定积分的概念与性质

1、第五章 定积分第一节 定积分的概念与性质教学目的：理解定积分的定义，掌握定积分的性质，特别是中值定理.教学重点：连续变量的累积，熟练运用性质.教学难点：连续变量的累积，中值定理.教学内容：一、定积分的定义曲边梯形的面积设在上非负，连续，由直线，及曲线所围成的图形，称为曲边梯形求面积：在区间中任意插入若干个分点，把分成个小区间, ，它们的长度依次为：经过每一个分点作平行于轴的直线段，把曲边梯形分成个窄曲边梯形，在每个小区间上任取一点，以为底，为高的窄边矩形近似替代第个窄边梯形，把这样得到的个窄矩形面积之和作为所求曲边梯形面积的近似值，即=设时，可得曲边梯形的面积2变速直线运动的路程设某物体作直线

2、运动，已知速度是时间间隔上的连续函数，且，计算在这段时间内物体所经过的路程在内任意插入若干个分点，把分成个小段， ，各小段时间长依次为：相应各段的路程为：，在上任取一个时刻，以时的速度来代替上各个时刻的速度，则得：，进一步得到：=设时，得：.3定积分的定义由上述两例可见，虽然所计算的量不同，但它们都决定于一个函数及其自变量的变化区间，其次它们的计算方法与步骤都相同，即归纳为一种和式极限，即面积，路程.将这种方法加以精确叙述得到定积分的定义定义设函数上有界，在中任意插入若干个分点，把区间分成个小区间各个小区间的长度依次为.在每个小区间上任取一点),作函数值与小区间长度的乘积并作出和.记,如果不论

3、对怎样分法,也不论在小区间上点怎样取法,只要当时,和总趋于确定的极限,这时我们称这个极限为函数在区间上的定积分(简称积分)，记作即=,其中叫做被积函数，叫做被积表达式，叫做积分变量，叫做积分下限，叫做积分上限，叫做积分区间.注意 积分与积分变量无关，即： .函数可积的两个充分条件：定理1设上连续，则在上可积定理2设上有界，且只有有限个间断点，则上可积例 利用定积分定义计算.解的连续函数，故可积，因此为方便计算，我们可以对等分，分点取相应小区间的右端点，故=,（即），由定积分的定义得：=.二、定积分的性质：为方便定积分计算及应用，作如下补充规定：(1) 当时，,(2) 当时，.性质1 函数和（差

4、）的定积分等于它们的定积分的和（差），即.证明 = =.性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面，即 (是常数).性质3如果将积分区间分成两部分，则在整个区间上的定积分等于这两个区间上定积分之和，即设,则注意我们规定无论的相对位置如何，总有上述等式成立.性质4 如果在区间上，.性质5 如果在区间上，证明：因故，又因，故，设时，便得欲证的不等式.推论1 如果在上，.推论2.性质6设与分别是函数上的最大值及最小值，则性质7（定积分中值定理）如果函数在闭区间上连续，则在积分区间上至少存在一点，使下式成立： （）.证明：利用性质6，；再由闭区间上连续函数的介值定理，知在上至少存在一点，使，故得此性

5、质.显然无论，还是，上述等式恒成立.做本节后面练习，熟悉上面各性质.积分中值定理的几何释意如下：在区间上至少存在一个，使得以区间为底边, 以曲线为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为的一个矩形的面积，见下图（在下面做p286图5-4）小结：简捷综述上面各性质第二节 微积分基本公式教学目的：掌握微积分基本公式及其应用教学重点：公式的应用教学难点：公式的应用教学内容：一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系设一物体在一直线上运动，在这直线上取定原点，正方向，单位长度，使其成为一数轴，时刻时物体所处的位置，速度.物体在时间间隔内经过的路程可以用速度函数在上的定积分来表达，即另一方面，这段路程

