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文档简介
1、导数及其应用1、函数的平均变化率为注1:其中是自变量的改变量,可正,可负,可零。注2:函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。2、导函数的概念:函数在处的瞬时变化率是,则称函数在点处可导,并把这个极限叫做在处的导数,记作或,即=.3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率;函数的导数的几何意义是切线的斜率。4导数的背景(1)切线的斜率;(2)瞬时速度;(3)边际成本。5、常见的函数导数和积分公式函数导函数不定积分06、常见的导数和定积分运算公式:若,均可导(可积),则有:和差的导数运算积的导数运算特别地:商的导数运算特别地:复合函数的导数微积分基本定理 (其中)和差的积分运算特别地:积分
2、的区间可加性7.用导数求函数单调区间的步骤:求函数f(x)的导数令>0,解不等式,得x的范围就是递增区间.令<0,解不等式,得x的范围,就是递减区间;注:求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。8.求可导函数f(x)的极值的步骤:(1)确定函数的定义域。(2) 求函数f(x)的导数 (3)求方程=0的根(4) 用函数的导数为0的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,并列成表格,检查在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号,那么f(x)在这个根处无极值9.利用导数求函数的最值的步骤:
3、求在上的最大值与最小值的步骤如下: 求在上的极值;将的各极值与比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值。注:实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点;10求曲边梯形的思想和步骤:分割近似代替求和取极限 (“以直代曲”的思想)11.定积分的性质根据定积分的定义,不难得出定积分的如下性质:性质1 性质5 若,则推广: 推广:12定积分的取值情况:定积分的值可能取正值,也可能取负值,还可能是0.( l )当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时,定积分的值取正值,且等于x轴上方的图形面积;(2)当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时,定积分的值取负值,且等于x轴上方图形面积的相反数;(3) 当位于
4、x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时,定积分的值为0,且等于x轴上方图形的面积减去下方的图形的面积 13物理中常用的微积分知识(1)位移的导数为速度,速度的导数为加速度。(2)力的积分为功。课后练习题:1. 已知函数f(x)=ax2c,且=2,则a的值为 ( ) A.1 B. C.1 D. 02. 已知函数在处的导数为3,则的解析式可能为 ( ) A(x-1)3+3(x-1) B2(x-1)2 C2(x-1) Dx-13. 已知函数在处的导数为1,则 = ( ) A3 B C D4. 函数y=(2x1)3在x=0处的导数是 ( ) A.0 B.1 C.3 D.65函数处
5、的切线方程是 ( ) AB C D6.曲线与坐标轴围成的面积是 ( )A.4 B. C.3 D.27一质点做直线运动,由始点起经过ts后的距离为s=t4-4t3+16t2,则速度为零的时刻是 ( ) A.4s末 B.8s末 C.0s与8s末 D.0s,4s,8s末8. 8函数 有 ( ) A.极小值-1,极大值1 B. 极小值-2,极大值3 C.极小值-1,极大值3 D. 极小值-2,极大值29. 已知自由下落物体的速度为V=gt,则物体从t=0到t0所走过的路程为( ) A B C D 10如果10N的力能使弹簧压缩10cm,为在弹性限度内将弹簧拉长6cm,则力所做的功为 ( ) A0.28
6、J B0.12J C0.26J D0.18J 二、填空题(共5小题,每小题5分,共25分)11函数的单调区间为_。12设函数, =9,则_. 13. 物体的运动方程是s=t32t25,则物体在t=3时的瞬时速度为_.14.有一长为16 m的篱笆,要围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积是_m2.15 , _.三、解答题16计算下列定积分。(1) (2)17. 求的单调递增区间。18. 某旅行社在暑假期间推出如下旅游团组团办法:达到100人的团体,每人收费1000元。如果团体的人数超过100人,那么每超过1人,每人平均收费降低5元,但团体人数不能超过180人,如何组团可使旅行社的收费最多? (不
7、到100人不组团)19物体A以速度在一直线上运动,在此直线上与物体A出发的同时,物体B在物体A的正前方5m处以的速度与A同向运动,问两物体何时相遇?相遇时物体A的走过的路程是多少?(时间单位为:s,速度单位为:m/s)参考答案:一 选择题:1-5:AABDD 6-10: CDCAD二11.递增区间为:(-,),(1,+)递减区间为(,1)(注:递增区间不能写成:(-,)(1,+)12. 6 13. 3 14. 16 15. 1 ,三 16.解:(1) = += (2) 原式=1 17. 解:由函数的定义域可知, 即 又所以 令,得或 综上所述,的单调递增区间为(0,1) 18解:设参加旅游的人数为x,旅游团收费为y 则依题意有
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