“奇妙的斐波纳契数列” - 南通教育网

1、“奇妙的斐波纳契数列”教学设计及说明江苏省东台市实验小学 周卫东（224200）教学内容：课外阅读材料“奇妙的斐波纳契数列” 教学目标： 1、使学生认识“斐波纳契数列”及其部分特性。2、在经历感知、分析、归纳和应用的过程中培养学生的思维能力，形成一定的数感，养成良好的思维品质。3、在知识结构不断拓展、能力不断提升的过程中，感悟数学文化的广袤与久远，形成积极的数学情感。教学对象：六年级学生教学过程：一、初涉规律、引入新课填数：5，10，15，（ ），（ ），30。1，2，3，4，1，2，3，4，。第39个数是（ ）。同学们之所以能迅速地找到问题的答案，就是因为大家找到了其中的规律。按照规律思考，

2、问题就变得简单、明了。其实，我们的数学中就存在许多这样的规律，今天，让我们再次带着发现的眼光，走进一种数列，来探索一些规律。二、多层探索、展开发现1、初步探索（媒体出现下图）在蜂房的左上角有一只笨拙的小蜜蜂，它还不能飞，但是它会爬。在爬行时遵循一条死板的规则：任何时候都只能向右边爬（正右方、右上方或右下方），从一间蜂房爬到相邻的右边的蜂房，不能再爬回左边。那么，小蜜蜂要从最初的位置爬到3号房，共有多少种不同的走法？学生自由尝试、求解。交流：起点13；起点123；起点013；起点0123；起点023。共有5种走法。2、深入研究（媒体出现右图）现在蜂房变成了9个，共有多少种不同的走法呢？如果还是让

3、你用刚才的列举法来解答，你有什么感觉？当蜂房少的时候，问题很容易解决，可蜂房一多，不同的走法就非常多，很容易弄乱，找出全部答案就很困难，要想解决问题，就得从简到繁，直至找到其中的规律，谁能介绍自己的想法？随着交流的过程，完成如下板书：蜂房号012345678不同走法12358132134553、讨论该数列的关键以4号蜂房以例，为什么是8种走法？也就是说为什么可以用“3+5”来计算？（用多媒体课件辅助理解） 4、揭示从起点到0、1、2、3、4、5、6、7、8号蜂房，各自的走法，排列成了一个有规律的数列。这个数列如果在前面再加上一个“1”，就组成了数学史上有名的“斐波纳契数列”（板书课题）。如果让

4、你继续往后写的话，你会写吗？谁能试试？为什么？能写完吗？三、追溯历史、提升认识其实这个数列还有一个名称，叫“斐波纳契兔子数列”，为什么叫这个名称呢？（媒体演播）1228年，意大利数学家斐波纳契在算经中提出了一个著名的问题。假设一只刚出生的小兔，一个月后长成大兔；再以过一个月，生出了一只小兔。三个月后，大兔又生出一只小兔，而原先的小兔长成大兔。这样4个月、5个月，都按这样的规律繁衍下去。如果不发生死亡的话，过了一年，共有多少只兔子？显然，某月后的兔子数，总是由两部分组成：大兔子和小兔子数。而当月的小兔子数，就是上月的大兔子数，因为上月有多少对大兔，下月就有多少对小兔；而当月的大兔子数，则是上月的

5、兔子总数，因为不管是大兔还是小兔，到了下月都变成了大兔。根据这一结论，上月的大兔子数，总是前月的兔子总数。所以，当月的兔子数等于上月的兔子数加上上月的大兔数，也就等于上月的兔子数加上前月的兔子数。于是不难得出，开始、一月后、二月后、三月后、十二月后的兔子为：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233。本题的答案应为233对。四、引导发现，展示特质1、探索如果我们的学习到此结束的话，也许这个数列不会在我们的脑海中留下多少记忆。“斐波纳契数列”之所以在几百年来能产生很大的影响，就在于它包含了很多的规律、有太多的迷人之处。今天，就让我们来做一回探索者，一起来寻找这些规律，好

6、吗？规律比较多，我们不可能在剩下的时间里全都研究完。老师做了个有心人，特地筛选了4个方面的内容供同学们参考。研究菜单：这个数列中，奇偶数的排列有何规律？这个数列中，能被3整除数的排列有何规律？能被5整除的数的排列有何规律？在这个数列中，前n项的和与数列中哪一项有关？有怎样的关系？取出任意相邻的两个数，用小数除以大数（得数保留三位小数）越后，商越接近一个怎样的数？你了解这个数吗？每位同学只要研究这4项中的一项。如果有时间的话再有选择地研究。请同学们拿出课前发给你的“我的工作表”，围绕自己的任务，想一想，比一比，算一算，必要时还可以使用计算器，然后把发现填写在“我的工作表”上，相信你一定有所发现。

7、我的工作表 “斐波纳契数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610 我研究的是菜单中的第（ ）项。我研究的过程是： 通过研究，我发现了：学生在音乐中自由活动，时间约4分钟左右。交流。（学生研究，约5分钟左右，伴音乐。）2、交流在交流中明晰如下规律：规律1：每3个数中就有2个奇数、1个偶数。规律2：每隔4个数是3的倍数，每隔5个数是5的倍数。规律3：前n项的和总是第（n+2）个数减1。规律4：在相邻的两个数中，用前面的数除以后面的数，越往后，结果越接近0.618。3、谁了解“0.618”这个数？（介绍有关“0.618”的史料）五、实践应用、解决问题

