一类高阶非线性泛函微分方程的强迫振动性研究

1、一类高阶非线性泛函微分方程的强迫振动性研究作者（单位）摘要：讨论了一类高阶非线性微分方程 x(n)(t)+p(t)f(t,x(t),x(n-1)(t)x(n-1)(t)-q(t)x(s)sgnx(t)=m(t) l的强迫振动性，建立了该方程的几个振动性定理，并用相同的方法讨论了高阶中立型时滞微分方程x(t)+cx(t-t)(n)+a(t)x(t)+b(t)x(t-t)=m(t)+q(t)x(t)sgnx(t)+a(t)x(t-t)sgnx(t-t)解的振动性。关键词：泛函；非线性微分方程；强迫振动性lsResearch on Oscillation of the Nonlinear Highe

2、r OrderFunctional EquationsAbstract: We discuss the nonlinear higher order functional equations(n)(n-1)(t)x(n-1)(t)-q(t)x(s)sgnx(t)=m(t). x(t)+p(t)f(t,x(t),xlSome new oscillation criterions of the equation are established. Using the same technique, we establish oscillation criterion for a certain fo

3、rced nonlinear neutral equation x(t)+cx(t-t)(n)+a(t)x(t)+b(t)x(t-t)=m(t)+q(t)x(t)sgnx(t)+a(t)x(t-t)sgnx(t-t)ls.Key Words: functional differential equation; nonlinear differential equation; oscillation criterion1 引言考虑高阶非线性微分方程x(n)(t)+p(t)f(t,x(t),x(n-1)(t)x(n-1)(t)-q(t)x(s)sgnx(t)=m(t) （2.1） 其中pÎ

4、;Cn-2(t0,¥),0,¥)，mÎC(t0,¥),R)，fÎCn-2l(t0,¥)´R2,0,¥), qÎC(t0,¥),0,¥).当m(t)=0时方程（2.1）的振动性曾被许多人研究过2,3，并得出了很好的结果；当q(t)<0,t³t0，n为偶数，f为振动函数h(t)的n阶可微函数时，采用Kartsatos所介绍的方法1，我们很容易得出方程（2.1）振动的条件。在这里我们对方程不作这些限制而给出一些新的振动条件同时讨论了非线性强迫中立型方程x(t)+cx(t-t)

5、(n)+a(t)x(t)+b(t)x(t-t)=m(t)+q(t)x(t)sgnx(t)+a(t)x(t-t)sgnx(t-t)ls （2.2） 其中，n³1,l,s>1,t,c为非负常数，a,b,m,q,a:t0,¥)®R连续，a(t),b(t)非负，a(t),q(t)>0,t³t0.我们得出了该方程的一些有趣振动条件。2 主要结论先给出一个引理：引理2.1 若A和B非负，则Al-lAB+(l-1）Bl³0,l>1,其中等号当且仅当A=B时成立。 证明：令f(x)=xl-lxBl-1+(l-1)Bl³0,(l>

6、;1,x³0)，则f'(x)=l(xl-1-Bl-1)。'由f(x)=0得，x=B。''因为当x>B时，f(x)>0；当0£x<B时，f(x)<0。所以对任意的x³0，有f(x)³f(B)=0。l所以对任意的非负数A,B,有A-lAB+(l-1）Bl³0,l>1,其中等号当且仅当A=B时成立。定理2.1 设存在一个(n-1)阶可微函数H:D=(t,s):t³s³t0®R使得H(t,t)=0,t³t0,H(t,s)>0,(t,s)Î

7、;D, （2.3）¶iH(t,s)hi(t,s)=-,hi(t,t)=0,t³t0,i=1,2,L,n-1, i¶shn-1(t,s)为D上的非负连续函数，且hi(t,t0)-(-1)iGs(t,t0) 0£liminf <+¥, （2.4）t®¥H(t,t0)i-1其中，G(t,s)=p(s)f(s,x(s),xn-1(s)H(t,s),(-1)n-2Gs(n-2)(t,s)在D上非负连续。若t1limsup H(t,s)m(s)-Q(t,s)ds=+¥, （2.5）t®¥H(t,t0)

8、òt0t1H(t,s)m(s)-Q(t,s)ds=-¥, （2.6）òt0H(t,t0)liminft®¥n-2Gsl/(1-l)hn-1(t,s)+(-1)其中，Q(t,s)=(l-1)lH(t,s)(n-2)(t,s)l1l-1q1l-1(s),t³s³t0，则方程（2.1）振动。证明：采用反证法。假设x(t)是方程（2.1）的一个非振动解，不妨设x(t)>0,t³t0，则在方程（2.1）两边同时乘H(t,s)，然后从t0到t积分，有òòtt0H(t,s)m(s)ds=òH(

9、t,s)x(n)(s)ds+òG(t,s)x(n-1)(s)ds-òq(s)H(t,s)xl(s)dst0t0t0ttt因为tt0H(t,s)x(n)(s)ds=-H(t,t0)x(n-1)(t0)+òh1(t,s)x(n-1)(s)dst0n-2k=1tt=-H(t,t0)x(n-1)(t0)-åhk(t,t0)x(n-k-1)(t0)+òh(n-1)(t,s)x(s)ds,t0òG(t,s)xt0n-2k=1t(n-1)(s)ds=-G(t,t0)x(n-2)(t0)-òGst0tt0t(1)(t,s)x(n-2)(s)