6、可以通过位置函数在区间的增量来表示，即故=.注意到，即是的原函数.二、积分上限的函数及其导数设在上连续，并且设为上任一点，设.则函数具有如下性质：定理1 如果函数在区间上连续，则积分上限函数在上具有导数，并且它的导数是 （）.证明：（1）时，=,在之间时，有.（2）其单侧导数，可得，由定理1可得下面结论定理2 如果函数在区间上连续，则函数是的一个原函数Newton的积分上限函数的几何意义如下：（P209图55放在下面）.三、Newton Leibniz 公式定理3 如果函数是连续函数在区间上的一个原函数，则证明 因与均是原函数，故= （）,又因,故.为方便起见，把记作.上述公式就是Newton

7、 Leibniz公式，也称作微积分基本公式例1 例 计算 .解=.例3 计算.解.例4 计算在上与轴所围成平面图形的面积.解.上例的几何释义如下：（书图P292， 5-4）.例5 汽车以每小时36km的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等加速度刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少路程？解时，,故.即刹车后，汽车需要走10m才能停住.例6 设在内连续且，证明函数在内为单调增加函数证明，故=.故在内为单调增加函数.例7 求.解 =,利用Hospital 法则得=.小结：Newton Leibniz 公式.第三节 定积分的换元法与分部积分法教学目的：掌握换元积分法和分部积分法.教学重点：熟练运

8、用换元积分法和分步积分法.教学难点：灵活运用换元法和分部积分法.教学内容：一、换元积分定理假设函数在上连续，函数满足条件：（1）（2）在（或）上具有连续导数，且其值不越出,则有.例1 计算 （）.解 设则且时；,故=.换元公式也可以反过来使用，即.例2 计算.解 设，则-=.例3 计算.解= =.例4 计算 .解 设，则,；故 =.例5 证明 1)若在上连续且为偶函数，则=2）若在上连续且为奇函数，则=0.证明=+=+=+=.1）为偶函数时，+=，故=2）为奇函数时，+=0，故=0例6 若在上连续，证明（1）；（2），由此计算.证明（1）设且当时，；当,故 =.（2）设，则= =所以.利用此公

9、式可得：.例7 设函数，计算解 设.二、分部积分法设在上具有连续导数，则有故，这就是定积分的分部积分公式例1 解 设u=arcsin,则arcsin+.例2 计算.解 设，则=.例3 证明定积分公式证明 设，由分部积分公式可得：故 .由此递推公式可得所证明等式.小结：分部积分公式.第四节 广义积分教学目的：理解无穷限广义积分和无界函数广义积分和定义及计算.教学重点：利用广义积分的定义计算.教学难点：概念产生的背景.教学内容：一、无穷限广义积分定义1设函数在区间上连续，取.如果极限存在，则称此极限为函数在无穷区间上的广义积分,记作,即=这时也称广义积分收敛；如果上述极限不存在，函数在无穷区间上的

10、广义积分就没有意义，习惯上称为广义积分发散，这时记号不再表示数值了类似地，设函数在区间上连续,取，如果极限存在，则称此极限为函数在无穷区间上的广义积分，记作，即=这时也称广义积分收敛；如果上述极限不存在，就称广义积分发散设函数在区间（）上连续，如果广义积分 和 都收敛，则称上述两广义积分之和为函数在无穷区间（）上的广义积分，记作，即+这时也称广义积分收敛；否则就称广义积分发散例1 计算广义积分解+.上述广义积分的几何释义如下：（书图P316 5-12）.例2 计算广义积分 （是常数，且）解=例3 证明广义积分当时收敛；当时发散.证明 当时，=;当，,故命题得证.无界函数的广义积分定义2 设函数在上连续，而在点的右邻域内无界，取，如果存在，则称此极限为函数在上的广义积分，仍然记作，即=这时也称广义积分收敛如果上述极限不存在，就称广义积分发散类似地，设函数在上连续，而在点的左邻域内无界，取0,如果极限存在，则