§21平面的等距变换

1、.第二章平面图形的对称群2.1平面的等距变换定义 1.1设是一个平面，映射 f ：，则 f 是一个双射。若 f 是保持平面内任意两点间的距离不变，则f 是平面 的等距变换。记P，Q， PQf ( P) f (Q) 。例 1.2 ：（1）平面变换：设是一个平面，点 O是 内的一个定点，是一个以 O为起点的定向量，平移是只平面内一个点到另一个点的映uuuruuur射， t ： P P ，满足 OPOP，则平移变换是一个等距变换。（2）反射变换：设是一个平面， l 是 内的一条直线。平面关于 l 的反射变换是指平面到 的一个映射 W： p p 。W把内的点 P 映射到关于直线 l的对称点 p ，则该

2、变换是一个等距变换。（3）旋转变换：设是一个平面， D 是 内的一个固定点，定义到自身的一个映射P:PP ，P 把 内的任意一点 P 绕 O点沿逆时针方向旋转角度后映射到 p ，这个映射称为以O为中心转角度的旋转。（4）滑动反射变换：将 沿直线 l 做一个平移，再关于 l 做一个反射，对 的这种操作确定了 内点到点之间的一个对应关系称为平面的滑动反射变换。（5）恒等变换命题 1.3若 f 是一个平面等距变换，则中不同的 P，Q，R 共线f(P) ，f(Q) ，f(R) 共线，从而若 l 是一条直线，则 f （l ）也是一条直线。.证明：设P， Q，R 三点共线，选取记号使得R 在 P，Q 之间

3、，则PQ PRQR 。假设 f(P) ，f(Q) ，f(R) 不共线，则他们是三角形的顶点，则 f (P) f (Q) f ( P) f ( R) +f (R) f (Q) ，这与 f 是等距变换相矛盾，反之可类似证明。若 f ( L) 不是直线，则他有不共线的三点f(P) ，f(Q) ，f(R) ，其中 P，Q，R共线于 l 上矛盾。从而结论得证。例： 1、4 证明：在平面等距变换下，三角形的形状和大小都保持不变。证：设 f 是内一个等距变换，ABC是内任意一个三角形，则 AB f A f B ， BC f B f C ， AC f A f C 又 AB AC BC ，从而 f A f B

4、f A f C f B f C则 f A , f B , f C 为一个三角形的三个顶点，且ABCf A f B f COPa , b , OQc , d点积： OP OQa, bc,dacbdPQ PQ c a, d b c a, d b c a 2d b 22PQ命题 1、5设 f 是平面的一个等距变换，则 f 保持点积不变等价于 f 00, (0为原点 ) 。证明：“充分性”，若对 P， Q.都有f O f P f Of QOP OQ则 f O f Of O f O0 00f 00.“必要性”若f 00, (0为原点 )则P . OP f O f P2f (Q)2f (P)2 f P f

5、 (Q)f ( P) f (Q)f (P ) f (Q)2f (P) f (Q)2222OP OQPQOPOQOf ( P) Of (Q)OP OQ定义 1、6设 f ： 到平面等距变换，若在内，至少存在一个点 o, 使得 f 0 0, 称 f 为有不动点的等距变换。例如：反射变换，旋转变换，恒等变换。记平面 的所有等距变换构成集合为 Isom( )记平面固定原点有等距变换构成集合为O（2，）。则 AB= f ( A) f (B) , AC f ( A) f (C ) , BC f ( B) f (C) ,又 ABAC BC ，从而 f(A)f(B) f(A)f(C) + f(B)f(C)则

6、f(A) ， f(B) ， f(C) 为三角形的三个顶点 ，且 ABCf(A)f(B)f(C)op (a, b), oq (c, d )点积： opgoq( a, b)( c, d)acbd ，uur uur(ca)2(db)2uur 2pqgpqpq命题 1.5设 f 是平面 Z 上的一个等距变换，则f 保持点积不变f (0)0(0为原点 )uuuuuuuuuuruuuuuuuuuuruur uur证明：若对 p,qZ，都有 f (o) （f p）gf (O ) f (q)opgoq ，则 f(0)=0.若 f (0)0则 pZ ,uuruuuuuuuuuuruuuuuur 22opf (o

7、) f ( p) , of ( p)0gf (q)uuruuuuuuuuuuropf (o) f ( p),uuuuuur2of ( p) 0gf (q)uuuuuuuuuur 2uur 2uur 2uur 2uur uurf ( q) f ( p)pqopoq2 op oquuuuuur uuuuuuuuruur uurof ( p) g0gf (q)opgoq定义 1.6设 f:z-Z平面等距变换若在 Z 中至少有一个点0 使得 f(0)=0,称 f 为不动点的等距变换，（例如：反射变换、旋转变换）。记平面 Z 的所有等距变换构成的等距变换集合为Isom(z) ，记平面固定点的所以等距变换构成的集合为D（Z，z）。例 2.4 ：求邻不等且非矩形的平行四边形的对称群。DCBA解:S()I,其中是系统中心作180 的旋转变换下证不再向其它的对称变换：设 f 是 k 的一个对称变换。 f 使得中心点 o 保持不变 （而 f ( o) o ）于是 f ( A), f (B) 就能完全确定 f 。f ( )与重合，故 f 把的顶点变成的顶点。A B , 故只能是 f (A) A, 或 f ( A) C又