定积分练习题

1、第九章 定 积 分练 习 题§1定积分概念习 题1 按定积分定义证明：2 通过对积分区间作等分分割，并取适当的点集，把定积分看作是对应的积分和的极限，来计算下列定积分：（1） （2）（3） （4）§2 牛顿一菜布尼茨公式 1计算下列定积分：（1）； （2）； （3）；（4）； （5） （6）（7） （8）2利用定积分求极限：（1） （2）（3） （4） 3证明：若f在a,b上可积，F在a,b上连续，且除有限个点外有F（x）=f(x),则有 §3 可积条件1 证明：若T是T增加若干个分点后所得的分割，则2 证明：若f在a,b上可积，.3.设fg均为定义在a,b上的有

2、界函数。证明：若仅在a,b中有限个点处则当f在a,b上可积时，g在a,b上也可积，且3 设f在a,b上有界，证明：在a,b上只有为其间断点，则f在a,b上可积。4 证明：若f在区间上有界，则。 §4 定积分的性质1.证明:若f与g都在a,b上可积,则 其中是T所属小区间i中的任意两点,i=1,2,n.2.不求出定积分的值,比较下列各对定积分的大小: (1)(2)3.证明下列不等式: (1) (2); (3) (4)4.设f在a,b上连续,且f(x)不恒等于零,证明5.设f与g都在a,b上可积,证明 在a,b上也都可积.6.试求心形线上各点极径的平均值.7.设f在a,b上可积,且在a,

3、b上满足证明在a,b上也可积.8.进一步证明积分第一中值定理(包括定理9.7和定理9.8)中的中值点(a,b).9.证明:若f与g都在a,b上可积,且g(x)在a,b上不变号,M、m分别为 f(x)在a,b上的上、下确界,则必存在某实数(mM),使得 10.证明:若f在a,b上连续,且则在(a,b)内至少存在两点x1,x2,使f(x1)= f(x2)=0.又若这时f在(a,b)内是否至少有三个零点?11.设f在a,b上二阶可导,且.证明:(1) (2)又若则又有 12.证明:(1) (2)§5 微积分学基本定理·定积分计算(续)习 题1 设f为连续函数，u、v均为可导函数，

4、且可实行复合f°u与f°v证明： 2设f在a,b上连续，证明F”3求下列极限： （1） （2）4计算下列定积分： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9）（10） （11） （12）5.设f在-a,a上可积。证明：（1）若f为奇函数，则（2）若f为偶函数，则6设f为（-，+）上以p为周期的连续周期函数。证明对任何实数a，恒有 7设f为连续函数。证明：（1）（2） 8设J（m,n）为正整数）。证明： 并求J(2m,2n).9证明：若在（0，）上f为连续函数，且对任何a0有 ， 则为常数。10设f为连续可微函数，试求 并用此结果求11设为a,b上严

5、格增的连续曲线（图9-12）。试证存在（a,b），使图中两阴影部分面积相等。12设f为0，2上的单调递减函数。证明：对任何正整数n恒有 13证明：当x时有不等式 14证明：若f在a,b上可积，则有 15.证明：若在a,b上f为连续可微的单调函数，则存在使得 （提示：与定理9.11及其推论相比较,这里的条件要强得多, 因此可望有一个比较简单的,不同于9.11的证明.）§6 可积性理论补叙1. 证明性质2中关于下和的不等式(3).2. 证明性质6中关于下和的极限式 .3. 设 试求在0,1上的上积分和下积分;并由此判断在0,1上是否可积.4. 设在a,b上可积,且上是否可积?为什么?5.

6、 证明:定理9.14中的可积第二充要条件等价于“任给都有.6.据理回答:(1) 何种函数具有“任意下和等于任意上和”的性质?(2) 何种连续函数具有“所有下和（或上和）都相等”的性质？(3) 对于可积函数，若“所有下和（或上和）都相等”，是否仍有（2）的结论？7本题的最终目的是要证明：若在a,b上可积，则在a,b内必定有无限多个处处稠密的连续点，这可用区间套方法按以下顺序逐一证明：（1）若T是a,b的一个分割，使得S（T）s(T)<ba，则在T中存存在某个小区间 （2）存在区间使得 （3）存在区间使得 （4）继续以上方法，求出一区间序列 说明为一区间套，从而存在而且在点x0连续。 （5）

7、上面求得的的连续点在a,b内处处稠密。 总 练 习 题1 证明：若在0，a上连续，二阶可导，且，则有 2.证明下列命题：（1） 若在a,b上连续增，则F为a,b上的增函数。（2） 若在上连续，且（x）>0，则 为上的严格增函数，如果要使在上为严格增，试问应补充定义（0）=？3、设在上连续，且证明 4设是定义的上的一个连续周期函数，周期为p证明 5 证明：连续的奇函数的一切原函数皆为偶函数；连续的偶函数的原函数中只有一个是奇函数。6 证明施瓦茨（Schwarz）不等式：若和g在a,b上可积，则 7 利用施瓦茨不等式证明：（1）若在a,b上可积，则 （2）若在a,b上可积，且（x）>m>0，则 （3）若、g都在a,b上可积，则有闵可夫斯基（Minkowski）不等式： 8证明：若在a,b上连