10、ds=å(-1)kGs所以(k-1)(t,t0)x(n-k-1)(t0)+(-1)(n-2)òGs(n-2)(t,s)x(s)ds,òtt0H(t,s)m(s)ds=-H(t,t0)xtt0(n-1)(t0)-å(hi(t,t0)-(-1)iGsi=1tt0n-2(i-1)(t,t0)x(n-i-1)(t0)+òhn-1(t,s)+(-1)(n-2)Gs(n-2)(t,s)x(s)ds-òH(t,s)q(s)xl(s)ds.(i-1)hi(t,t0)-(-1)iGs根据条件 0£liminft®¥H(t,

11、t0)知，存在常数C，使得对于t³t0，有 -H(t,t0)x于是有(n-1)(t,t0）<+¥，(t0)-åhi(t,t0)-(-1)iGsi=1n-2(i-1)(t,t0)x(n-i-1)(t0)£CH(t,t0),(n-2)òt0tH(t,s)m(s)ds£CH(t,t0)+òhn-1(t,s）+(-1)n-2Gst0t(t,s)x(s)ds-òtt0 H(t,s)q(s)xl(s)ds. （2.7）令 A=H(t,s)q(s)1/lx(s),B=hn-1(t,s)+(-1)1n-2lGs(n-2)(t

12、,s)H(t,s)q(s)-1/l1l-1，则 t01l-1lH(t,s)m(s)-lAB+Ads£C. H(t,t0)òt由引理2.1知，Al-lABl-1+(l-1)Bl³0,即 Al-lABl-1³-(l-1)Bl,t1lH(t,s)m(s)-(l-1)Bdsòt0H(t,t0)于是有£1ll-1H(t,s)m(s)+A-lABds£C.H(t,t0)òt0t考虑到(l-1)Bl=Q(t,s),有t1 H(t,s)m(s)-Q(t,s)ds£C H(t,t0)òt0t1H(t,s)m(s)

13、-Q(t,s)ds£C òtH(t,t0)0 limt®¥这与（2.5）式矛盾，所以方程（2.1）振动。推论2.1 设函数H如定理2.1中所定义且满足（2.3）和（2.4）。若t1 limsupH(t,s)m(s)ds=+¥, t®¥H(t,t0)òt0t1H(t,s)m(s)ds=-¥, òt0H(t,t0) liminft®¥(n-2)t0hGs1n-1(t,s)+(-1)limtt®¥H(t,t)òH(t,s)0(n-2)(t,s)l1l-

14、11ql-1(s)ds<¥,则方程2.1振动。注2.1 当l=1时，定理2.1中的（2.7）式变为òt0tH(t,s)m(s)ds£CH(t,t0)-òH(t,s)q(s)-hn-1(t,s）+(-1)n-2Gst0t(n-2)(t,s)x(s)ds于是有下面的结论：定理2.2 设函数H如定理2.1中所定义且满足（2.3）和（2.4），且H*(t,s)=H(t,s)q(s)-hn-1(t,s)-(-1)n-2Gs若 limsupt®¥t1H(t,s)m(s)ds=+¥, òtH(t,t0)0t1H(t,s)m

15、(s)ds=-¥, H(t,t0)òt0(n-2)(t,s)³0,t³s³t0, liminft®¥则当l=1时方程（2.1）振动。例如：例1 考虑方程x¢¢(t)+x¢(t)-x(t)=3etcost. （2.8） 构造H(t,s)=(t-s)3,易知它满足定理2.2的所有条件，故方程振动。事实上，方程（2.8）的通解为x(t)=e(C1et-3t2+C2e+3t2+sint)，当t充分大时，通解振动。定理2.3 设函数H如定理2.1中所定义且满足（2.3）和（2.4），若t1 limsupH

16、(t,s)m(s)-C1Q(t,s)-C2P(t,s)ds=+¥, t®¥H(t,t0)òt0t1H(t,s)m(s)-C1Q(t,s)-C2P(t,s)ds=-¥, òtH(t,t0)0 liminft®¥其中，C1=(l-1)ll1-lé(a(s)H(t,s)+hn-1(t,s)ù,Q(t,s)=êúH(t,s)ëûl11-lq11-l(s),1s-1 C2=(s-1)ss1-sé(b(s)H(t,s)+chn-1(t,s)ù,P(

17、t,s)=êúH(t,s)ëûs1s-1a(s),则方程（2.2）振动。证明：采用反证法。若x(t)是方程（2.2）的非振动解，不妨设x(t)>0,x(t-t)>0,t³t0,在方程（2.2）的两边同乘以H(t,s)，然后从t0到t积分，得òtt0H(t,s)m(s)ds£CH(t,t0)+òa(s)H(t,s)+hn-1(t,s)x(s)ds-òq(s)H(t,s)xl(s)dstt0ttt0t0t0t+òb(s)H(t,s)+chn-1(t,s)x(s-t)ds-òa(

18、s)H(t,s)xs(s-t)ds.利用引理即可推出矛盾。t1若 limsupH(t,s)m(s)ds=+¥, t®¥H(t,t0)òt0t1H(t,s)m(s)ds=-¥, òt0H(t,t0) liminft®¥t1 liminfC1Q(t,s)+C2P(t,s)ds£+¥, t®¥H(t,t0)òt0其中C1,C2和函数P,Q如定理2.3中所定义，则方程（2.2）振动。参考文献1杨军,王春艳,李静.非线性中立型抛物偏泛函微分方程系统解的强迫振动性J.工程数学学报, 2004,(05) .2Li W N,Cui