2参数方程知识讲解及典型例题

1、参数方程一、定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个参数t的函数，即，其中，t为参数，并且对于t每一个允许值，由方程组所确定的点M（x，y）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数t叫做参变数，简称参数注意：参数方程没有直接体现曲线上点的横纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横纵坐标与参数间的关系。二、二次曲线的参数方程1、圆的参数方程：特殊：圆心是（0,0），半径为r的圆：一般：圆心在（x0，y0），半径等于r的圆：（为参数，的几何意义为圆心角），Eg1：已知点P（x，y）是圆x2+y2-6x-4y+12=0上的动点，求：（1）x2+

2、y2的最值；（2）x+y的最值；（3）点P到直线x+y-1=0的距离d的最值。Eg2：将下列参数方程化为普通方程（1） x=2+3cos （2） x=sin （3） x=t+ y=3sin y=cos y=t2+总结：参数方程化为普通方程步骤：（1）消参（2）求定义域2、椭圆的参数方程：中心在原点，焦点在x轴上的椭圆：（为参数，的几何意义是离心角，如图角AON是离心角）注意：离心率和离心角没关系，如图，分别以椭圆的长轴和短轴为半径画两个同心圆，M点的轨迹是椭圆，中心在（x0，y0）椭圆的参数方程： Eg：求椭圆=1上的点到M（2,0）的最小值。3、双曲线的参数方程：中心在原点，焦点在x轴上的双

3、曲线： （为参数，代表离心角），中心在（x0，y0），焦点在x轴上的双曲线： 4、抛物线的参数方程：顶点在原点，焦点在x轴正半轴上的抛物线：（t为参数，p0，t的几何意义为过圆点的直线的斜率的倒数）直线方程与抛物线方程联立即可得到。三、一次曲线（直线）的参数方程过定点P0（x0，y0），倾角为的直线， P是直线上任意一点，设P0P=t，P0P叫点P到定点P0的有向距离，在P0两侧t的符号相反，直线的参数方程 （t为参数，t的几何意义为有向距离）说明：t的符号相对于点P0，正负在P0点两侧 P0P=t直线参数方程的变式： ，但此时t的几何意义不是有向距离，只有当t前面系数的平方和是1时，几何意义

4、才是有向距离，所以，将上式进行整理，得 ，让作为t，则此时t的几何意义是有向距离。Eg：求直线 x=-1+3t y=2-4t，求其倾斜角.极坐标与参数方程练习题基础训练A组一、选择题1若直线的参数方程为，则直线的斜率为（ ）A B C D2下列在曲线上的点是（ ）A B C D 3将参数方程化为普通方程为（ ）A B C D 4化极坐标方程为直角坐标方程为（ ）A B C D 5点的直角坐标是，则点的极坐标为（ ）A B C D 6极坐标方程表示的曲线为（ ）A一条射线和一个圆 B两条直线 C一条直线和一个圆 D一个圆二、填空题1直线的斜率为_。2参数方程的普通方程为_。3已知直线与直线相交于

5、点，又点，则_。4直线被圆截得的弦长为_。三、解答题1已知点是圆上的动点，（1）求的取值范围；（2）若恒成立，求实数的取值范围。2求直线和直线的交点的坐标，及点与的距离。3在椭圆上找一点，使这一点到直线的距离的最小值。 综合训练B组一、选择题1直线的参数方程为，上的点对应的参数是，则点与之间的距离是（ ）A B C D 2参数方程为表示的曲线是（ ）A一条直线 B两条直线 C一条射线 D两条射线3直线和圆交于两点，则的中点坐标为（ ）A B C D 4圆的圆心坐标是（ ）A B C D 5与参数方程为等价的普通方程为（ ）A B C D 6直线被圆所截得的弦长为（ ）A B C D 二、填空题1曲线的参数方程是，则它的普通方程为_。2直线过定点_。3点是椭圆上的一个动点，则的最大值为_。4曲线的极坐标方程为，则曲线的直角坐标方程为_。5设则圆的参数方程为_。三、解答题1点在椭圆上，求点到直线的最大距离和最小距离。2已知直线经过点,倾斜角，（1）写出直线的参数方程。（2）设与圆相交与两点，求点到两点的距离之积。极坐标与参数方程练习题答案 基础训练A组一、选择题 1D 2B 3C 4C5C 6C 二、填空题1 2 3 4 三、解答题1解：（1）；