8、1、填空：在斐波纳契数列中，前2004个数中，有（ ）个偶数。在这个数列中，由于每（ ）个数就有一个数能被3整除，每（ ）个数中就有一个数能被5整除，所以，能同时被3和5整除的最小的数应该是数列中的第（ ）个，这个数是（ ）。2、实践应用：（呈现画面）春节期间，苏果超市准备利用大屏幕反复播放一个广告节目。这个节目每次播放的时间为10秒，如果开始只有一段10秒的录像母带，若用两盘空白录像带在一台录像机上互录，问最少操作几次，可以录制一盘可以播放10分钟（600秒）的广告节目？学生自由解题。引导、交流。六、介入生活、拓展延伸同学们，斐波纳契数列的神奇之处又何止是这些呢？（媒体展示）你知道吗？斐波纳

9、契数列在它诞生的近800年间，由于它包含着太多的奥秘，由于它的神奇，引来无数的“斐迷”，驱使他们不仅仅在数学领域研究它，更有人从自然领域、化学领域和科学领域去探究它的奇妙。比如，在医学界，医生在给病人测量体温时，按常规一次测体温的时间是5分钟，实际上3分钟测得的体温和5分钟时测得的一样。在企业生产中，人们在新产品、新工艺研究、仪表、设备调等方面运用“斐波纳契数列”中的规律，能以较少的实验次数迅速找到最优的方案，在不增加设备、物力、人力和原材料的条件下，可以缩短工期、提高产量，降低成本。瞧！在自然界还有更惊奇的呢！有人发现：梅花的花瓣是5枚，像桃、李、樱、杏、苹果、梨等与梅同属蔷薇科的都是5瓣花

10、，常见的花瓣还有：鸢尾花、百合花是3枚，飞燕草是8枚，瓜叶菊是13枚，向日葵有的是21枚，有的是34枚，雏菊的花瓣有的是34枚、55枚或89枚，其它数目的花瓣的花则很少。而这些花瓣数正好就是 “斐波纳契数列”当中的“斐波纳契数”，这究竟是一种巧合，还是存在着某种必然？这些都有待于我们今后去思考、去探索设计说明：选择这一内容执教，源自一次偶然的机会。由于我自己订阅了不少学生阅读的报刊，也不知什么时候起迷上了数学科普类的文字。最近我正读着著名科普作家谈祥柏先生撰写的数学营养菜这本书，当读到有关“斐波纳契数列”这段文字时，心中格外激动。因为它不但填补了作为教者的我知识视野中的一个空白，而且也唤起了我

11、的职业灵感：能不能把这段文字搬上讲台，与我的学生共同分享这一数学的营养菜呢？ 发挥数学的文化价值，是新一轮课程改革的一大亮点。因为在人类历史的长河中，数代人不懈的求索与努力，为我们留下厚重的数学文化，而这些数学文化不仅可以推动数学的发展，而且能催生出后代人为了知识世界的美好而不畏艰难、不断求索的信心和决心。理所当然，它应该成为我们数学教学的重要内容。上这节课，不仅可以体现数学这门学科的工具价值、基础价值、智能价值，更主要的是可以数学这门学科的文化价值。谈先生书中只有几百个字，如何把这几百字上成一节课，我走进了图书馆，走进了网络。从资料中我发现，斐波纳契数列，蕴含着丰富的教学资源：横向上它包含了

12、许多数学的规律，纵向上它可以用多种数学的方法来对这些规律加以证明。而这许多的内容，不可能在一节课之中，让他们全部理解和掌握，这就需要我们进行“洗课”。本着小学数学教育的特点和新课改的要求，我定位于让学生了解斐波纳契数列的由来，了解其中的几个基本规律，能运用其中的部分规律来解决学习及生活中的部分数学问题等知识层面的目标。同时，我们应该把数学思想提炼的过程、数学规律的发现过程、问题的解决过程尽可能地让位给学生，让他们充分经历人类文明的逻辑重演的过程，经历知识 “再创造”的过程，从而把过程性目标的实施展现到极致。对教学过程作了如下预构：首先，在学生熟悉的情境中引入新课。课始的两道填空题，目的是唤起学

13、生对规律的找寻意识，对他们进行一定的思维诱导和定向，为新课的展开奠定了大致的线索和基调。其次，在具体的问题情境中，揭示斐波纳契数列。以“小蜜蜂爬蜂房”这一有趣的生活问题为素材，分两个层次向学生呈现。在学生用列举法解决了第一个问题后向其展现第二个问题，使其陷于一种复杂的、难于求解的矛盾境地，从而产生“要是能找到解决问题的规律就好了”的意识，这时候，“规律”成为打开解决问题大门的钥匙，而“找规律”更成为一种心理动力，成为一种精神需求，使斐波纳契数列真正由“学术形态”而成为“教育形态”。第三，在自我探究的开放性情境中，展现斐波纳契数列中包含的四个规律。在众多的规律当中，我特地进行了筛选，选择了“数列中的奇偶性”、“能被3和5整除的数”、“前若干项的和与其中某一项的关系”、“与黄金分割的关系”四个方面的内容供学生研究。由于四个规律既处在学生的“最近发展区”内，又与他们的旧有经验密切相关，所以问题对他们来说，充满了现实性和挑战性，使探究性学习成为可能。在具体探究的过程之中，我完全放手给学生，把任务进行分解，先让其独立探索，然后发挥合作交流、资源共享的优势，教师在其中穿针引线，启迪诱导，真正达到“以文化人”的目的。第四