导数知识点归纳和练习

1、一、相关概念1.导数的概念：f（x）=。注意：（1）函数f（x）在点x处可导，是指时，有极限。如果不存在极限，就说函数在点x处不可导，或说无导数。（2）是自变量x在x处的改变量，时，而是函数值的改变量，可以是零。2导数的几何意义函数y=f（x）在点x处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x，f（x）处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f（x）在点p（x，f（x）处的切线的斜率是f（x）。相应地，切线方程为yy=f/（x）（xx）。3.导数的物理意义若物体运动的规律是s=s（t），那么该物体在时刻t的瞬间速度v=（t）。若物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v（t），则该物体在时刻t的加速

2、度a=v（t）。二、导数的运算1基本函数的导数公式: （C为常数）; ; ; .2导数的运算法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即： (法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：（v0）。3.复合函数的导数形如y=f的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解>求导>回代。法则：y|= y| ·u|或者.三、导数的应用1.函数的单调性与导数（1）设函数在某个区间（a，b）可导，如

3、果，则在此区间上为增函数；如果，则在此区间上为减函数。（2）如果在某区间内恒有，则为常数。2极点与极值：曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；3最值：在区间a，b上连续的函数f在a，b上必有最大值与最小值。但在开区间（a，b）内连续函数f（x）不一定有最大值，例如。（1）函数的最大值和最小值是一个整体性的概念，最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大值，最小值必须在整个区间上所有函数值中的最小值。（2）函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值点附件的函数值得出

4、来的。函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值。四、定积分1.概念设函数f(x)在区间a，b上连续，用分点ax0<x1<<xi1<xi<xnb把区间a，b等分成n个小区间，在每个小区间xi1，xi上取任一点i（i1，2，n）作和式In(i)x（其中x为小区间长度），把n即x0时，和式In的极限叫做函数f(x)在区间a，b上的定积分，记作：，即(i)x。这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间a，b叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函

5、数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式。基本的积分公式：C；C（mQ， m1）；dxlnC；C；C；sinxC；cosxC（表中C均为常数）。2.定积分的性质（k为常数）；（其中acb。3.定积分求曲边梯形面积由三条直线xa，xb（a<b），x轴及一条曲线yf（x）(f(x)0)围成的曲边梯的面积。如果图形由曲线y1f1(x)，y2f2(x)（不妨设f1(x)f2(x)0），及直线xa，xb（a<b）围成，那么所求图形的面积SS曲边梯形AMNBS曲边梯形DMNC。4.牛顿布莱尼茨公式如果f(x)是区间a,b上的连续函数,并且F(x)=f(x),则【练习题】题型1：导数的基本运算

6、【例1】 （1）求的导数；（2）求的导数；（3）求的导数；（4）求y=的导数；（5）求y的导数。解析：（1）,（2）先化简,（3）先使用三角公式进行化简.（4）y=；（5）yxy*（x）x）*（）。题型2：导数的几何意义【例2】 已经曲线C：y=x3x+2和点A(1,2)。（1）求在点A处的切线方程？（2）求过点A的切线方程？（3）若曲线上一点Q处的切线恰好平行于直线y=11x1，则Q点坐标为 _,切线方程为_思考：导数不存在时，切线方程为什么？【例3】 （06安徽卷）若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（ ）A B C D【例4】 （06全国II）过点（1，0）作抛物线的切线，则其中一条切

7、线为（ ）（A） （B） （C） （D） 解析：（1）与直线垂直的直线为，即在某一点的导数为4，而，所以在(1，1)处导数为4，此点的切线为，故选A；（2），设切点坐标为，则切线的斜率为2，且，于是切线方程为，因为点（1，0）在切线上，可解得0或4，代入可验正D正确，选D。题型3：借助导数处理单调性、极值和最值【例5】 （06江西卷）对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x1）³0，则必有（ ）Af（0）f（2）<2f（1） B. f（0）f（2）£2f（1）Cf（0）f（2）³2f（1） D. f（0）f（2）>2f（1）【例6】 （06天津卷）函

8、数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（ ）A1个 B2个 C3个 D 4个【例7】 （06全国卷I）已知函数。（）设，讨论的单调性；（）若对任意恒有，求的取值范围。解析：（1）依题意，当x³1时，f¢（x）³0，函数f（x）在（1，¥）上是增函数；当x<1时，f¢（x）£0，f（x）在（¥，1）上是减函数，故f（x）当x1时取得最小值，即有f（0）³f（1），f（2）³f（1），故选C；（2）函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，函数在开区间内有极小值的

9、点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个，选A。（3）：()f(x)的定义域为(,1)(1,+).对f(x)求导数得 f '(x)= eax。()当a=2时, f '(x)= e2x, f '(x)在(,0), (0,1)和(1,+ )均大于0, 所以f(x)在(,1), (1,+).为增函数；()当0<a<2时, f '(x)>0, f(x)在(,1), (1,+)为增函数.；()当a>2时, 0<<1, 令f '(x)=0 ,解得x1= , x2= ；当x变化时, f '(x)和f(

10、x)的变化情况如下表: x(, )(,)(,1)(1,+)f '(x)f(x)f(x)在(, ), (,1), (1,+)为增函数, f(x)在(,)为减函数。()()当0<a2时, 由()知: 对任意x(0,1)恒有f(x)>f(0)=1；()当a>2时, 取x0= (0,1),则由()知 f(x0)<f(0)=1；()当a0时, 对任意x(0,1),恒有 >1且eax1，得：f(x)= eax >1. 综上当且仅当a(,2时,对任意x(0,1)恒有f(x)>1。【例8】 （06浙江卷）在区间上的最大值是（ ）(A)2 (B)0 (C)2 (D)4【例9】 （06山东卷）设函数f(x)= （）求f(x)的单调区间；（）讨论f(x)的极值。解析：（1），令可得x0或2（2舍去），当1£x<0时，>0