing Corporate Debt Securities in a Complex Capital Structure. Quantitative Finance 1, 611-62